人教版高中数学选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布B卷提高训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布B卷提高训练（原卷版）

一、选择题

1．（2021·吉林长春市高二）甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（    ）

A．50% B． C． D．

2．（2021·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

3．（2021·广东汕头市高二）交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（    ）

A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.904

4．（2021·浙江宁波市镇海中学）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．

5．（多选题）（2021·江苏南通市高二期末）2．（2021·山东高三其他模拟）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（    ）

A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则

B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则

C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则

D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则

6．（多选题）（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

二、填空题

7. 伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________

8．（2021·湖北高二月考）遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是，不游玩遗爱湖的概率都是，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n分的概率为，则＝_______．

9．（2021·青铜峡市高级中学高二期末）随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是______

10．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．

三、解答题

11．（2021·云南民族大学附属中学高二月考）某学校高一年级进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.

（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）问：若将题干中的抢答五道题改为抢答三道题，先得两分者获胜，其余条件不变，则对甲更有利还是更不利?请说明理由.

12（2021·黑龙江高二）每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．

（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数近似服从正态分布，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；

（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量（单位：元），求的分布列；

（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．

附：若，则，．

人教版高中数学选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布B卷提高训练（解析版）

一、选择题

1．（2021·吉林长春市高二）甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（    ）

A．50% B． C． D．

【答案】C

【详解】解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以故选：C

2．（2021·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】因为随机变量服从正态分布，，

根据正态分布的特征，可得，解得.故选：B．

3．（2021·广东汕头市高二）交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（    ）

A．0.36 B．0.576 C．0.648 D．0.904

【答案】C

【详解】解法一：3道题中至少答对2道题有答对2道和答对3题这两种情况，则3道题中至少答对2道题的概率为.

解法二：设3道题中至少答对2道题为事件，则.故选：C.

4．（2021·浙江宁波市镇海中学）某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量的可能值为2或3，

，A错；

，B错；

，

因为，所以，C正确；

记，，

，

，

因为，所以，D错．故选：C．

5．（多选题）（2021·江苏南通市高二期末）2．（2021·山东高三其他模拟）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（    ）

A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则

B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则

C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则

D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则

【答案】ABD

【详解】对A，所有可能的情况有种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有种，故，故A正确；

对B，，，

所以，故B正确；

对C，可得的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

所以，故C错误.

对D，可得的可能取值为0，1，2，3，

则，，，，

则，，

则，故D正确.故选：ABD.

6．（多选题）（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，所以，所以D选项错误.故选：AC

二、填空题

7. 伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则________

【答案】

【详解】由题意得,

则.

8．（2021·湖北高二月考）遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是，不游玩遗爱湖的概率都是，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n分的概率为，则＝_______．

【答案】

【详解】表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖.

故．

9．（2021·青铜峡市高级中学高二期末）随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是______

【答案】5

【详解】a，b，c成等差数列，,又,且,

联立以上三式解得:,

,

则,

10．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．

【答案】；   

【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，随机变量，

，

，所以.

三、解答题

11．（2021·云南民族大学附属中学高二月考）某学校高一年级进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲、乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.

（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）问：若将题干中的抢答五道题改为抢答三道题，先得两分者获胜，其余条件不变，则对甲更有利还是更不利?请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）对甲更有利，理由见解析.

【详解】解：（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件.

发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，

∴，

∴比赛开始，甲率先得一分的概率为.

（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，

设两人共抢答了道题比赛结束，且甲获胜.

根据比赛规则，的所有可能取值分别为3，4，5，

则，

，

，

则甲获胜的概率.

（3）由（1）（2）知改变规则后甲获胜的概率

，

而，

即此时甲获胜的概率更大了，对甲更有利.

12（2021·黑龙江高二）每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每箱内各有8个大小质地完全相同的球，甲箱内有3个红球，5个黄球，乙箱内有3个红球，4个黄球，1个黑球，摸奖环节安排在植树活动结束后，每位植树者植树每满25棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满40棵获得一次乙箱内摸奖机会，摸奖者每次摸两个球后放回原箱，摸得两个红球奖50元，两球颜色不同奖20元，摸得两黄球则没有奖金，为体现公平性，植树总数低于80棵的员工，只能选择甲、乙两个摸奖箱中的一个进行摸奖；植树总数不低于80棵的员工，可自由搭配甲、乙两箱内的摸奖次数．

（1）经统计，该公司此次植树活动共有200名员工参加，且植树棵数近似服从正态分布，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；

（2）某位植树者获得一次甲箱内摸奖机会，设中奖金额为随机变量（单位：元），求的分布列；

（3）某人植树90棵，有三种摸奖方法，方法一：甲箱内摸奖三次；方法二：乙箱内摸奖两次；方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．请问：这位植树者选哪种方法所得奖金的期望值最大．

附：若，则，．

【答案】（1）68人；（2）答案见解析；（3）选方法三所得奖金的期望值最大．

【详解】解：（1）由题意知，，

所以，

估计植树的棵树在区间内的人数是68人．

（2）随机变量的所有可能取值为0，20，50，

则，，，

所以的分布列为：

（3）方法一：甲箱内摸奖三次，

由（2）得E，

所以，即方法一所得奖金的数学期望是．

方法二：乙箱内摸奖两次，

在乙箱中摸奖一次，设中奖金额为随机变量，则随机变量的所有可能取值为0，20，50，

则，，，

所以的分布列为：

所以，

所以，即方法二所得奖金的数学期望是．

方法三：甲箱内摸奖两次，乙箱内摸奖一次．

，即方法三所得奖金的数学期望是，

因为，所以选方法三所得奖金的期望值最大．