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2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（a卷） 解析版
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这是一份2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（a卷） 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（A卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2．下列关于“健康防疫“标志的图中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
4．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞ C．m＜ D．m＜3
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，连接BD，若∠DCE＝50°，则∠ABD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤﹣ B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤﹣ D．0≤a≤2
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．若一个数的平方等于5，则这个数等于 ．
10．因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
11．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为 ．
12．某地2021年3月份接种新冠病毒疫苗的有1万人次，5月份接种新冠病毒疫苗的有1.21万人次，从3月份到5月份，该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率 ．
13．直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 ．（用“＜“连接）
14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AD的中点，点P是边CD上的动点，点Q是正方形内一动点，且满足∠BQC＝90°，则PE+PQ的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）×．
16．（5分）解不等式组：．
17．（5分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
18．（5分）如图，点P为∠AOB内一定点，过点P作PD⊥OA于点D，请用尺规作图法在OB上求作一点Q，使得∠AOB与∠DPQ互补（保留作图痕迹，不写作法）．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形，并证明．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，在校园内传承红色文化，弘扬爱国主义奋斗精神，某校每月都要开展以“从小学党史永远跟党走”为主题的知识测评活动．为了激发学生的积极性，该校对达到一定成绩的学生授予“小小楷模“的荣誉称号，为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 89 90 98 90 97 95 98 98 97 95 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩/分
88
89
90
91
95
97
98
学生人数
2
2
1
4
3
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表（单位：分）
平均数
众数
中位数
90
数据应用：
（2）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“小小楷模”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数并说明理由．
21．（6分）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表：
课题
测量“天下第一灯”（AB）的高度
测量工具
测量角度的仅器，标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量方案
示意图
说明
EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上
CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上
点C、D、B在同一条直线上
测量数据
甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米
从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°
从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米
（1）根据测量方案和所得数据，第 小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB；
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（7分）如图①是第十四届全运会会徽“礼天玉璧”，其主色调黄、绿、蓝、紫、红分别象征黄土高原、自然生态、现代科技、时尚文化、革命圣地，呈现中华民族伟大复兴的深厚历史渊源和广泛现实基础某校组织开展宣讲活动，每位同学可从这五种色调所象征的意义中选择一个作为宣讲主题，小军和小华准备通过摸球游戏确定自己的宣讲主题游戏规则．
如图②，在一个不透明的袋中装有黄、绿、蓝、紫、红五个小球（小球除颜色外无任何区别），小军和小华先后从袋中随机摸出一球（不放回）并把摸出小球的颜色所对应的象征意义作为各自的宣讲主题．
（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）利用树状图或列表法求小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率．
23．（7分）小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用500元购买的B种摆件数量相同．
（1）求A、B两种摆件的单价各是多少？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元若小王购买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆件各多少个？
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB与⊙O相切于点D，CD是⊙O的直径，AC交⊙O于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF．
（1）求证：∠ABC＝∠EFD；
（2）若AD＝2，CD＝，求BD的长．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，则S△ABC＝ ；
（2）如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于点M，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于N，∠DAE＝20°，BC＝6，求∠BAC的度数及△ADE的周长；
问题解决
