第七章 随机变量及其分布【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第三册）

这是一份第七章 随机变量及其分布【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第三册），共60页。PPT课件主要包含了知识框架，重点题型，＝2418元，则ξ的分布列为，故ξ的分布列为，故η的分布列为，所以ξ的分布列为，所以X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

一、条件概率与全概率公式
2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
例1　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
解　方法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
反思感悟　(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
跟踪训练1　抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？
解　记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，
(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？
解　记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”.
例2　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
解　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1,2,3，
P(A3)＝P(H1H2H3)，又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞机被击落的概率为0.458.
反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.
解　用A1，A2，A3分别表示事件买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养.
例3　甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：
乙公司送餐员送餐单数频数表：
若将频率视为概率，回答下列两个问题：(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
解　设乙公司送餐员送餐单数为a，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，故X的分布列为
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
解　甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.
反思感悟　(1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可.(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论.
跟踪训练3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3.
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
解　方案一的单价为20元/kg，设方案二的单价为η，则η的均值为
因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二.
例4　某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
(1)求保险公司在该业务所获利润的均值；
解　设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为
保险公司所获利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，所以保险公司在该业务所获利润的均值为9万元.
(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
解　方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104.因为46×104>37.1×104，所以建议企业选择方案2.
反思感悟　均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定.(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
跟踪训练4　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等.(1)求a，b，c的值；
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①又b＋c＝1，②
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
三、正态分布与二项分布、超几何分布的综合应用
解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.
例5　为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：
(1)根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的组中值作代表)；
解　由数据可知样本平均数为
(2)若环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染，把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：①求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率；
设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”，
②学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D(X).
则随机变量X的分布列为
所以D(X)＝np(1－p)＝0.27.
反思感悟　二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
跟踪训练5　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
例6　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为 .
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求m，n的值；
解　设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
解　设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差.
解　由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0,1,2,3.
反思感悟　超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等.
跟踪训练6　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%.
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表所示：
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
解　记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及均值.
解　因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.X的所有可能取值为0,1,2.
例7　某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解　由于外直径X～N(4,0.52)，则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002 7，而5.7∉[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.
反思感悟　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
跟踪训练7　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解　∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.