历年高考数学真题精选37 双曲线

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（学生版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为　　A． B． C． D．2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是　　A． B． C． D．3．（2019•全国）已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为　　A． B．2 C． D．4．（2019•新课标Ⅲ）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为　　A． B． C． D．5．（2019•新课标Ⅲ）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点．若，则的面积为　　A． B． C． D．6．（2019•新课标Ⅱ）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为　　A． B． C．2 D．7．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．8．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．9．（2018•新课标Ⅲ）设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为　　A． B．2 C． D．10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则　　A． B．3 C． D．411．（2017•全国）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支有两个交点，则　　A． B． C． D．12．（2017•天津）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．13．（2017•新课标Ⅰ）已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为　　A． B． C． D．14．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为　　A． B． C． D．15．（2017•新课标Ⅱ）若，则双曲线的离心率的取值范围是　　A．， B．， C． D．16．（2016•新课标Ⅱ）已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为　　A． B． C． D．217．（2016•浙江）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　A．且 B．且 C．且 D．且18．（2016•天津）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．19．（2015•重庆）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为　　A． B． C． D．20．（2015•新课标Ⅰ）已知，是双曲线上的一点，，是的左、右两个焦点，若，则的取值范围是　　A． B． C． D．21．（2015•新课标Ⅱ）已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，顶角为，则的离心率为　　A． B．2 C． D．22．（2014•重庆）设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为　　A． B． C．4 D．23．（2014•湖北）设，是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为　　A．0 B．1 C．2 D．324．（2014•重庆）设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为　　A． B． C． D．3二．填空题（共6小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是　　．26．（2013•天津）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　 　．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为　　．28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为　　．29．（2016•浙江）设双曲线的左、右焦点分别为、，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　．30．（2016•北京）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则　　．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（教师版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，则，，得，．2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线两焦点间的距离为4，，当焦点在轴上时，可得：，解得：，方程表示双曲线，，可得：，解得：，即的取值范围是：．当焦点在轴上时，可得：，解得：，无解．3．（2019•全国）已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为　　A． B．2 C． D．【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，，，，，，4．（2019•新课标Ⅲ）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．由双曲线方程可得，，，则，则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．联立，解得，．．5．（2019•新课标Ⅲ）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点．若，则的面积为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，，渐近线方程为：，不妨在第一象限，可得，，，所以的面积为：．6．（2019•新课标Ⅱ）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为　　A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如图，以为直径的圆的方程为，又圆的方程为，所在直线方程为．把代入，得，再由，得，即，，解得．7．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，，，，，是梯形，是的中点，，，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．故选：．8．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，，，，，是梯形，是的中点，，，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．9．（2018•新课标Ⅲ）设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为　　A． B．2 C． D．【答案】C【解析】双曲线．的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，．10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则　　A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得，，解得：，则．11．（2017•全国）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支有两个交点，则　　A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，由直线与的右支有两个交点，且直线经过右焦点，可得12．（2017•天津）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线的左焦点，离心率，，则双曲线为等轴双曲线，即，双曲线的渐近线方程为，则经过和两点的直线的斜率，则，，则，双曲线的标准方程：13．（2017•新课标Ⅰ）已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线的右焦点，与轴垂直，设，，则，则，，则，，的面积，同理当时，则的面积14．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，，所求的双曲线方程为：．15．（2017•新课标Ⅱ）若，则双曲线的离心率的取值范围是　　A．， B．， C． D．【答案】C【解析】，则双曲线的离心率为：．16．（2016•新课标Ⅱ）已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为　　A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题意，为双曲线左支上的点，则，，，，可得：，即，又，可得，，解得． 17．（2016•浙江）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则　　A．且 B．且 C．且 D．且【答案】A【解析】由题意可得，即，又，，则，由，则．18．（2016•天津）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，设，则四边形的面积为，，将代入，可得，，双曲线的方程为19．（2015•重庆）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过做的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，，，，，，双曲线的渐近线的斜率为．20．（2015•新课标Ⅰ）已知，是双曲线上的一点，，是的左、右两个焦点，若，则的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，，，所以．21．（2015•新课标Ⅱ）已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，顶角为，则的离心率为　　A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设在双曲线的左支上，且，，则的坐标为，代入双曲线方程可得，，可得，，即有．22．（2014•重庆）设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为　　A． B． C．4 D．【答案】D【解析】，由双曲线的定义可得，，，，．23．（2014•湖北）设，是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为　　A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】，是关于的方程的两个不等实根，，，过，两点的直线为，即，即，双曲线的一条渐近线方程为，过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为0．24．（2014•重庆）设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为　　A． B． C． D．3【答案】B【解析】不妨设右支上点的横坐标为 由焦半径公式有，，，，，，即，，，．二．填空题（共8小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是　　．【答案】【解析】双曲线经过点，，解得，即．又，该双曲线的渐近线方程是．26．（2013•天津）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．【答案】【解析】由抛物线，可得，故其准线方程为．由题意可得双曲线的一个焦点为，．又双曲线的离心率为2，，得到，．双曲线的方程为．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为　　．【答案】2【解析】如图，，且，，则，联立，解得，，则，整理得：，，即，，．28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为　　．【答案】【解析】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，可得到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：．29．（2016•浙江）设双曲线的左、右焦点分别为、，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是　　．【答案】【解析】如图，由双曲线，得，，．不妨以在双曲线右支为例，当轴时，把代入，得，即，此时，则；由，得，又，①两边平方得：，，②联立①②解得：，此时．使△为锐角三角形的的取值范围是．故答案为：．30．（2016•北京）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则　　．【答案】2【解析】双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，即，正方形的边长为2，，即，则，即，则，31．（2016•山东）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是　2　．【答案】2【解析】令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，，，，由，可得，即为，由，，可得，解得（负的舍去）．故答案为：2．32．（2015•新课标Ⅰ）已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，．当周长最小时，该三角形的面积为　　．【答案】【解析】由题意，设是左焦点，则周长，，三点共线时，取等号），直线的方程为与联立可得，的纵坐标为，周长最小时，该三角形的面积为．