（3）如图③，某农场主欲规划出一个如图所示的矩形田地ABCD，其中BC＝0.4km，点P在边AD上，E、F为BC边上两点（包括端点），在△PEF区域种植甲种农作物，其余区域种植乙种农作物，并沿△PEF的三边铺设围栏，围栏总长为0.6km（即△PEF的周长为0.6km），围栏PE与PF的夹角为60°（即∠EPF＝60°），为了尽可能多的种植农作物要求矩形ABCD的面积尽可能的大，请问能否设计出一个面积尽可能大又满足要求的矩形ABCD田地？若能，求出矩形ABCD面积的最大值；若不能，请说明理由．
2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，
因此备选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
2．下列关于“健康防疫“标志的图中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．
【解答】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；
B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；
C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；
D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
故选：B．
4．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞ C．m＜ D．m＜3
【分析】由＜0，利用正比例函数的性质可得出2m﹣6＜0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，
∴2m﹣6＜0，
∴m＜3．
故选：D．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【分析】根据平移的性质得到A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，由勾股定理得到B′C′＝＝4，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵AA′∥BC′，
∴四边形ABC′A′是梯形，
∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝（3+4+3）×3＝15，
故选：A．
6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【分析】观察得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．
【解答】解：第①个图形的实心圆点数是5个．
第②个图形的实心圆点数是5+3＝8．
第③个图形的实心圆点数是5+3+3＝5+3×2．
第④个图形的实心圆点数是5+3+3+3＝5+3×3．
..．
以此类推，第n个图形的实心圆点数是5+3（n﹣1）个．
∴当n＝9时，第⑨个图形的实心圆点数是5+3×8＝29（个）．
故选：D．
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，连接BD，若∠DCE＝50°，则∠ABD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCD＝180°，则利用等角的补角相等得到∠A＝∠DCE＝50°，再根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABD，然后利用三角形内角和计算可计算出∠ABD的度数．
【解答】解：∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝50°，
∵弧AB＝弧AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
8．已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤﹣ B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤﹣ D．0≤a≤2
【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x＝时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴当x＝时取最小值，
∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，
∴x＝＝a+3时取最小值，
∴a+3＝，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，
又函数过（a，b）和（a+6，b），
所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤﹣．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．若一个数的平方等于5，则这个数等于 ± ．
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：±．
故答案为：±．
10．因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
11．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为 72° ．
【分析】首先根据正五边形的性质得到BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠1＝∠BDC+∠DCE＝72°．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，
∴∠1＝∠BDC+∠DCE＝72°．
故答案为：72°．
12．某地2021年3月份接种新冠病毒疫苗的有1万人次，5月份接种新冠病毒疫苗的有1.21万人次，从3月份到5月份，该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率 10% ．
【分析】设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为x，利用5月份接种新冠病毒疫苗的人次数＝3月份接种新冠病毒疫苗的人次数×（1+平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为x，
依题意得：（1+x）2＝1.21，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
∴该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为10%．
故答案为：10%．
13．直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 n＜t＜m ．（用“＜“连接）
【分析】根据题意列出方程组求出各字母的值即可判断．
【解答】解：∵直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于两点A（1，m），B（﹣2，n），
∴，
解得 ，
∴直线解析式为y＝2x+2，反比例函数解析式为y＝，即A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，
∴C（2，2），即t＝2，
∴n＜t＜m，
故答案为：n＜t＜m．
14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AD的中点，点P是边CD上的动点，点Q是正方形内一动点，且满足∠BQC＝90°，则PE+PQ的最小值是 6﹣3 ．
【分析】利用圆周角定理可判断Q点在以BC为直径的圆上，作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PE+PQ的值最小，连接OE，如图，然后计算FQ的长得到PE+PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BQC＝90°，
