初中数学人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定复习练习题

27.2.1 平行线分线段成比例

基础训练

知识点1 相似三角形

1.如图,△ABC∽△AED,∠ADE=80°,∠A=50°,则∠C等于(　　)

A.40° B.60° C.80° D.100°

2.已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是(　　)

A. B. C. D.

3.下列说法正确的是(　　)

A.相似三角形一定全等

B.不相似的三角形可能全等

C.全等三角形不一定是相似三角形

D.全等三角形一定是相似三角形

4.如图,△ABC∽△DEF,相似比为1∶2.若BC=1,则EF的长是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

5.若△ABC∽△A'B'C',且AB=1,A'B'=,B'C'=,则△ABC与△A'B'C'的相似比为___________,△A'B'C'与△ABC的相似比为___________.

知识点2 平行线分线段成比例的基本事实

6.如图,直线AB∥CD∥EF,若AC=3,CE=4,则的值是(　　)

A.                       B. 

C.                       D.

7.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(　　)

A.AD∶DF=BC∶CE B.BC∶CE=DF∶AD

C.CD∶EF=BC∶BE D.CE∶EF=AD∶AF

8.如图,已知AD∥EF∥BC,则下列等式成立的是(　　)

A.AE∶AB=DF∶FC B.AE∶EB=CF∶DF

C.EF2=AD·BC       D.BA·CF=BE·CD

知识点3 平行线分线段成比例的基本事实的推论

9.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=1,BD=3,AD=2,则BC的长是(　　)

A.     B. C.     D.

10.如图,已知AB∥CD,AC与BD交于点O,则下列比例式中不成立的是(　　)

A.OC∶OD=OA∶OB B.OC∶OD=OB∶OA

C.OC∶AC=OD∶DB D.BD∶AC=OD∶OC

11.如图,▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于(　　)

A.3∶2 B.3∶1 

C.1∶1 D.1∶2

12.如图,△ABC中,DE∥BC,以下结论正确的是(　　)

A.AE∶AC=AD∶BD 

B.AE∶AC=BD∶AB

C.AE∶CE=AD∶BD 

D.AC∶CE=AD∶BD

提升训练

考查角度1 利用平行线分线段成比例求线段的长

13.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交这三条直线于点A,B,C,直线DF分别交这三条直线于点D,E,F,若AB=3,DE=,EF=4,求BC的长.

考查角度2 利用平行线分线段成比例定理的推论求线段的长

14.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=5,BD=10,AC=9,求CE的长.

考查角度3 利用等比代换证比例中项(中间比代换法)

15.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.

考查角度4 利用等积式证等比式

16.如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是△ABC内一点,DE∥BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F,CF与AB交于P,求证:=.

17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.

求证:DE=EF.

18.如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.

(1)若=,AE=2,求EC的长.

(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P,问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由.

探究培优

拔尖角度1 利用平行条件构造成比例的基本图形求线段长(构造法)

19.如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于点G,AF=2 cm,DF=4 cm,AG=3 cm,求AC的长.

拔尖角度2 利用作平行线构造成比例线段的基本图形求线段的长(作平行线法)

20.如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,求BD的长.

参考答案

1.【答案】C　2.【答案】A　3.【答案】D　

4.【答案】B　

5.【答案】1∶;∶1

6.【答案】C　7.【答案】A　8.【答案】D　

9.【答案】B　10.【答案】B　11.【答案】D

12.错解:B或D或A

诊断:运用平行线分线段成比例定理时,往往会因为没有找准对应关系而导致错选其他答案.解题时一定要注意.

正解:C

13.解:∵直线l1∥l2∥l3,

∴根据平行线分线段成比例基本事实可得=.

又∵AB=3,DE=,EF=4,∴BC=·AB=×3=.

方法总结:利用平行线分线段成比例基本事实求线段长的方法:先确定图中的一组平行线,由此联想到线段间的比例关系,结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式,构造出方程,解方程求出待求线段长.

14.解:DE∥BC,由平行线分线段成比例定理的推论可得=,由AD=5,BD=10,得AB=15,所以=,所以CE=6.

方法总结:利用平行线分线段成比例定理的推论求线段长的方法:当三角形被一条与一边平行的直线所截形成“A”型或“X”型的图形,并且所求的线段不在平行的边上时,通常考虑运用平行线分线段成比例定理的推论构建包含待求线段与已知线段的比例关系,然后把已知线段代入即可求出待求线段.

15.证明:∵EF∥CD,∴=.∵DE∥BC,∴=.

∴=,∴AD2=AB·AF,

即AD是AB和AF的比例中项.

16.证明:∵DE∥BC,∴=,∴PD·PC=PE·PB.

∵DF∥AC,∴=,∴PD·PC=PF·PA.

∴PE·PB=PF·PA,∴=.

17.证明:∵DE∥BC,∴=.

∵点D为AB的中点,∴AE=EC.

∵CF∥AB,∴=,∴DE=EF.

18.解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC,

∴=.

∵=,AE=2,∴=,

解得EC=6.

(2)①如图,若∠CFG1=∠ECD,

此时线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.

理由:∵∠CFG1=∠ECD,∴∠CFG1=∠FCP1,

又∵∠CFG1+∠CG1F=90°,∠FCP1+∠P1CG1=90°,

∴∠CG1F=∠P1CG1,∴CP1=G1P1.

∵∠CFG1=∠FCP1,

∴CP1=FP1,

∴CP1=FP1=G1P1,

即线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.

②如图,若∠CFG2=∠EDC,

此时线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.

理由:∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,

∴∠EDC+∠ECD=90°,又∵∠CFG2=∠EDC,

∴∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°.

∴CP2⊥FG2,

即线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.

③当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.

19.解:如图,延长CB,FE,交于点H.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=6 cm,BC∥AD,

∴∠EAF=∠EBH,∠AFE=∠BHE.又AE=BE,∴△AFE≌△BHE,∴BH=AF=2 cm.∵BC∥AD,∴=,即=,则CG=12 cm,∴AC=AG+CG=15 cm.

20.解:如图,延长BC至F点,使得CF=BD,连接EF.

∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,

∴∠EDB=∠ECF.在△EBD和△EFC中,DB=CF,∠BDE=∠FCE,DE=CE,∴△EBD≌△EFC(SAS),∴∠B=∠F.又∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB,∴∠ACB=∠F,∴AC∥EF,∴=.

又∵BA=BC,∴AE=CF=2,∴BD=CF=2.