湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题（含解析）

这是一份湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，集合均为的子集，表示的区域为（    ）
    
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
2．在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（    ）
A． B． C． D．
3．已知点在单位圆上，点，点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
4．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积，则生成它的正方体的棱长为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．甲乙丙丁4位大学生前往，，3个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少安排1人，其中甲只能去，两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（    ）
A．36 B．12 C．24 D．18
6．已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
8．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（    ）
A．圆的圆心为
B．圆与圆有四条公切线
C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为
D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）
  
A．
B．在区间上单调递减
C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数
D．方程在区间内有4个根
11．定义在上的奇函数满足：是偶函数，且，则（    ）
A． B．
C．的图象不关于直线对称 D．
12．已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（    ）
A．当平面时，
B．当时，的最小值为
C．若，则的轨迹长度为
D．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为

三、填空题
13．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则______.
14．数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.
15．设椭圆的左右焦点分别为和，离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，且线段，则的内切圆半径等于______.

四、双空题
16．已知函数，，若直线是曲线的切线，则______；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是______.

五、解答题
17．在中，角，，所对的边分别是，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值.
18．已知数列的前项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
19．如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
20．为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：

乙
丙
丁
比赛的次数
60
60
50
甲获胜的次数
20
30
40
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；
（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望；
(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值.
21．已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.
  
(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
22．定义在上的函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值.

参考答案：
1．B
【分析】根据集合间的运算分析判断.
【详解】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
2．A
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，再由共轭复数的概念，即可求解.
【详解】由复数，
因为复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，可得，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】设，求的坐标，利用数量积的坐标运算公式求，通过三角恒等变换，结合正弦函数性质求其范围.
【详解】设，
所以，，
所以
所以，
故选：C.
4．D
【分析】设正方体棱长为，由已知结合锥体体积公式表示正八面体的体积，列方程求，可得正方体的边长.
【详解】设正方体棱长为，
可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为的正方形，高为，
则正八面体体积为，
解得，
∴棱长.
故选：D.
  
5．C
【分析】满足条件的安排方法可分为两类，第一类甲去工厂，第二类甲去工厂，再结合分类加法计数原理和分堆分配问题处理方法求解.
【详解】若甲去，则剩余3人，可只去，两个工厂，也可分为3组去，，3个工厂，
当剩余3人只去，两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有；
当剩余3人分为3组去，，3个工厂，此时的分配方法有，
综上可得，甲去工厂，不同的安排方法数是，
若甲去，则剩余3人，可只去，两个工厂，也可分为3组去，，3个工厂，
当剩余3人只去，两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有；
当剩余3人分为3组去，，3个工厂，此时的分配方法有，
综上可得，甲去工厂，不同的安排方法数是，
所以，不同的安排方法数是.
故选：C.
6．B
【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意可知：，，，直线的方程为：，
由，点在第三象限，，则，
代入直线方程中得整理得，
则，∴椭圆的离心率.
故选：B.
7．D
【分析】由，考虑构造函数，，利用导数研究函数的单调性，证明，方法一：由，，考虑构造函数，，利用导数判断函数的单调性，由此证明，又，由此可得结论.方法二：利用结论，，半径的大小，结合，，可得结论.
【详解】设，，则有，
∴当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴，即有，
∴；
方法一：构建，，求导，
∵，则，即，
故在上恒成立，所以在上单调递增，
则，即，则，
又，所以.
方法二（结论法）：我们知道，，
所以恒成立，令，可得，所以
所以，显然，综上所述，则.
故选：D.
8．A
【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，
利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．
【详解】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
9．ACD
【分析】将圆的方程化为标准方程，可判断A选项；判断圆与圆的位置关系，可判断B选项；求出圆心距，利用圆的几何性质可判断C选项；求出直线所过定点的坐标，分析出点与圆的位置关系，并求出直线截圆所得弦长的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆的圆心为，故A正确；
对于B选项，圆的圆心为，半径为，圆的半径为，
圆心距为，即，
所以，圆与圆相交，故圆与圆有两条公切线，故B错误；
对于C选项，因为两圆圆心距为，
又因为在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为，故C正确；
对于D选项，直线的方程可化为，
由得，所以，直线过定点，
因为，故点在圆内，所以直线与圆相交，
当时，圆心到直线的距离取得最大值，且最大值为，
此时，直线截圆所得弦长最小，且最小值为，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】观察图象可得函数的周期，由此可求，再由求参数，由此判断A，根据正弦函数的单调性判断B，
结合三角函数图象变换结论和正弦函数性质判断C，解方程判断D.
【详解】由图可得：，又，
所以，
因为，
所以，
故，又，
所以
故，所以A错误；
因为，所以，
所以在区间上单调递减，故B正确；
的图象向左平移个单位所得函数为，该函数为奇函数，故C正确；
因为，所以，由得：
或或或，
解得或或或，
故有4个根，所以D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据奇函数与偶函数的性质判断A，结合周期函数的定义证明函数是周期为8的周期函数，根据周期函数性质判断B，举反例判断C，结合周期性，利用分组求和法计算判断D.
【详解】∵是偶函数，∴，
将代换为可得，，
因为函数为定义在上的奇函数，
所以，故，
所以，故A正确；
因为，，
所以，即，
所以
所以函数是周期为8的周期函数，
∴，故B错误；
对于选项C，若的图象关于直线对称，则，
但是
又，这与假设矛盾，所以选项C正确；
∵是周期为8的周期函数，
∴的正奇数项的周期为4，
又，，，
∴