∴Q点在以BC为直径的圆上，
作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图，
∵PE+PQ＝PF+PQ＝FQ＝OF﹣OQ，
∴此时PE+PQ的值最小，
连接OE，如图，
∵E点为AD的中点，
∴OE⊥AD，
在Rt△OEF中，∵OE＝AB＝6，EF＝2DE＝6，
∴OF＝OE＝6，
∴FQ＝6﹣3，
即PE+PQ的最小值是 6﹣3．
故答案为：6﹣3．
三、解答题（共12小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）×．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝×+×+1﹣（2﹣）
＝3++1﹣2+
＝5﹣1．
16．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
17．（5分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝（m﹣3）﹣2（m+3）
＝m﹣3﹣2m﹣6
＝﹣m﹣9，
当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；
当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．
18．（5分）如图，点P为∠AOB内一定点，过点P作PD⊥OA于点D，请用尺规作图法在OB上求作一点Q，使得∠AOB与∠DPQ互补（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作PQ⊥OB于点Q，∠DPQ即为所求．
【解答】解：如图，∠DPQ即为所求．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形，并证明．
【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
【解答】解：△ADF≌△CBE，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴∠AFD＝∠BEC，
在△ADF与CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，在校园内传承红色文化，弘扬爱国主义奋斗精神，某校每月都要开展以“从小学党史永远跟党走”为主题的知识测评活动．为了激发学生的积极性，该校对达到一定成绩的学生授予“小小楷模“的荣誉称号，为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 89 90 98 90 97 95 98 98 97 95 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩/分
88
89
90
91
95
97
98
学生人数
2
2
5
1
4
3
3
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表（单位：分）
平均数
众数
中位数
93
90
93
数据应用：
（2）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“小小楷模”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数并说明理由．
【分析】（1）由题意即可将表格补充完整，再根据平均数和中位数的定义即可求解；
（2）由20×30%＝6，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
平均数为：（88×2+89×2+90×5+91+95×4+97×3+98×3）÷20＝93（分），
一共20个数据，第10个数据是91，第11个数据是95，故中位数是（91+95）÷2＝93（分）．
故答案为：5；3；93；93；
（2）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
∵20×30%＝6，
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
21．（6分）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表：
课题
测量“天下第一灯”（AB）的高度
测量工具
测量角度的仅器，标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量方案
示意图
说明
EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上
CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上
点C、D、B在同一条直线上
测量数据
甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米
从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°
从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米
（1）根据测量方案和所得数据，第 二 小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB；
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；
（2）选择第一小组的数据测量，延长AP交BH的延长线于C，根据相似三角形的性质即可得到结论；
选择第三小组的数据测量，先证△ABD是等腰直角三角形，得AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝（x+12）米，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，
所以第二小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：二；
（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：
延长AP交BH的延长线于C，
∵PH⊥BC，EF⊥BC，AB⊥BC，
∴PH∥EF∥AB，
∴△CPH∽△CAB，△CEF∽△CAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得AB＝33，
答：“天下第一灯”的高度AB为33米；
选择第三小组的数据测量，理由如下：
由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+11）米，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，
∴≈，
解得：x≈33，
即教学大楼AB的高度约为33米．
22．（7分）如图①是第十四届全运会会徽“礼天玉璧”，其主色调黄、绿、蓝、紫、红分别象征黄土高原、自然生态、现代科技、时尚文化、革命圣地，呈现中华民族伟大复兴的深厚历史渊源和广泛现实基础某校组织开展宣讲活动，每位同学可从这五种色调所象征的意义中选择一个作为宣讲主题，小军和小华准备通过摸球游戏确定自己的宣讲主题游戏规则．
如图②，在一个不透明的袋中装有黄、绿、蓝、紫、红五个小球（小球除颜色外无任何区别），小军和小华先后从袋中随机摸出一球（不放回）并把摸出小球的颜色所对应的象征意义作为各自的宣讲主题．
（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是 随机 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）利用树状图或列表法求小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数即可．
【解答】解：（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
