安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-03数列

安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类汇编-03数列

一、单选题

1．（2022·安徽合肥·统考二模）设等差数列的前项和为，，则的值为（    ）

A．10 B．12 C．13 D．14

2．（2021·安徽合肥·统考三模）已知等比数列的各项均为实数，公比为q，则下列结论错误的是（    ）

A．若，则 B．若，且，则

C．若，则 D．若，则

3．（2021·安徽合肥·统考三模）设正项等比数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·安徽合肥·统考三模）某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（    ）

A．辆 B．辆 C．辆 D．辆

5．（2021·安徽合肥·统考二模）如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·安徽合肥·统考二模）设正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B．2 C． D．4

7．（2021·安徽合肥·统考一模）将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·安徽合肥·统考二模）设是数列的前项和，若，，则

A． B． C． D．

9．（2021·安徽合肥·统考一模）若数列的前项和满足，则（    ）

A．32 B． C． D．

二、填空题

10．（2022·安徽合肥·统考二模）已知数列前项和，记，若数列中去掉数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，则数列的前50项和为________．

11．（2021·安徽合肥·统考二模）如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第1个数是___________.

12．（2021·安徽合肥·统考一模）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日(星期五)是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有___________个.

三、解答题

13．（2022·安徽合肥·统考二模）记为数列的前项和，已知，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．

从①  ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

14．（2021·安徽合肥·统考三模）已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求证：当时，；

（2）求证：.

15．（2021·安徽合肥·统考二模）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.数列为等比数列，满足，.

（1）求数列､的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

16．（2021·安徽合肥·统考一模）已知等差数列满足，.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

参考答案：

1．C

【分析】利用等差数列通项公式和等差数列的前项和公式即可求得答案.

【详解】设等差数列的公差为，

由已知有，解得，

故选：C

2．D

【分析】利用等比数列的通项公式逐一判断即可.

【详解】显然.

A：因为，所以，因此本选项结论正确；

B：由，而，显然

，因此本选项结论正确；

C：由，

，因此本选项结论正确；

D：由，，

因此本选项结论不正确，

故选：D

3．C

【分析】本题可设公比为，然后根据得出，通过计算求出，最后通过即可得出结果.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，，

所以，即，

，解得或（舍去），，

则，

故选：C.

4．C

【分析】由题意可知每辆车的工作时间成等差数列，利用等差数列前项和公式可确定辆车的工作总时长，当时，，当时，，可知共需要辆车，由此确定结果.

【详解】总工作量为：，

由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，

设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，

辆车的工作总时长，

，，

共需辆车完成工程，至少还需要抽调辆车.

故选：C.

5．A

【分析】由向量关于得，利用等差数列求得图形三角形的面积比，最后利用面积型概率公式计算．

【详解】因为，所以，，

因为，，，的面积成等差数列.

设面积依次为，则，则，

所以，，，的面积依次为，

所求概率为．

故选：A．

6．A

【分析】根据可得，然后由可得公比，最后可得结果.

【详解】设等比数列的公比为且

由，所以

又，则

所以

即，所以

故选：A

7．C

【分析】由三角函数的恒等变换化简方程，并求值，判断以，重复循环出现，且，，，计算可得所求和．

【详解】解：，即为，

即，

所以或，，

即或，，

而，

所以，

，

，

，

所以，，

，，

后面的值都是以，重复循环出现，且，，，

所以，

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得的值，从而得出循环，得出，，，从而求得结果.

8．B

【解析】推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.

【详解】在数列中，，，则，，，

以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，

，因此，.

故选：B.

【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：

（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；

（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列.

9．D

【分析】首先根据递推关系求得数列是以为首项，为公比的等比数列，接着根据等比数列的通项公式求的值.

【详解】,

,

所以即，

又解得

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

故选：D.

10．1478

【分析】根据求出，从而求出，根据数列、项的关系得到数列的前50项并求和即可.

【详解】∵，

∴时，，

时，，

当时也满足上式，，

，

，

的前50项为数列的前55项中去掉数列的前5项后余下的项，

∴数列的前50项和为.

故答案为：1478.

11．．

【分析】观察数表得出规律：每一行都成等差数列，且第行公差为，设第n行第1个数是，可得出与的递推关系，然后构造等差数列求通项公式．

【详解】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第行公差为，

因此设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，

从而可得，从而，

所以是等差数列，公差为，

所以，．

故答案为：．

【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是观察出数表中的规律．本题有一个规律是每一行都成等差数列，且第行公差为，然后根据数表的生成方法得出相邻两第一个数之间的关系，结合数列的知识求得结论．

12．

【分析】根据题意在年，设大张的休息日为，小张的休息日为，分析两个数列的通项，求出其公共项的数目，即可求解.

【详解】解：设大张的休息日为，小张的休息日为，

根据题意：大张在……休息，其通项为：，

若小张每周一休息，即在……休息，其通项为，

此时，两个数列的公共项是首项为，公差为的等差数列，

即，

，

故，故共有项公共项；

若小张每周五休息，即在……休息，其通项为，

此时，两个数列的公共项是首项为，公差为的等差数列，

即，

解得：，故共有项公共项；

综上所述：2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.

故答案为：.

13．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论和，利用作差法得，从而根据等比数列定义求出；

（2）若选择①利用裂项相消求和，若选择②利用错位相减求和，最后证明结论即可.

【详解】（1）①，

当时，，；当时，②

①-②得，即

又，

∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．

．

（2）若选择①：，

．

若选择②，则③，④，

③-④得，

．

14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程得到，令，用导数法证明即可；

（2）由（1）知，当时，，令，转化为，再利用数列的裂项相消法求解.

【详解】（1）函数的定义域为，.

又∵，，

∴该切线方程为，即.

设，则.

令，则.

当时，，∴在上单调递增.

又∵，∴，即在上单调递增，

∴当时，，

∴当时，.

（2）由（1）知，当时，.

令，则，

∴，

∴，

化简得.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用数列的知识，根据（1）的结论，构造而得解.

15．（1），；（2）.

【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式可构造关于的方程求得，由此得到；由等比数列性质和等比数列通项公式可求得，由此可得；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由得：，；

，又，，则，解得：，

；

（2）由（1）知：，

.

【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.

16．（1）；（2）.

【分析】（1）根据等差数列通项公式化简已知等式可求得公差，进而得到通项公式；

（2）由（1）可得通项，采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

，；

；

（2）由（1）得：；

.