陕西省咸阳市实验中学2024届高三下学期适应训练（一）数学（文）试题

这是一份陕西省咸阳市实验中学2024届高三下学期适应训练（一）数学（文）试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．设等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．26B．32C．52D．64
5．已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（ ）
A．2B．3C．9D．16
7．如图为一个火箭的整流罩的简单模型的轴截面，整流罩是空心的，无下底面，由两个部分组成，上部分近似为圆锥，下部分为圆柱，则该整流罩的外表面的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．设为两条直线，为两个平面，若，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知和是定义在R上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两不互斥B．
C．与B是相互独立事件D．
12．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量，，，则 .
14．已知，且，则的最小值为 ．
15．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ．
16．已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 .
三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)在①AD是的高；②AD是的中线；③AD是的角平分线，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点D是BC边上的一点，且_________.求线段AD的长
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且.
(1)求证：平面；
(2)求几何体ABCDPQ的体积.
19．某数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了100位同学8月份玩手机的时间（单位：小时），并将这100个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：
将8月份玩手机时间为75小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，75小时以下者视为“手机自我管理到位”．
(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；
(2)从手机自我管理不到位的学生中按性别分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．
附：，其中．
20．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线椭圆交于、两点，且，求的值.
21．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.
23．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
玩手机时间
人数
1
12
28
24
15
13
7
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
女生
12
40
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．B
【分析】利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】因为全集，，则，
又因为集合，因此，.
故选：B.
2．A
【分析】根据复数除法运算化简可得.
【详解】因为，所以．
故选：A
3．C
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
4．C
【分析】根据等差数列的性质计算即可.
【详解】由等差数列的性质可得．则．故．
故选：C
5．D
【分析】点代入抛物线方程，得，再利用等于点到准线距离求值.
【详解】依题意得 ，因为，所以.
由，解得.
故选：D
6．A
【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.
【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，
所以，解得，
故乙的平均成绩，
则乙成绩的方差.
故选：A.
7．B
【分析】根据题意分上部分为圆锥，利用其侧面积公式求出其侧面积；下部分为圆柱，利用其侧面积公式求出其侧面积，最后得到正面外表面面积.
【详解】根据题意，上部分圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
下部分圆柱的侧面积为，
所以该整流罩的外表面的面积约为．
故选：B.
8．D
【分析】由通项公式可由推出首项与公比同号，取可判断AB，由可得，取可判断C，由分类讨论可知同号，可判断D.
【详解】由数列是等比数列，
若，同号，
由知，当时，，故A，B错误；
若，则可知
当时，该等比数列为常数列，则，故C错误；
当时，，
时，，当时，
所以由且同号，可知，故D正确.
故选：D
9．C
【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确；
对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确；
对于C中，若且，
如图所示，取点，过点，作，则，
设，可得，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以为与所成角的平面角，由，可得，即，
所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确；
对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确.
故选：C.
10．D
【分析】利用特殊函数证明两命题“有极值点”和“和中至少有一个函数有极值点”之间的逻辑关系，进而得出二者间为既不充分也不必要条件.
【详解】令，则，
则当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则有极值点或；
此时均为R上的单调函数，均无极值点.
则“有极值点”不是“和中至少有一个函数有极值点”的充分条件.
令，则均有极值点，且极值点均为，
此时为常函数，无极值点.
则“有极值点”不是“和中至少有一个函数有极值点”的必要条件.
综上，“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的既不充分也不必要条件.
故选：D
11．B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解
【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，
所以，，两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，，
所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
故选：B.
12．C
【分析】由题意可得，变形得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，利用导数求得函数的单调递增区间，由此可求得实数的最大值.
【详解】对，且，都有，
可得，即，两边同除得
，
构造函数，则函数在区间上单调递增，
，令，即，解得，
即函数的单调递增区间为，
，则，因此，实数的最大值为.
故选：C.
13．
【分析】依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故答案为：
14．
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，
得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
15．4
【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案.
【详解】由于函数图象关于直线对称，，
故，又为偶函数，故，
则，
故答案为：4
16．/
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，利用双曲线的定义即可得到，则得到关于的方程，则得到离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，线段交双曲线于点，
则.
由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
则周长的最小值为，结合，
整理得，即，解得（负舍）.
故答案为：.

17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；
（2）选①：根据等面积法求解即可；选②：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选③：根据，结合面积公式可得.
【详解】（1）在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且
，可得，
由余弦定理可得
，.
（2）选①：AD是的高，
由余弦定理得，
所以
由的面积得，
；
选②：是的中线，
，
，
，，，
，
；
选③：AD是的角平分线.
由于，
所以，
解得
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平面ABCD，，可得平面ABCD，进而得到，结合，进而得证；
（2）连接，将几何体ABCDPQ分割成三棱锥和四棱锥，再利用棱锥体积公式即可.
【详解】（1）∵平面ABCD，，∴平面ABCD．
∵平面ABCD，∴．
在正方形ABCD中，，
又，AB，平面QAB，∴平面QAB．
（2）连接，平面，平面，，
又，，平面，平面，
则，
，
则.

19．(1)填表见解析；没有
(2)
【分析】（1）由题意补充列联表，计算判断即可；
（2）由古典概率模型的概率公式求解即可.
【详解】（1）补充完整的列联表如下：
，
没有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”．
（2）由（1）知手机自我管理不到位的学生中男、女生人数比为，
应从手机自我管理不到位的学生中抽取男生2人，记为；抽取女生3人，记为．
从这5人中随机抽取2人的所有情况为：，共10种，
其中恰好一男一女的情况为：，共6种．
所求概率为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可；
（2）设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由题意得，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）联立，消去得.
由，解得.
设，，则，，
∴，
，
易知，，
∵，∴，
∴，即，
∴，解得或（舍）.
∴.

21．(1)在单调递增，在单调递减
(2)1
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；
（2）不等式恒成立求参数取值范围问题，分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值问题即可求解.
【详解】（1）由定义域为
又
令，显然在单调递减，且；
∴当时，；
当时，．
则在单调递增，在单调递减
（2）法一：∵任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立
令，则．
令，则在上单调递增，
∵，．
∴存在，使得
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，
∴，
又
∴，故的最小值是1．
法二：
∴恒成立，即恒成立
令
不妨令，显然在单调递增．
∴在恒成立．
令
∴当时，；
当时，即在单调递增
在单调递减
∴
∴，故的最小值是1．
【点睛】不等式恒成立问题，求参数取值范围，一般思路分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值问题即可.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t即可得到直线的普通方程；
（2）由直线参数方程中t的几何意义即可求解.
【详解】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去t可得直线l的普通方程为:.
∵曲线C的极坐标方程为，即，
又∵，，
∴曲线C的直角坐标方程为.
（2）将（t为参数）代入，
得，显然，即方程有两个不相等的实根，
设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，
则，，
∴.
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；
（2）由绝对值三角不等式得恒成立，进而分和两种情况求解即可.
【详解】（1）解：若，．
当时，，解得，所以；
当时，，无解；
当时，，解得，所以．
综上，不等式的解集是．
（2）解：因为，当且仅当时等号成立，
若，不等式恒成立，只需．
当时，，解得；
当时，，此时满足条件的a不存在．
综上，实数a的取值范围是．
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
52
8
60
女生
28
12
40
合计
80
20
100