黄
绿
蓝
紫
红
黄
（绿，黄）
（蓝，黄）
（紫，黄）
（红，黄）
绿
（黄，绿）
（蓝，绿）
（紫，绿）
（红，绿）
蓝
（黄，蓝）
（绿，蓝）
（紫，蓝）
（红，蓝）
紫
（黄，紫）
（绿，紫）
（蓝，紫）
（红，紫）
红
（黄，红）
（绿，红）
（蓝，红）
（紫，红）
由表知，共有20种等可能结果，其中小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的结果有8种，
所以小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率为＝．
23．（7分）小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用500元购买的B种摆件数量相同．
（1）求A、B两种摆件的单价各是多少？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元若小王购买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆件各多少个？
【分析】（1）设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合用400元购进A种摆件的数量与用500元购进的B种摆件的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据题意可得y与x之间的函数关系式，再把y＝1930代入解答即可．
【解答】解：（1）设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，
依题意，得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝25．
答：A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元．
（2）根据题意，y＝20×0.8x+25×0.8（100﹣x）+50＝﹣4x+2050，
当y＝1930时，﹣4x+2050＝1930，
解得：x＝30，
100﹣30＝70（个），
答：他购买A摆件30个，B种摆件70个．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB与⊙O相切于点D，CD是⊙O的直径，AC交⊙O于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF．
（1）求证：∠ABC＝∠EFD；
（2）若AD＝2，CD＝，求BD的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得∠CDB＝90°，再根据同角的余角相等可得∠ECD＝∠ABC，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD＝∠EFD，即可解答；
（2）利用（1）的结论可证△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABC，
∵∠ECD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠ABC；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ECD＝∠ABC，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴DB＝3，
∴BD的长为3．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
【分析】（1）由点B的坐标可确定对称轴，即可求出b的值，再将A点代入求出c的值，即可求出抛物线的表达式；
（2）利用矩形的对角线互相平分且相等，即P为AA′和BB′中点，且AA′＝BB′，列出等式求解．
【解答】解：（1）∵顶点B横坐标为﹣1，
∴＝﹣1，
得b＝﹣2；
讲A（﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c；
解得c＝3；
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）由（1）可求出B的坐标为（﹣1，4）；
∵抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；
∴P为矩形ABCD对角线的交点；
∴PA＝PC＝PB＝PD；
①当P在x轴上时：
设点P坐标为（x，0）；
∴PB2＝（x+1）2+42＝PA2＝（x+3）2；
解得x＝2，
∴P（2，0）．
②当P在y轴上时：
设点P坐标为（0，y）；
∴PB2＝（﹣1）2+（4﹣y）2＝PA2＝（﹣3）2+y2；
解得y＝1；
∴P（0，1）．
即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，则S△ABC＝ ；
（2）如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于点M，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于N，∠DAE＝20°，BC＝6，求∠BAC的度数及△ADE的周长；
问题解决
（3）如图③，某农场主欲规划出一个如图所示的矩形田地ABCD，其中BC＝0.4km，点P在边AD上，E、F为BC边上两点（包括端点），在△PEF区域种植甲种农作物，其余区域种植乙种农作物，并沿△PEF的三边铺设围栏，围栏总长为0.6km（即△PEF的周长为0.6km），围栏PE与PF的夹角为60°（即∠EPF＝60°），为了尽可能多的种植农作物要求矩形ABCD的面积尽可能的大，请问能否设计出一个面积尽可能大又满足要求的矩形ABCD田地？若能，求出矩形ABCD面积的最大值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）作高求面积即可，
（2）根据中垂线得到相等的线段以及角，进而可推导出∠ABC和△DAE的周长，
（3）属于“定高定角”模型的应用，根据题目条件讲△PEF的周长转化为MN的长度，进而做出△PEF的外接圆，，进而可得出此矩形的高AB的最大值．
【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB，交BA延长线于点M，
则有∠CAM＝60°，
∵AB＝AC＝2，
∴AM＝1，CM＝，
∴．
（2）∵DM是线段AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得：AE＝CE，∠C＝∠CAE，
又∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE＝180°，∠DAE＝20°，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠CAE＝20°+80°＝100°，
△ADE的周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6．
（3）如图，延长FE至点M，使得EM＝PE，延长EF至点N，使得FN＝PF，
则有MN的长度等于△PEF的周长，即MN＝0.6，
连接PM，PN，
利用（2）中方法同理可求得∠MPN＝120°，
做出△PMN的外接圆⊙O，连接OP、OM、ON，
过点O作OG⊥MN于点G，延长OG交⊙O于点P'，过P点作PH⊥MN于点H，
则有∠MON＝2（180°﹣∠MPN）＝120°，
∴∠NOG＝∠MOG＝60°，NG＝MG＝0.3，
∴，
∴ON＝，
∵OG+PH≤OP，
∴PH≤OP﹣OG＝，
∴当P和P'重合时PH取得最大值，
∵PH＝AB，
∴当PH取得最大值时，矩形ABCD的面积最大，
∴（S矩形ABCD）max＝BC•PHmax＝＝km2，
即矩形ABCD面积最大值为km2．
