苏科版数学九年级上册一元二次方程知识题型总结

一元二次方程知识题型总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：

考点二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

形如的一元二次方程。当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：通常用“”来表示，即

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，。(需注意根的判别式)

二、典型题型的总结

（一）   一元二次方程的概念

1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：

（1）；                              

（2）；                              

（3）；                                

（4） ；                                

（5）；                              

2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）

(1)=        时，关于的方程是一元二次方程。

(2)若分式，则          

3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）

(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则         

(2)已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，

则   ，                                              

(3)已知2是关于的方程的一个根，则的值是       

(4)已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为        ，c=       

（二）一元二次方程的解法

4．开平方法解下列方程：

（1）                       （2）

（3）                        （4）

（5）；                      （6）；

（7）．                   （8）

5．用配方法解下列各方程：

（1）；                       （2）；

（3）                         （4）

（5）；                    （6）．

6．用公式法解下列各方程：

（1）；                       （2）；

（3）；                        （4）．

（5）                         （6）  

（7）                           （8）

（9）

7．用因式分解法解下列各方程：

（1）；                        （2）

（3）                      （4）

（5）                       （6）

（7）；                   （8）．

（9）                 （10）

（11）

8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：

（1）             （2）

（3）         （4）   

（5）       

9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：

（1）               （2）   

(3)（）    (4)

（三）一元二次方程的根的判别式

10．不解方程，判别方程根的情况：

（1）4   ——                              

（2）   ——                              

（3）   ——                              

11．为何值时，关于x的二次方程

（1）满足              时,方程有两个不等的实数根

（2）满足              时,方程有两个相等的实数根 

（3）满足              时,方程无实数根            

12．已知关于的方程，如果，那么此方程的根的情况是（    ）．

A．有两个不相等的实根   B．有两个相等的实根    C．没有实根   D．不能确定

13．关于的方程的根的情况是（    ）．

A．有两个不相等的实根   B．有两个相等的实根    C．没有实根   D．不能确定

14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（    ）．

A．           B．且     C．         D．

15．已知，且方程有两个相等实根，那么的值等于（    ）．

A．            B．            C．3或        D．3

16．若关于的方程有实根，则的非负整数值是（    ）．

A．0，1            B．0，1，2           C．1              D．1，2，3

17．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．         

18．方程有实数根，求正整数a. 

19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根.

20．设为整数，且时，方程有两个相异整数根，求的值及方程的根。

21． 为何值时，方程有实数根.

（四）一元二次方程的应用

22．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

23．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.

24．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．

25．已知：如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积是1500的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是多少？

26．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米．

  （1）渠道的上口与渠底宽各是多少？

  （2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？

27．据有关资料显示，我国农产品出口总量中，初级产品占五分之四，深加工产品占五分之一．由于在国际市场上，初级产品的价格较低，不利于出口创汇，所以加入WTO后，必须尽快改变这种出口结构．假设我国每年农产品出口总量不变，两年后将深加工产品的出口比重提高到十分之三，问平均每年比上年提高的百分数是多少？（结果精确到0.1%，下列数据可供选用：，，）

28．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率．

29．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

30．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税） 

31.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？      

33．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距千米？    

34．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，

速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通

过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米

时，每个人的位置。

35．已知关于x的方程①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y的方程②必有两个相等的实数根。

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值。

36．一次函数和反比例函数，（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A、B，是锐角还是钝角？

37．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案．

已知是关于的方程的一个根，求的值．

（1）将代入原方程，化简，得．

（2）两边同除以，得，所以．

（3）把代入原方程检验，可知符合题意，所以．

38．要使关于的方程与有且只有一个公共根，求的值．

39．是否存在使函数的函数值为0的值，若存在，就把它求出来；若不存在，请说明理由．

40．*解下列分式方程：

（1）；                       （2）；   

（3）；                  （4）；

（5）；                  （6）．

（五）＊根系关系

若中，有，则有：

=                         =                

可推出：=              ；     =              ；

根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：

41．如果是、是方程的两个根，则的值为（    ）．

   A．1           B．17            C．6.25         D．0.25

42．已知、是方程的两个实数根，则等于（    ）．

   A．       B．       C．       D．

43．设、是方程的两个实数根，则的值为（    ）．

   A．         B．          C．          D．

44．方程的两根之比为，则等于（    ）．

   A．4           B．           C．3            D．5

45．已知一个直角三角形的两条直角边的恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（    ）．

   A．         B．3             C．6            D．9

46已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

一元二次方程易错题

一、选择题

1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（   ）

   A．1         B.  2        C.  1或2          D.  0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（    ）

A．  B．  C． D．

3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则的值是（    ）

A．  B．  C．  D．

4、已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（    ）

A．没有实数根  B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根     D．有两个不相等的实数根

5、已知是方程的两根，且，则值为 （   ）

A．－5            B.5              C.-9             D.9

6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）

A．            B．            C．         D．

7、的估计正确的是 （    ）

 A． B． C． D．

8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（    ）

A．1     B．12       C．13     D．25

9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(   )

 A.   B.   C.      D.

10、设是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2006  B．2007  C．2008  D．2009

11、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：

 ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0必有实数根； ②若b+4ac<0，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；

 ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不等实数根；

④若方程ax+bx+c=0有两个实数根，则方程cx+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是(   )

    A．①②      B．①③     C．②③    D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程x－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=           ．

3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是                  ．

4、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a0)有两个相等实根，求 的值为___    ___．

5、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为_________．

6、已知关于的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）．设x，x为方程的两个实数根，且x +2x=14，则k的值为________． 

7、已知m、n是方程x-2003x+2004=0的两根，则(n-2004n+2005)与(m-2004m+2005)的积是        .  

一、知识与技能的总结

（一）概念

一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”．

一元二次方程的一般形式——，按未知数x降幂排列

方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．

（二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解

1．直接开平方法——适用于                    的方程．

2．配方法——适用于所有的一元二次方程；

（1）“移项”——使得                                         

（2）“系数化1”——使得                                     

（3）“配方”——使得                                         

（4）“求解”——利用                    解方程

3．公式法——适用于                的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，

（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；

（2）先求出的值，若，则代入公式                      ．

若，则                            ；

4．因式分解法——适用于                    的方程．

用因式分解法解一元二次方程的依据是：                  ．

通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个            方程的解．

（三）其它知识方法

1．根的判别式： ，（1）若，则方程有     解；

（2）若，则方程有     解；（3）若，则方程有     解；

2．换元法

（1）；           （2）

（3）．

3．可化为一元二次方程的分式方程

解方程