，
故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】取的中点，中点，证明平面平面，由此确定的轨迹，判断A，由条件确定的轨迹是，判断B，分别取，中点，，证明平面，由此确定的轨迹为，判断C，取的中点，连接交于点，过作交于点，由条件确定点的轨迹，由此判断D.
【详解】因为动点满足，且，，
所以点为矩形内一点（含边界）
对于选项A，取的中点，中点，
连接，，因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理，平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面，
因为平面，则的轨迹是线段，
所以，
又，所以，，故A错误；
  
对于选项B，因为，，且，，
所以，所以，，
所以的轨迹是，
由已知，，所以，又，
所以四边形为正方形，所以的最小值为，故B正确；
对于选项C，分别取，中点，，因为底面为菱形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，且两直线在平面内，
所以平面，
又平面，所以.
因为四边形为正方形，所以，
又，平面，
所以平面，所以的轨迹为，
又，故C错误；
  
对于D，取的中点，连接交于点，过作交于点，
当时，，，
所以的轨迹是线段，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
又因为为三棱锥的外接球球心，所以，
所以点在直线上，在中，，则点在线段的垂直平分线上，所以点为直线与线段的垂直平分线的交点，
当与重合时，点为；当与重合时，点为；当在线段上时，点在线段上.
因为，所以，，
因为，，且，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
  


【点睛】知识点点睛：本题考查面面平行的证明，空间图形中的轨迹问题，空间向量的线性运算，多面体与球的切接问题，线面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于难题.
13．
【分析】先求第3项与第4项的二项式系数，由条件求，再列方程求.
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
所以第3项的二项式系数，第4项的二项式系数为，
因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，
所以，解得，
所以在的展开式中的系数为，
由已知，解得，
故答案为：.
14．/1.75
【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项.
【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
因为
所以当时，，即，
又，
所以数列的最大项为第二项，其值为.
故答案为：.
15．
【分析】由已知条件表示出直线AB的方程，得到的面积，由内切圆的性质可知，内切圆半径乘以三角形周长的一半等于三角形面积，结合离心率的值可得内切圆半径.
【详解】的周长为，
∵，∴到直线的距离，
设的内切圆半径为，又，
∵，，∴，
故答案为：
16．
【分析】第一空，对函数求导，设出切点，由导数的几何意义可得，由此可得a的值；第二空，依题意，与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，可得的取值范围.
【详解】，设切点为，则，解得：；
由得，设，（，且），则，
当或时，，此时，递减；
当时，，此时，递增.
当时，；当时，，且当时，，，当时，.
所以当时，直线与曲线有两个交点，，且，，因为，所以，且,
令，则，
又，则，得，有，
，设，则，
，由，，
在上单调递减，则，
设，则，由，有，
在上单调递减，则有，
可得的取值范围为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据内角和关系和诱导公式，二倍角余弦公式化简方程，可求，由此可得角的大小；
（2）由条件根据余弦定理可得，结合基本不等式求的最大值，结合三角形面积公式求的最大值.
【详解】（1）因为，，
所以可化为，
所以，又因为
解得，又因为，
所以.
（2）由余弦定理得，所以，
又，所以，
所以，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形的面积，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最大值为.
18．(1)
(2)