2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（A卷）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2．下列关于“健康防疫“标志的图中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
4．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞ C．m＜ D．m＜3
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，连接BD，若∠DCE＝50°，则∠ABD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤﹣ B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤﹣ D．0≤a≤2
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．若一个数的平方等于5，则这个数等于 ．
10．因式分解：mx2﹣2mx+m＝ ．
11．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为 ．
12．某地2021年3月份接种新冠病毒疫苗的有1万人次，5月份接种新冠病毒疫苗的有1.21万人次，从3月份到5月份，该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率 ．
13．直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 ．（用“＜“连接）
14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AD的中点，点P是边CD上的动点，点Q是正方形内一动点，且满足∠BQC＝90°，则PE+PQ的最小值是 ．
三、解答题（共12小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）×．
16．（5分）解不等式组：．
17．（5分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
18．（5分）如图，点P为∠AOB内一定点，过点P作PD⊥OA于点D，请用尺规作图法在OB上求作一点Q，使得∠AOB与∠DPQ互补（保留作图痕迹，不写作法）．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形，并证明．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，在校园内传承红色文化，弘扬爱国主义奋斗精神，某校每月都要开展以“从小学党史永远跟党走”为主题的知识测评活动．为了激发学生的积极性，该校对达到一定成绩的学生授予“小小楷模“的荣誉称号，为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 89 90 98 90 97 95 98 98 97 95 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩/分
88
89
90
91
95
97
98
学生人数
2
2
1
4
3
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表（单位：分）
平均数
众数
中位数
90
数据应用：
（2）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“小小楷模”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数并说明理由．
21．（6分）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表：
课题
测量“天下第一灯”（AB）的高度
测量工具
测量角度的仅器，标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量方案
示意图
说明
EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上
CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上
点C、D、B在同一条直线上
测量数据
甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米
从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°
从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米
（1）根据测量方案和所得数据，第 小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB；
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（7分）如图①是第十四届全运会会徽“礼天玉璧”，其主色调黄、绿、蓝、紫、红分别象征黄土高原、自然生态、现代科技、时尚文化、革命圣地，呈现中华民族伟大复兴的深厚历史渊源和广泛现实基础某校组织开展宣讲活动，每位同学可从这五种色调所象征的意义中选择一个作为宣讲主题，小军和小华准备通过摸球游戏确定自己的宣讲主题游戏规则．
如图②，在一个不透明的袋中装有黄、绿、蓝、紫、红五个小球（小球除颜色外无任何区别），小军和小华先后从袋中随机摸出一球（不放回）并把摸出小球的颜色所对应的象征意义作为各自的宣讲主题．
（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）利用树状图或列表法求小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率．
23．（7分）小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用500元购买的B种摆件数量相同．
（1）求A、B两种摆件的单价各是多少？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元若小王购买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆件各多少个？
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB与⊙O相切于点D，CD是⊙O的直径，AC交⊙O于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF．
（1）求证：∠ABC＝∠EFD；
（2）若AD＝2，CD＝，求BD的长．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，则S△ABC＝ ；
（2）如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于点M，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于N，∠DAE＝20°，BC＝6，求∠BAC的度数及△ADE的周长；
问题解决
（3）如图③，某农场主欲规划出一个如图所示的矩形田地ABCD，其中BC＝0.4km，点P在边AD上，E、F为BC边上两点（包括端点），在△PEF区域种植甲种农作物，其余区域种植乙种农作物，并沿△PEF的三边铺设围栏，围栏总长为0.6km（即△PEF的周长为0.6km），围栏PE与PF的夹角为60°（即∠EPF＝60°），为了尽可能多的种植农作物要求矩形ABCD的面积尽可能的大，请问能否设计出一个面积尽可能大又满足要求的矩形ABCD田地？若能，求出矩形ABCD面积的最大值；若不能，请说明理由．
2021年陕西省渭南市中考数学冲刺试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，
因此备选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
