中考数学一轮复习课时练习第25课时 与圆有关的位置关系 (含答案)

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第六单元 圆
第25课时　与圆有关的位置关系
30分钟
1. (广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为(　　)
A. 0条　　B. 1条　　C. 2条　　D. 无数条
2. (重庆B卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为(　　)

第2题图
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
60分钟
1. (哈尔滨)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为(　　)
A. 60° B. 75° C. 70° D. 65°

第1题图
2. (舟山)如图，已知⊙O上三点A，B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为(　　)
A. 2 B. C. D.
　
第2题图
3. 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(　　)
A. 5 B. 5 C. 5 D.

第3题图
4. (泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为(　　)
A. 32° B. 31° C. 29° D. 61°
　
第4题图
5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 2

第5题图
6. (贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是(　　)
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
　　　
第6题图
7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝4，则OE的长度为(　　)


第7题图
A.
B. 2
C. 2
D. 4
8. (益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．

第8题图
9. (南京)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________°.
　　
第9题图
10. (眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．

第10题图
11. (陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．

第11题图
12. 如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.
(1)求证：OM∥BC；
(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．

第12题图













13. 如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BF＝4，CF＝2，求AD的长．

第13题图




14. (西安交大附中模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线EF交CD于点F.
(1)求证：EF⊥CD；
(2)若AC＝10，cosA＝，求线段DF的长．

第14题图











15. (黄冈改编)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.
(1)求证：△DBE是等腰三角形；
(2)求证：CA·CE＝CO·CB.

第15题图





16. (凉山州)如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

第16题图










17. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF.
(1)求证：DF＝2CE；
(2)若BC＝3，sinB＝，求线段BF的长．

第17题图






18. (新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCE＝∠BCD；
(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．

第18题图





























参考答案
第25课时　与圆有关的位置关系
点对点·课时内考点巩固
1. C　【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．
2. B　【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∵∠C＝40°，∴∠B＝50°.
点对线·板块内考点衔接
1. D　【解析】如解图，连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°.

第1题解图
2. B　【解析】如解图，连接OA，∵∠AOC与∠ABC是所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵AP是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴AP＝OA·tan∠AOC＝1·tan60°＝.

第2题解图
3. A　【解析】如解图，连接BC，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°.∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠BOC＝60°.∵OC＝OA，∴∠ACP＝∠BAC＝∠BOC＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝10，∴AC＝5.

第3题解图
4. A　【解析】如解图，设BP与⊙O交于点M，连接OC，CM.∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵四边形ABMC是圆内接四边形，∠A＝119°，∴∠BMC＝180°－119°＝61°.∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC＝61°.∴在△COM中，∠COM＝58°.∴在△COP中，∠P＝180°－∠COM－∠OCP＝180°－58°－90°＝32°.

第4题解图
5. A　【解析】如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵⊙O是等边三角形ABC的内切圆，∴OD⊥AB，D为AB的中点．∵AB＝2，∴AD＝AB＝.∵在等边△ABC中，∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan∠OAD＝. ∴ OD＝AD·tan30°＝1.

第5题解图
6. A　【解析】∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.在Rt△AOD中，AD＝OD，∴tanA＝＝＝.∴∠A＝30°.∴∠AOD＝60°.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝∠AOD＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝90°. 在Rt△ABC中，sinA＝，AB＝12，∴BC＝AB·sinA＝12×＝6. 在Rt△CBD中，CD＝BC·tan∠CBD＝6×＝2.
7. B　【解析】如解图，连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵CD＝BD＝4，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠DOE＝∠B＋∠ODB＝2∠B＝2∠C，在Rt△OCD中，∠DOE＝2∠C，则∠DOE＝60°，∠C＝30°，∴OD＝CD·tanC＝4×＝4，∵DF⊥AB，∴∠DEO＝90°，在Rt△ODE中，OE＝OD·cos∠EOD＝4×＝2.

第7题解图
8. 45　【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BC为⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C＝45°.
9. 219　【解析】如解图，连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝(180°－102°)＝39°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°.

