人教版九年级上册22.1.1 二次函数一课一练

求二次函数的解析式

一　设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式

(教材P40练习第2题)

一个二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，求这个二次函数的解析式．

解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则解得

所以所求的二次函数的解析式为y＝4x2＋5x.

【思想方法】 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a，b，c的值．

　如图1，抛物线的函数解析式是(　D　)

A．y＝x2－x＋2　　　B．y＝x2＋x＋2

C．y＝－x2－x＋2  D．y＝－x2＋x＋2

【解析】 根据题意，设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以 解得a＝－1，b＝1，c＝2，所以这个二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2.

图1

图2

　如图2，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标．

解：(1)由已知条件得：

解得∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x.

(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4.

设点P的坐标为(x，h)，

则S△AOP＝AO·|h|＝×4×|h|＝8，解得|h|＝4.

①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4，解得x＝－2，

∴点P的坐标为(－2，4)；

②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4，

解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2，

∴点P的坐标为(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)，

综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)．

如图3，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．

图3

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

根据题意，得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－；

(2)存在．

(i)当点N在x轴的下方时，如图所示，

∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，

∴点C与点N关于对称轴x＝2对称，

∵C点的坐标为(0，－)，

∴点N的坐标为(4，－)．

(ii)当点N′在x轴上方时，如图所示，作N′H⊥x轴于点H，

∵四边形ACM′N′是平行四边形，

∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，

∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，

∴N′H＝OC，

∵点C的坐标为(0，－)，

∴N′H＝，

即点N′的纵坐标为，

∴x2－2x－＝，

解得x1＝2＋，x2＝2－.

∴点N′的坐标为(2－，)和(2＋，)．

综上所述，满足题目条件的点N共有三个，

分别为(4，－)，(2－，)和(2＋，)．

二　设顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)求二次函数的解析式

(教材P36例4)

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？

解：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．点(1，3)是这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．

由这段抛物线过点(3，0)，可得0＝a(3－1)2＋3

解得a＝－

因此y＝－(x－1)2＋3　(0≤x≤3)

当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25 m长．

【思想方法】 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，可设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋m)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式即可．

　已知某二次函数的图象如图4所示，则这个二次函数的解析式为(　D　)

图4

A．y＝2(x＋1)2＋8　 B．y＝18(x＋1)2－8

C．y＝(x－1)2＋8  D．y＝2(x－1)2－8

　一抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线的解析式为(　C　)

A．y＝(x－2)2＋1 

B．y＝(x＋2)2－1

C．y＝(x＋2)2＋1 

D．y＝－(x＋2)2＋1

【解析】 抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3相同，所以a＝.顶点在(－2，1)，所以抛物线的解析式是y＝(x＋2)2＋1.

　已知抛物线y＝x2－2x＋c的顶点在x轴上，你认为c的值应为(　C　)

A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2

【解析】 根据题意得＝0，所以c＝1.

　抛物线y＝x2－2(m＋1)x＋2m2－m的对称轴为x＝3，则m的值是(　B　)

A．1  B．2

C．3  D．4

三　利用平移规律求二次函数的解析式

(教材P34思考)

抛物线y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2与抛物线y＝－x2有什么关系？

解：把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2；把抛物线y＝－x2向右平移1个单位，就得到抛物线y＝－(x－1)2.

【思想方法】 (1)可按照口诀“左加右减，上加下减”写出平移后的解析式；(2)平移所得函数的解析式与平移的先后顺序无关．

　抛物线y＝x2－4x＋3的图象向左平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为(　A　)

A．(0，－1)　　　　　　B．(0，－3)

C．(－2，－3)  D．(－2，－1)

　将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式是__y＝x2＋x－2__．

　在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为(　B　)

A．y＝(x＋2)2＋2  B．y＝(x－2)2－2

C．y＝(x－2)2＋2  D．y＝(x＋2)2－2

　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．

图5

解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，

∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，

把C(0，－3)代入得：3a＝－3，　　解得：a＝－1，

故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)，

即y＝－x2＋4x－3，

∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，

∴顶点坐标为(2，1)；

(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．