2．下列关于“健康防疫“标志的图中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x2•x3 C．（x2）3 D．x6﹣x
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算．
【解答】解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；
B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；
C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；
D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
故选：B．
4．已知正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＞ C．m＜ D．m＜3
【分析】由＜0，利用正比例函数的性质可得出2m﹣6＜0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2m﹣6）x的图象上一点（x0，y0），且＜0，
∴2m﹣6＜0，
∴m＜3．
故选：D．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【分析】根据平移的性质得到A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，由勾股定理得到B′C′＝＝4，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵AA′∥BC′，
∴四边形ABC′A′是梯形，
∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝（3+4+3）×3＝15，
故选：A．
6．下图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【分析】观察得出每两个相邻的图形中后一个图形总是在前一个图形的底部增加1个实心圆点，顶部的两侧各增加1个实心圆点，进而归纳任意两相邻的图形中后一个图形实心圆点数比前一个实心圆点数多3个，从而得出图形实心圆点数的一般变化规律．
【解答】解：第①个图形的实心圆点数是5个．
第②个图形的实心圆点数是5+3＝8．
第③个图形的实心圆点数是5+3+3＝5+3×2．
第④个图形的实心圆点数是5+3+3+3＝5+3×3．
..．
以此类推，第n个图形的实心圆点数是5+3（n﹣1）个．
∴当n＝9时，第⑨个图形的实心圆点数是5+3×8＝29（个）．
故选：D．
7．如图四边形ABCD内接于⊙O，弧AB＝弧AD，连接BD，若∠DCE＝50°，则∠ABD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCD＝180°，则利用等角的补角相等得到∠A＝∠DCE＝50°，再根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABD，然后利用三角形内角和计算可计算出∠ABD的度数．
【解答】解：∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE＝50°，
∵弧AB＝弧AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
8．已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（ ）
A．﹣2≤a≤﹣ B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤﹣ D．0≤a≤2
【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x＝时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．
【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），
∴y＝x2﹣（m+1）x+m，
∴当x＝时取最小值，
∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，
∴x＝＝a+3时取最小值，
∴a+3＝，
∴m＝2a+5，
方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，
又函数过（a，b）和（a+6，b），
所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，
得出m＝2a+5
∵1≤m≤2，
∴1≤2a+5≤2，
解得﹣2≤a≤﹣．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9．若一个数的平方等于5，则这个数等于 ± ．
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：若一个数的平方等于5，则这个数等于：±．
故答案为：±．
10．因式分解：mx2﹣2mx+m＝ m（x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：mx2﹣2mx+m＝m（x2﹣2x+1）＝m（x﹣1）2，
11．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为 72° ．
【分析】首先根据正五边形的性质得到BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠1＝∠BDC+∠DCE＝72°．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，
∴∠1＝∠BDC+∠DCE＝72°．
故答案为：72°．
12．某地2021年3月份接种新冠病毒疫苗的有1万人次，5月份接种新冠病毒疫苗的有1.21万人次，从3月份到5月份，该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率 10% ．
【分析】设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为x，利用5月份接种新冠病毒疫苗的人次数＝3月份接种新冠病毒疫苗的人次数×（1+平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为x，
依题意得：（1+x）2＝1.21，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
∴该地接种新冠病毒疫苗人次平均每月的增长率为10%．
故答案为：10%．
13．直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为 n＜t＜m ．（用“＜“连接）
【分析】根据题意列出方程组求出各字母的值即可判断．
【解答】解：∵直线y＝2x+b与反比例函数y＝的图象交于两点A（1，m），B（﹣2，n），
∴，
解得 ，
∴直线解析式为y＝2x+2，反比例函数解析式为y＝，即A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵点C（2，t）也在该反比例函数的图象上，
∴C（2，2），即t＝2，
∴n＜t＜m，
故答案为：n＜t＜m．
14．如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AD的中点，点P是边CD上的动点，点Q是正方形内一动点，且满足∠BQC＝90°，则PE+PQ的最小值是 6﹣3 ．
【分析】利用圆周角定理可判断Q点在以BC为直径的圆上，作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PE+PQ的值最小，连接OE，如图，然后计算FQ的长得到PE+PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BQC＝90°，