【分析】（1）先根据递推式得出是等差数列，然后求出基本量即可解答；
（2）利用错位相减法即可求和.
【详解】（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设公差为，
则由题有，解得，，
∴数列的通项公式为.
（2）∵，∴，
∴，
∴，①
，②
①②得：，
∴.
19．(1)证明见解析
(2)存在，

【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）证明平面，建立空间直角坐标系，，求平面，平面的法向量，由条件列方程求即可.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
所以，又因为，
，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因为，，∴，
又∵，，平面，
∴平面，
∴、、两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以.
则，，，，
平面的一个法向量为，
，设，
，
，
设平面法向量为，
则，所以，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
所以，
解得，符合题意
即，∴.
【点睛】
20．(1)（ⅰ）（ⅱ）分布列见解析，期望为
(2)出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为

【分析】（1）先求得甲与乙比赛获胜概率为，与丙比赛获胜概率为，与丁比赛获胜概率为，再根据独立性乘法公式，结合对立事件即可求解甲至少胜一场的概率；按分布列的求解步骤即可求解分布列，进而求得期望；
（2）由于乙、丙、丁有6种出场顺序，分别求得概率，从而可确定最大值.
【详解】（1）甲与乙比赛获胜概率为；与丙比赛获胜概率为；
与丁比赛获胜概率为；
（ⅰ）则甲至少胜一场的概率
（ⅱ）的可能取值为0，2，4，6
则，
，
，
，
所以的分布列为

0
2
4
6





（2）若出场顺序为乙丙丁：；
若出场顺序为乙丁丙：；
若出场顺序为丙乙丁：；
若出场顺序为丙丁乙：；
若出场顺序为丁丙乙：；
若出场顺序为丁乙丙：；
故出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为.
21．(1)
(2)过定点，定点坐标为
(3)

【分析】（1）由条件确定双曲线的焦点位置，设其方程，再列出关于的方程，解方程可得双曲线方程，
（2）设，由条件，的斜率之比为可得，设，，，结合所给结论求切线，方程，由此可得直线的方程，由此判断结论；
（3）先证明，设，结合设而不求法表示，再通过换元，利用函数的单调性求其取值范围.
【详解】（1）由已知双曲线为焦点在轴上，中心为原点的双曲线，
设其方程为，
因为双曲线的离心率为2，
所以，，
又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为，
所以，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）知，，设，
所以，，
因为，的斜率之比为，即，
解得，所以点在直线上，
设，，，
则切线方程为：，
则切线方程为：，
因为点既在直线上又在直线上，
即：，，
所以直线的方程为：，化简可得，
所以直线过定点；
  
（3）由（2）得直线过定点，所以，，，
所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，，
因为，所以，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与双曲线的交点坐标为，
故切线的方程为，切线的方程为，
此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾，
设，
将代入双曲线中得
，由已知，
方程的判别式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化简可得，又，
所以或，
所以的取值范围为
所以
令，则，
所以
函数在上单调递增，
所以，
所以，的取值范围为.
  
【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；
（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.
【详解】（1）当时，，故.
曲线在点处的切线的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，
令.所以切线与轴的交点.
此时所求三角形的面积为.
（2）
当时，.
由函数在区间上递增，且值域为，
故存在唯一，使得.
此时当时，单调递减；
当时，单调递增，因此.
同理，存在唯一，使得.
此时当时，单调递增；
当时，单调递减，因此.
由.
同理：.
由，整理得：.
又，故，则有
由，故或.
又，当时，不满足，舍去.
所以，即，则.
综上所述，.
【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.