历年高考数学真题精选09 函数的最值与值域

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题九 函数的最值与值域（学生版）

一．选择题（共11小题）

1．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是　　

A． B． C． D．

2．（2015•湖北）设，定义符号函数，则　　

A． B． C． D．

3．（2014•全国）函数的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

4．（2013•辽宁）已知函数，．设，，，，表示，中的较大值，，表示，中的较小值），记的最小值为，的最大值为，则　　

A．16 B． C． D．

5．（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数．若且，（a）（b），则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

6．（2008•全国）函数的值域为区间　　

A．， B．， C．， D．，

7．（2008•重庆）函数的值域是　　

A． B． C． D．

8．（2008•重庆）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为　　

A． B． C． D．

9．（2006•浙江）对，，记，，函数，的最小值是　　

A．0 B． C． D．3

10．（2010•全国）函数的最大值为　　

A． B． C． D．

11．（2010•山东）函数的值域为　　

A． B．， C． D．，

二．填空题（共8小题）

12．（2016•北京）函数的最大值为　 　．

13．（2015•天津）已知，，，则当的值为　 　时，取得最大值．

14．（2017•浙江）已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是　　．

15．（2015•湖北）为实数，函数在区间，上的最大值记为（a）．当　　时，（a）的值最小．

16．（2015•山东）定义运算“” ，，．当，时，的最小值为　　．

17．（2012•新课标）设函数的最大值为，最小值为，则　 　．

18．（2008•全国）函数的最小值为　　．

19．（2012•山东）若函数在，上的最大值为4，最小值为，且函数在，上是增函数，则　 　．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题九 函数的最值与值域（教师版）

一．选择题（共11小题）

1．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】，的值域为，故错

：的定义域为，，值域也是，，故正确．

：的值域为，故错，：的值域为，，故错．

2．（2015•湖北）设，定义符号函数，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然不正确；

对于选项，右边，而左边，显然正确；

故选：．

3．（2014•全国）函数的值域为　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】，

当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值3，

的值域是，．故选：．

4．（2013•辽宁）已知函数，．设，，，，表示，中的较大值，，表示，中的较小值），记的最小值为，的最大值为，则　　

A．16 B． C． D．

【答案】

【解析】

①由，解得，此时；

②由，解得，或，此时；

③由，解得，此时．

综上可知：

（1）当时，则，，

，，

（2）当时，，，，；

（3）当时，则，，，，

故，，

．

故选：．

5．（2010•全国大纲版Ⅰ）已知函数．若且，（a）（b），则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【答案】

【解析】因为（a）（b），所以，

不妨设，则，，，

，，又，，且

6．（2008•全国）函数的值域为区间　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】由，得．

，当，，时，，当时，，

的增区间为，；减区间为，

，（3），，（2），

函数的值域为区间，．故选：．

7．（2008•重庆）函数的值域是　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】令，则，

当时，，

所以

当且仅当时取等号．同理可得当时，，

综上可知的值域为，故选：．

8．（2008•重庆）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】根据题意，对于函数，

有，

所以当时，取最大值，当或1时取最小值，

．故选：．

9．（2006•浙江）对，，记，，函数，的最小值是　　

A．0 B． C． D．3

【答案】

【解析】当时，，，因为，所以；

当时，，，因为，；

当时，；

当时，，，显然；

故据此求得最小值为．故选：．

10．（2010•全国）函数的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】函数

由，可得，即有，

当且仅当时，取得等号，则的最大值为．

故选：．

11．（2010•山东）函数的值域为　　

A． B．， C． D．，

【答案】

【解析】根据对数函数的定义可知，真数恒成立，解得．

因此，该函数的定义域为，原函数是由对数函数和复合的复合函数．

由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域上是单调递增的．

根据指数函数的性质可知，，所以，，

所以，

故选：．

二．填空题（共8小题）

12．（2016•北京）函数的最大值为　 　．

【答案】2

【解析】；在，上单调递减；

时，取最大值2．故答案为：2．

13．（2015•天津）已知，，，则当的值为　 　时，取得最大值．

【答案】4

【解析】由题意可得当最大时，和都是正数，故有．

再利用基本不等式可得，

当且仅当时，取等号，即当时，取得最大值，故答案为：4．

14．（2017•浙江）已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是　　．

【答案】，

【解析】由题可知，即，所以，

又因为，所以，所以，

又因为，，所以，解得，故答案为：，．

15．（2015•湖北）为实数，函数在区间，上的最大值记为（a）．当      　　时，（a）的值最小．

【答案】

【解析】对函数分下面几种情况讨论：

①当时，在区间，上单调递增，（1）；

②当时，，（1），

，（1）；

③当时，（a）；

综上所述，（a），

（a）在，上单调递减，在，上单调递增，

（a）；

④当时，（a）；⑤当时，（a）（1）；

综上，当时，（a），故答案为：．

16．（2015•山东）定义运算“” ，，．当，时，的最小值为　　．

【答案】

【解析】，，

由，，，当且仅当时等号成立，

，故答案为：．

17．（2012•新课标）设函数的最大值为，最小值为，则　　．

【答案】2

【解析】函数可化为，

令，则为奇函数，

的最大值与最小值的和为0．

函数的最大值与最小值的和为．即．

故答案为：2．

18．（2008•全国）函数的最小值为　　．

【答案】

【解析】，

①当时，；

②当时，，

，（当且令当时，等号成立）；

故，故，

综上所述，函数的最小值为，故答案为：．

19．（2012•山东）若函数在，上的最大值为4，最小值为，且函数在，上是增函数，则　　．

【答案】

【解析】当时，有，，

此时，，此时为减函数，不合题意；

若，则，，故，，在，上是增函数，符合题意．故答案为：．