初中数学人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质测试题

27.2.6 相似三角形的性质

基础训练

知识点1 相似三角形对应线段的比

1.两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们对应中线之比为(　　)

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5

2.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是(　　)

A.1∶4　　 B.1∶3 　　C.1∶ 　　D.1∶2

3.若一个三角形的三边长分别为2 cm,3 cm,4 cm,与它相似的另一个三角形的最短边长为4 cm,则另一个三角形的周长为(　　)

A.14 cm B.18 cm C.22 cm D.26 cm

4.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是(　　)

A.    B.    C.   D.

5.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________. 

6.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=60 cm,高AD=40 cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是__________cm.

7.如果△ABC∽△A'B'C',AB=4,BC=5,AC=6,△A'B'C'的最大边长为15,那么△ABC与△A'B'C'的相似比是__________,△A'B'C'的周长是__________. 

8.如图,在▱ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE交于F点,则△BEF与△AFD的周长之比为__________.

知识点2 相似三角形面积的比

9.若两个相似三角形的周长比为2∶3,则它们的面积比

是　　　　. 

10.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则下列结论中正确的是(　　)

A.=          B.= 

C.= D.=

11.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,若

S△BDE∶S△CDE=1∶3,则S△DOE∶S△AOC的值为(　　)

A.     B. C.    D.

12.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,

则S△ADE∶S四边形BCED等于(　　)

A.1∶ B.1∶2 C.1∶8 D.1∶9

13.如图,在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点O,则S△DOE∶S△COB等于(　　)

A.1∶4 B.2∶3 

C.1∶3 D.1∶2

14.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的面积相差25 cm2,求这两个相似三角形的面积.

提升训练

考查角度1 利用相似三角形对应线段的性质进行计算

15.已知△ABC∽△A'B'C',=,AB边上的中线CD=4 cm,

求A'B'边上的中线C'D'.

16.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的周长差为4 cm,求较大三角形的周长.

17.如图,在▱ABCD中,E是AD边的中点,连接BE并延长交CD延长线于点F,求△EDF与△BCF的周长之比.

考查角度2 利用相似三角形面积的性质进行计算

18.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,

求△ABC与△DEF的面积之比.

19.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.

20.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,求S△ADE∶S四边形BCED的值.

21.如图,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O外的一点,AM是☉O的直径,∠PAC=∠ABC.

(1)求证:PA是☉O的切线;

(2)连接PB与AC交于点D,与☉O交于点E,F为BD上的一点,若M为的中点,且∠DCF=∠P,求证: = = .

22.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'.抛物线y=-x2+2x+3经过点A,C,A'三点.

(1)求A,A',C三点的坐标.

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△C'OD的面积.

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并写出此时M的坐标.

参考答案

1.【答案】A　2.【答案】D　3.【答案】B　

4.【答案】C　5.【答案】2∶3

6.【答案】24　7.【答案】2∶5;　8.【答案】1∶3

9.【答案】4∶9　

10.【答案】C　11.【答案】D　12.【答案】C　13.【答案】A

14.解:设这两个相似三角形的面积分别为x cm2和(x+25) cm2.

由题意,得

=,即=.∴x=20,x+25=45,

即这两个相似三角形的面积分别为20 cm2和45 cm2.

易错总结:相似三角形面积的比等于相似比的平方,不与相似比相等,这一点容易出错.

15.解:∵△ABC∽△A'B'C',CD是AB边上的中线,C'D'是A'B'边上的中线,

∴==.又∵CD=4 cm,∴C'D'==×4=6(cm).

即A'B'边上的中线C'D'的长为6 cm.

16.解:由相似比可知两相似三角形的周长比为2∶3,设这两个三角形的周长分别为2x cm,3x cm,则3x-2x=4,解得x=4,则3x=3×4=12.故较大三角形的周长为12 cm.

17.解:因为E是AD边的中点,所以AD=2DE,所以===.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以△EDF∽△BCF,所以△EDF与△BCF的周长之比为1∶2.

18.解:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方.因为△ABC与△DEF的相似比为3∶4,所以△ABC与△DEF的面积之比为32∶42,即9∶16.

19.解:∵点D,E分别是BC,AC的中点,

∴DE∥AB,DE=AB.

∴△AGB∽△DGE.

∴==22=4.∴S△ABG=4.

∵△AGE与△GDE同高,∴===2,

∴S△AGE=2.

同理可得S△GBD=2,∴S四边形ABDE=4+2+2+1=9.

∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC,设S△ABC=x,

则=,得x=12,即S△ABC=12.

点拨:遇到面积关系问题时,若两三角形相似,则面积比等于相似比的平方;若两三角形不相似但同底或同高,则同高(同底)的两三角形面积比等于底(高)的比.

20.解:因为==,∠A=∠A,所以△AED∽△ABC,所以==,所以S△ABC=4S△AED,S四边形BCED=S△ABC-S△AED=3S△AED,所以S△ADE∶S四边形BCED=1∶3=.

21.证明:(1) 如图,连接CM.

∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,

∴∠PAC=∠M.

∵AM为直径,

∴∠M+∠MAC=90°.

∴∠PAC+∠MAC=90°,

即∠MAP=90°.

∴MA⊥AP.

∴PA是☉O的切线.

 (2) 如图,连接AE.

∵M为中点,AM为☉O的直径,

∴AM⊥BC.

∵AM⊥AP,

∴AP∥BC.

∴△ADP∽△CDB.

∴ = .

∵AP∥BC,

∴∠P=∠CBD.

∵∠CBD=∠CAE,

∴∠P=∠CAE.

∵∠P=∠DCF,

∴∠DCF=∠CAE.

又∵∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF.

∴ = ,∴ = = .

22.解:(1)当y=0时,-x2+2x+3=0,

解得x1=3,x2=-1.

∴C(-1,0),A'(3,0).当x=0时,y=3.∴A(0,3).

(2)∵C(-1,0),A(0,3),

∴B(1,3).

∴OB==.

∴△AOB的面积为S=×1×3=.

又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A'B'OC',

∴∠ACO=∠OC'D.

∵∠ACO=∠ABO,

∴∠ABO=∠OC'D.

又∵∠C'OD=∠BOA,

∴△C'OD∽△BOA.

∴===.

∴S△C'OD=.

(3)如图,设M点的坐标为(m,-m2+2m+3),连接AM,A'M,AA',OM.

S△AMA'=S△OA'M+S△OAM-

S△AOA'=×3×(-m2+2m+3)+×3×m-×3×3=-m2+m(0<m<3).

当m=时,S△AMA'取到最大值,为.

此时M的坐标为.