第9题解图
10. 2　【解析】如解图，连接OQ，则PQ＝，根据题意可知OQ长为定值，若使得PQ最小，只要OP最小即可，当OP⊥AB时能取得最小值．∵OA＝OB＝4，∴AB＝8，∴OP＝4，∴PQ＝＝2.

第10题解图
11. (1)证明：如解图，连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠3；
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC；

第11题解图
(2)解：设⊙O的半径为r，
在Rt△BOD中，
有OD2＋BD2＝OB2，
即r2＋42＝(2＋r)2，
解得r＝3.
∴⊙O的半径为3.
12. 证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MP，
又∵AC∥MP，
∴OM⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OM∥BC；
(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，
∴∠BAC＝∠P＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC，
又∵AB＝2OB，
∴BC＝OB＝OM，
∵OM∥BC，
∴四边形BCMO为平行四边形，
又∵OB＝OM，
∴四边形BCMO为菱形．
13. (1)证明：如解图，连接AE.
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∴E为BC边的中点，
∴BE＝CE；

第13题解图
(2)解：如解图，连接BD，设⊙O的半径为r.
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°.
在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，
即(2r)2＋42＝(2r＋2)2，
解得r＝.
∴AB＝AC＝2r＝3，AF＝2r＋2＝5.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ABF＝90°.
又∵∠BAD＝∠FAB，
∴Rt△ABD∽Rt△AFB.
∴＝，即＝.
∴AD＝.
14. (1)证明：如解图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠DCA，
∴∠OEA＝∠DCA，
∴OE∥CD，
∵EF为⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥CD；

第14题解图
(2)解：∵cosA＝，
∴＝，
∵AC＝10，
∴AB＝12，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝DC＝AB＝6，
由(1)可得，OE∥CD，
∴AE＝AC，△OEA∽△DCA，
∴＝＝，
∴AE＝EC＝AC＝5，
∵cosA＝cos∠DCA＝，
∴CF＝，
∴DF＝CD－CF＝6－＝.
15. 证明：(1)如解图，连接OD、CD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B＋∠ECD＝90°，∠CDE＋∠BDE＝90°，
∵∠ECD＝∠CDE，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝DE，
∴△DBE是等腰三角形；

第15题解图
(2)由(1)可得，BE＝DE＝CE，
∴点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB.
∴＝，
∴CA·CE＝CO·CB.
16. (1)证明：如解图，连接OD，BD，
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠CDB ＝90°.
∵E是BC的中点，
∴ED＝EB＝BC，
∴∠EDB＝∠EBD.
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODF＝∠OBC＝90°，
∴DF⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；

第16题解图
(2)解：由(1)知∠ODF＝90°，
∵OD＝OB＝BF，
∴sinF＝＝，
∴∠F＝30°，
∵∠DOB＋∠F ＝90°，
∴∠DOB＝60°，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠OBD＝＝，
∴AD＝BD.
∵BC⊥AF，
∴＝sinF＝.
∵EF＝4，
∴BE＝2，
∴BF＝＝2＝OB＝DB，
∴AD＝BD＝6.
17. (1)证明：如解图，连接OE交DF于点G，
∵AC切⊙O于点E，
∴∠CEO＝90°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝∠DFB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CEGF为矩形，
∴CE＝GF，∠EGF＝90°，
∴DF＝2CE；

第17题解图
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，sinB＝，
∴AB＝5，
设OE＝x，∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴BD＝2OE＝，
在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sinB＝，
∴cosB＝＝＝，
∴BF＝.
18. (1)证明：如解图，连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
又∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°.
∴∠ACO＝∠BCD.
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＋∠ABC＝90°.
∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝∠A.
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCD.
∴∠BCE＝∠BCD；

第18题解图
(2)解：如解图，过点B作BF⊥CD于点F，得△BFD∽△CED.
由(1)得∵BC平分∠ECD，
∴BF＝BE.
∵CE＝2BE，
∴＝＝＝.
即CD＝2BD.
∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△CBD∽△ACD，
∴＝.
∵AD＝10，
∴BD＝，
∴AB＝，
∴OA＝.
∴⊙O的半径为.