∴Q点在以BC为直径的圆上，
作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图，
∵PE+PQ＝PF+PQ＝FQ＝OF﹣OQ，
∴此时PE+PQ的值最小，
连接OE，如图，
∵E点为AD的中点，
∴OE⊥AD，
在Rt△OEF中，∵OE＝AB＝6，EF＝2DE＝6，
∴OF＝OE＝6，
∴FQ＝6﹣3，
即PE+PQ的最小值是 6﹣3．
故答案为：6﹣3．
三、解答题（共12小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）计算：（）×．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝×+×+1﹣（2﹣）
＝3++1﹣2+
＝5﹣1．
16．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
17．（5分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝（m﹣3）﹣2（m+3）
＝m﹣3﹣2m﹣6
＝﹣m﹣9，
当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；
当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．
18．（5分）如图，点P为∠AOB内一定点，过点P作PD⊥OA于点D，请用尺规作图法在OB上求作一点Q，使得∠AOB与∠DPQ互补（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作PQ⊥OB于点Q，∠DPQ即为所求．
【解答】解：如图，∠DPQ即为所求．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形，并证明．
【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
【解答】解：△ADF≌△CBE，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴∠AFD＝∠BEC，
在△ADF与CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
20．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，在校园内传承红色文化，弘扬爱国主义奋斗精神，某校每月都要开展以“从小学党史永远跟党走”为主题的知识测评活动．为了激发学生的积极性，该校对达到一定成绩的学生授予“小小楷模“的荣誉称号，为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 89 90 98 90 97 95 98 98 97 95 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩/分
88
89
90
91
95
97
98
学生人数
2
2
5
1
4
3
3
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表（单位：分）
平均数
众数
中位数
93
90
93
数据应用：
（2）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“小小楷模”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数并说明理由．
【分析】（1）由题意即可将表格补充完整，再根据平均数和中位数的定义即可求解；
（2）由20×30%＝6，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
平均数为：（88×2+89×2+90×5+91+95×4+97×3+98×3）÷20＝93（分），
一共20个数据，第10个数据是91，第11个数据是95，故中位数是（91+95）÷2＝93（分）．
故答案为：5；3；93；93；
（2）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
∵20×30%＝6，
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
21．（6分）宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图），为中国最高的开启式景观灯，曾获大世界基尼斯之最．某综合与实践小组开展了测量“天下第一灯”高度的实践活动．他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如表：
课题
测量“天下第一灯”（AB）的高度
测量工具
测量角度的仅器，标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
第三组
测量方案
示意图
说明
EF是标杆，甲同学站在H处观察到标杆顶端E和点A恰好在一条直线上，点H、F、B在一条直线上
CH是“天下第一灯”（AB）旁的一个临时点C、D、B在一条直线上
点C、D、B在同一条直线上
测量数据
甲同学的身高PH＝1.5米，EF＝3米，HF＝2米，BF＝40米
从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°
从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝11米
（1）根据测量方案和所得数据，第 二 小组的数据无法算出天下第一灯”的高度AB；
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；
（2）选择第一小组的数据测量，延长AP交BH的延长线于C，根据相似三角形的性质即可得到结论；
选择第三小组的数据测量，先证△ABD是等腰直角三角形，得AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝（x+12）米，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，
所以第二小组的数据无法算出大楼高度，
故答案为：二；
（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：
延长AP交BH的延长线于C，
∵PH⊥BC，EF⊥BC，AB⊥BC，
∴PH∥EF∥AB，
∴△CPH∽△CAB，△CEF∽△CAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得AB＝33，
答：“天下第一灯”的高度AB为33米；
选择第三小组的数据测量，理由如下：
由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+11）米，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，
∴≈，
解得：x≈33，
即教学大楼AB的高度约为33米．
22．（7分）如图①是第十四届全运会会徽“礼天玉璧”，其主色调黄、绿、蓝、紫、红分别象征黄土高原、自然生态、现代科技、时尚文化、革命圣地，呈现中华民族伟大复兴的深厚历史渊源和广泛现实基础某校组织开展宣讲活动，每位同学可从这五种色调所象征的意义中选择一个作为宣讲主题，小军和小华准备通过摸球游戏确定自己的宣讲主题游戏规则．
如图②，在一个不透明的袋中装有黄、绿、蓝、紫、红五个小球（小球除颜色外无任何区别），小军和小华先后从袋中随机摸出一球（不放回）并把摸出小球的颜色所对应的象征意义作为各自的宣讲主题．
（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是 随机 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）利用树状图或列表法求小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数即可．
