第七章 随机变量及其分布【单元测试】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章  随机变量及其分布

一、单选题

1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ）

A．甲赢三局

B．甲赢一局输两局

C．甲、乙平局二次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【分析】列举出的所有可能的情况，即得.

【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．

故选：D．

2．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】根据二项分布求期望.

【详解】由题意，，

故

，

故选:C.

3．设是一个离散型随机变量，其分布列为

则等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的知识列方程来求得.

【详解】依题意，，

解得（大于，舍去）或.

故选：C

4．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（     ）

A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75

【答案】C

【分析】根据条件概率公式求解即可．

【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，

则由题意得，，

所以她两次均击中9环的概率为．

故选：C．

5．若，则（    ）

（参考数据：，）

A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865

【答案】A

【分析】根据题意得到，从而利用正态分布图象对称性求出.

【详解】因为，，故,，

所以.

故选：A

6．某班级要从名男生，名女生中随机选取人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知随机变量可能的取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.

【详解】由题可知，可能的取值为、、，

且，，，

所以.

故选：D.

7．随机变量X的分布列如下所示．

则的最大值为（    ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案.

【详解】由题可知，即，

，

，

则，

令，

则，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

则的最大值为.

故选：D.

8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.

【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望

，依题意有，

即，解得或，结合p的实际意义，可得.

故选：C．

二、多选题

9．设是一个离散型随机变量、其分布列为

若，则下列说法正确的是（    ）A．有最大值 B．有最大值

C．无最小值 D．无最小值

【答案】CD

【分析】求得的表达式，结合函数的最值的知识求得正确答案.

【详解】，

所以在区间上单调递减，没有最值，A选项错误，C选项正确.

，

对称轴为，所以在区间上单调递减，

没有最值，B选项错误，D选项正确.

故选：CD

10．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（    ）

参考数据：若，则，

A．

B．

C．

D．对于任意的正数，有

【答案】ABD

【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．

【详解】对于A，，故A选项正确；

对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B选项正确；

对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C选项错误；

对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确，

故选：ABD．

11．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，分别记事件A为“抽得的两张卡片上的数字之和大于8”，事件B为“第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】用列举法写出事件包含的基本事件，然后可计算概率，由条件概率公式计算条件概率后判断各选项．

【详解】由题可知，总的基本事件共有36种，其中事件A包含（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共10种；事件B包含（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种，所以，，，，

，

故选：AC.

12．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的可能取值为0，1，2，3 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.

【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；

分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，

其分布列为，

则，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知随机变量的分布列如下：

则的值为__________．

【答案】##

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可.

【详解】由随机变量的分布列可知，

所以，

故答案为：

14．袋中有大小质地完全相同的3个红球和4个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则概率__________.

【答案】

【分析】根据条件概型的知识求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

15．已知随机变量的取值为1、2、3，若与相等，且方差，则______．

【答案】

【分析】设，计算，再根据方差公式计算得到答案.

【详解】设，则，，，故，

.

故答案为：

16．袋中有个相同的球，其中编号为的球各个，从中不放回地依次抽取个球，以表示取到的2个球上的编号之和，则随机变量的均值___________．

提示：记=第次取到的球上的数字，其中，则

【答案】n

【分析】由古典概型和全概率公式分别求和，发现其式均满足服从二项分布的概率，故、均服从二项分布，由二项分布的期望公式求得，故.

【详解】由题可知，，

故，所以.

故，所以.

所以.

故答案为：n.

四、解答题

17．设随机变量的概率分布，．

(1)求常数的值；

(2)求和的值．

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；

【详解】（1）解：由，得．

（2）解：由题知：．

．

18．某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）．

(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？

(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．

【答案】(1)

(2)检测员的判断是合理的，理由见解析

【分析】（1）根据正态分布的对称性及“”原则可直接计算得到结果；

（2）根据独立事件概率乘法公式可求得抽取两包白糖，质量均小于的概率，可知其为极小概率事件，几乎不可能发生，但事件发生了，所以可判断出检测员的判断为合理的.

【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，

由题意可知：；

，

由正态分布的对称性及“”原则可知：.

（2）检测员的判断是合理的．

如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包白糖检测，质量都小于的概率约为，为极小概率事件，几乎不可能发生；但这样的事件竟然发生了，

有理由认为生产线出现异常，即检测员的判断是合理的.

19．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．

(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；

(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；

(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，根据古典概型的概率公式求出，，又与为互斥事件，根据和事件的概率公式计算可得；

（2）设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；

（3）设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则与为互斥事件，

∵，

∴2个盲盒为同一种笔的概率．

（2）解：设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，．

∵，，

∴，

即第次、第次取到的都是钢笔盲盒的概率为．

（3）解：设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，．

∵，，，

∴由全概率公式，可知第次取到的是圆珠笔盲盒的概率为

．

20．某学校为举办甲､乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一､方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率；

(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

(3)将该校学生支持方案一的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和500名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.

【答案】(1)从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为，从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为

(2)

(3)理由见解析

【分析】（1）计算出全体男生人数，从而估计其支持方案一的概率，同理计算出全体女生人数，估计出其支持方案一的概率；

（2）分两种情况，支持方案一的这2人均为男生和支持方案一的这2人中1男1女，分别求出相应的概率，相加得到结果；

（3）先计算出，分别计算出该校一年级男生和女生中支持方案二的大约人数，从而得到一年级学生中支持方案二的概率，由得到.

【详解】（1）全体男生共有200+400=600人，其中支持方案一的有200人，

故从该校全体男生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为，

全体女生共有300+100=400人，其中支持方案一的有300人，

故从全体女生中随机抽取1人，估计其支持方案一的概率为；

（2）支持方案一的这2人均为男生，此时概率为，

支持方案一的这2人中1男1女，此时概率为

故估计这3人中恰有2人支持方案一的概率为；

（3），理由如下：

由样本的频率估计总体概率，该校学生支持方案一的概率估计值为，

该校一年级男生中支持方案二的约有人，

该校一年级女生中支持方案二的约有人，

假设一年级学生中支持方案二的概率为，则，

因为，则，故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应高于平均概率，即.

21．A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下：

现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布

【答案】答案见详解

【分析】分别例举出与的可能取值，再分别求出不同取值的概率，即可得到与的概率分布

【详解】由题意可知的可能取值为3，2，1，0

则，

，

，

由题意可知，所以的可能取值为0，1，2，3

，，

，

故与的概率分布为：

22．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：

①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；

(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．

【答案】(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析

(2)

【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；

（2）根据题意得到X的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X的每一个取值的概率求出，从而得到X的的分布列，从而求得X的数学期望．

【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分，

所以甲后两轮的选择有三种方案：

方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；

方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；

方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：；

因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.

（2）依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，

则，

，

，

所以X的分布列为：

所以.