2023年陕西省渭南市合阳三中中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省渭南市合阳三中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是(    )

A.
B. ，，
C. ，
D. ，
 

5.  如图，在中，于点，若，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，两条直线的交点坐标可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  计算：______．

10.  实数，在数轴上的位置如图所示，则        填“”“”或“”

11.  如图，已知点是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为______．

12.  已知反比例函数的图象与直线交于，两点，若，则______．

13.  如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，若经过点，且与，分别相切于点，，则的半径为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
如图，已知，请用尺规作图法作出的内切圆只保留作图痕迹，不写作法和证明

18.  本小题分
如图，在▱中，，，，分别是，，，上的点，且，求证：．

19.  本小题分
海姆立克急救法是日常抢救气管被异物堵塞的急救方法，但儿童和成人的施救方法不同，实验中学为教职工开设“成人急救班”与“儿童急救班”，已知报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共人，其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少人，求报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的教职工各多少人．

20.  本小题分
某轨道车共有四节车厢，车厢号分别为、、、，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一辆轨道车．
甲从号车厢上车的概率是______；
用列表法或画树状图法，求甲和乙从同一节车厢上车的概率是多少？

21.  本小题分
如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长为，斜坡的倾斜角为，，小文在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内，，求居民楼的高度结果精确到，参考数据：

22.  本小题分
某蔬菜批发商以每千克元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于元，经市场调查发现，山野菜的日销售量千克与每千克售价元之间满足一次函数关系，部分数据如表：

求与之间的函数关系式；
当每千克山野菜的售价定为元时，求批发商每日销售这批山野菜所获得的利润．

23.  本小题分
中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注为此某媒体记者随机调查了某市城区学校若干名中学生家长对这种现象的态度态度分为：：无所谓；：反对；：赞成，并将调查结果绘制成图和图的统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
此次抽样调查中，共调查了        名中学生家长；
将图补充完整；
根据抽样调查结果，请你估计该市城区学校名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
 

24.  本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，为弧上一动点，，的延长线相交于点，连接，．
求证：；
已知，，求的大小．

25.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点为二次函数的图象与轴的交点．
求二次函数的表达式；
若点为二次函数图象上的一点，且，求点的坐标．

26.  本小题分
问题提出
如图，在中，点、、分别为边、、的中点，，，交于点，则的长为        ；
问题探究
如图，在等腰直角中，，，点为线段上一动点点不与点、重合，以为腰且在的右侧作等腰直角，，与交于点，连接，求证：∽；
问题解决
如图是郊外一空地，为了美化生态环境，现要将这块地打造成一个公园，在空地一侧挖一个四边形的人工湖，点、分别在边、上，且满足，已知，，，，为了满足湖周边的建设用地需要，人工湖的面积需尽可能小，设的长为，四边形的面积为
求与之间的函数关系式；
求人工湖面积的最小值及此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是．
故选：．
正数都大于，负数都小于，由此即可比较大小．
本题考查有理数的大小比较，关键是掌握有理数的大小比较方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：

故选：．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项符合题意；
D、原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故C选项符合题意，
故选：．
根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分是正方形对各个选项进行分析从而得到答案．
本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：于点，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
先根据锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：两条直线的交点坐标，
选项中，当时，，
解得，
故A不符合题意；
选项中，当时，，
解得，
故B符合题意；
选项中，当时，，
解得，
故C不符合题意；
选项中，当时，，
解得，
故D不符合题意；
故选：．
根据两条直线的交点坐标，将分别代入每个方程中，求出的值即可判断．
本题考查了一次函数与二元一次方程，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：与相切于点，
半径，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由直角三角形的性质即可求出的度数．
本题考查切线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的性质定理，三角形的外角的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，，
对称轴是直线．
又抛物线与轴只有一个交点，
设抛物线解析式为，
把代入，得
，即．
故选：．
根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
本题考查了抛物线与轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
由算术平方根的定义求出，计算即得答案．
本题考查实数计算，题目较容易，掌握平方根定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：距离原点的距离比距离原点的距离小，
．
故答案为：．
根据数轴判断出距离原点的距离比距离原点的距离小，即可得出答案．
本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握，在数轴上对应点的位置得出距离原点的距离比距离原点的距离小是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是线段的黄金分割点，且，
，
表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
，，
．
故答案为：．
根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到．
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
设点的横坐标为，
由于点在上，因此点的纵坐标为，
又点在的图象上，因此点的纵坐标也可以表示为，
所以有，
解得，即，
，而点、点关于原点对称，
，
在中，由勾股定理得，
，
即点，
，
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性以及勾股定理进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接、、，延长交于，如图，设的半径为，
与，分别相切于点，，
，，
，
，
，
四边形、四边形都为矩形，
，，，
，，
在中，，
整理得，解得，舍去，
的半径为．
故答案为．
连接、、，延长交于，如图，设的半径为，根据切线的性质得，，再证明，利用四边形、四边形都为矩形得到，，，所以，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先算乘法、负整数指数幂、去绝对值，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

15.【答案】解：，
由得，
由得，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

17.【答案】解：作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，如图，
则为所作．
 

【解析】作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，则为的内切圆．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内切圆与内心．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：设报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人，
根据题意得：，
解得：．
答：报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人． 

【解析】设报名参加“成人急救班”的教职工有人，报名参加“儿童急救班”的教职工有人，根据报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共人及其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少人，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：甲从号车厢上车的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作于，连接，

在中，，，
．
．
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
答：居民楼的高度约为． 

【解析】过点作于，连接，在中，可得，再利用勾股定理可求出，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由表中数据得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为元，
由题意得：，
当时，最大，最大值为，
当每千克山野菜的售价定为元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
 

23.【答案】 

【解析】解：调查家长总数为：人；
故答案为：；
持赞成态度的学生家长有人，
故统计图为：

持赞成态度的家长有：人．
用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
总数减去、两种态度的人数即可得到态度的人数；
用家长总数乘以持赞成态度的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：连接、，

是圆内接四边形的外角，
，
，
为的直径，弦，
，
，
，
；
解：连接，

为的直径，，
，
弦，，
，
在中，，
，
在中，，
，
． 

【解析】连接、根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
连接利用垂径定理知，然后在中根据勾股定理求得，最后在中利用三角函数的定义求得，由等量代换知．
此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：二次函数的图象与轴相交于，两点，
，
二次函数的解析式为；
令，则，
点的坐标为，
，
，
，
，
设点，
，即，
解得：，
或． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
先求出的面积，设点，再根据得到方程求出值，即可求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形面积，解题的关键是求得函数的解析式．
 

26.【答案】 

【解析】解：点、、分别为边、、的中点，
，，，
，
∽，
，
，
故答案为：；
证明：和是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽；
解：如图，过点作于，作于，

，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
与之间的函数关系式为；
当时，四边形的面积有最小值，最小值为，
，
，
人工湖面积的最小值为，此时的长为．
通过证明∽，可得，即可求解；
由等腰直角三角形的性质可得，，，由相似三角形的判定可得结论；
由面积和差关系列出方程可求解；
由二次函数的性质可求解；
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．