【解答】解：（1）“小军从袋中摸出红球”这一事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
黄
绿
蓝
紫
红
黄
（绿，黄）
（蓝，黄）
（紫，黄）
（红，黄）
绿
（黄，绿）
（蓝，绿）
（紫，绿）
（红，绿）
蓝
（黄，蓝）
（绿，蓝）
（紫，蓝）
（红，蓝）
紫
（黄，紫）
（绿，紫）
（蓝，紫）
（红，紫）
红
（黄，红）
（绿，红）
（蓝，红）
（紫，红）
由表知，共有20种等可能结果，其中小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的结果有8种，
所以小军和小华中有一人的宣讲主题是“革命圣地”的概率为＝．
23．（7分）小王计划从某批发市场批量购买A、B两种仿古秦兵马俑工艺品摆件，已知A种摆件的批发价比B种摆件的批发价每个少5元，且用400元购买的A种摆件数量与用500元购买的B种摆件数量相同．
（1）求A、B两种摆件的单价各是多少？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为50元若小王购买会员卡并用此卡按需购买100个仿古秦兵马俑工艺品摆件，共用了y元，设A种摆件购买了x个，请求出y与x之间的函数关系式．若小王共用了1930元，则他购买A、B两种摆件各多少个？
【分析】（1）设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合用400元购进A种摆件的数量与用500元购进的B种摆件的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据题意可得y与x之间的函数关系式，再把y＝1930代入解答即可．
【解答】解：（1）设A种摆件的单价为x元，则B种摆件的单价为（x+5）元，
依题意，得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝25．
答：A种摆件的单价为20元，B种摆件的单价为25元．
（2）根据题意，y＝20×0.8x+25×0.8（100﹣x）+50＝﹣4x+2050，
当y＝1930时，﹣4x+2050＝1930，
解得：x＝30，
100﹣30＝70（个），
答：他购买A摆件30个，B种摆件70个．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB与⊙O相切于点D，CD是⊙O的直径，AC交⊙O于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF．
（1）求证：∠ABC＝∠EFD；
（2）若AD＝2，CD＝，求BD的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得∠CDB＝90°，再根据同角的余角相等可得∠ECD＝∠ABC，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD＝∠EFD，即可解答；
（2）利用（1）的结论可证△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABC，
∵∠ECD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠ABC；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ECD＝∠ABC，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴DB＝3，
∴BD的长为3．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标．
【分析】（1）由点B的坐标可确定对称轴，即可求出b的值，再将A点代入求出c的值，即可求出抛物线的表达式；
（2）利用矩形的对角线互相平分且相等，即P为AA′和BB′中点，且AA′＝BB′，列出等式求解．
【解答】解：（1）∵顶点B横坐标为﹣1，
∴＝﹣1，
得b＝﹣2；
讲A（﹣3，0）代入，得0＝﹣9+6+c；
解得c＝3；
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）由（1）可求出B的坐标为（﹣1，4）；
∵抛物线L与L′关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；
∴P为矩形ABCD对角线的交点；
∴PA＝PC＝PB＝PD；
①当P在x轴上时：
设点P坐标为（x，0）；
∴PB2＝（x+1）2+42＝PA2＝（x+3）2；
解得x＝2，
∴P（2，0）．
②当P在y轴上时：
设点P坐标为（0，y）；
∴PB2＝（﹣1）2+（4﹣y）2＝PA2＝（﹣3）2+y2；
解得y＝1；
∴P（0，1）．
即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）．
26．（10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝120°，则S△ABC＝ ；
（2）如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于点M，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于N，∠DAE＝20°，BC＝6，求∠BAC的度数及△ADE的周长；
问题解决
（3）如图③，某农场主欲规划出一个如图所示的矩形田地ABCD，其中BC＝0.4km，点P在边AD上，E、F为BC边上两点（包括端点），在△PEF区域种植甲种农作物，其余区域种植乙种农作物，并沿△PEF的三边铺设围栏，围栏总长为0.6km（即△PEF的周长为0.6km），围栏PE与PF的夹角为60°（即∠EPF＝60°），为了尽可能多的种植农作物要求矩形ABCD的面积尽可能的大，请问能否设计出一个面积尽可能大又满足要求的矩形ABCD田地？若能，求出矩形ABCD面积的最大值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）作高求面积即可，
（2）根据中垂线得到相等的线段以及角，进而可推导出∠ABC和△DAE的周长，
（3）属于“定高定角”模型的应用，根据题目条件讲△PEF的周长转化为MN的长度，进而做出△PEF的外接圆，，进而可得出此矩形的高AB的最大值．
【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB，交BA延长线于点M，
则有∠CAM＝60°，
∵AB＝AC＝2，
∴AM＝1，CM＝，
∴．
（2）∵DM是线段AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得：AE＝CE，∠C＝∠CAE，
又∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE＝180°，∠DAE＝20°，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠CAE＝20°+80°＝100°，
△ADE的周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6．
（3）如图，延长FE至点M，使得EM＝PE，延长EF至点N，使得FN＝PF，
则有MN的长度等于△PEF的周长，即MN＝0.6，
连接PM，PN，
利用（2）中方法同理可求得∠MPN＝120°，
做出△PMN的外接圆⊙O，连接OP、OM、ON，
过点O作OG⊥MN于点G，延长OG交⊙O于点P'，过P点作PH⊥MN于点H，
则有∠MON＝2（180°﹣∠MPN）＝120°，
∴∠NOG＝∠MOG＝60°，NG＝MG＝0.3，
∴，
∴ON＝，
∵OG+PH≤OP，
∴PH≤OP﹣OG＝，
∴当P和P'重合时PH取得最大值，
∵PH＝AB，
∴当PH取得最大值时，矩形ABCD的面积最大，
∴（S矩形ABCD）max＝BC•PHmax＝＝km2，
即矩形ABCD面积最大值为km2．
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