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2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷
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这是一份2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，四象限内，则点，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分,每小题只有一个选项是符合题意的)
1．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（ ）
A．52 B．48 C．0.52 D．0.48
4．（3分）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
5．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．12m B．50m C．30m D．75m
6．（3分）若将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣3，﹣3）
7．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
8．（3分）已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝5，C是弦AB所对优弧上一点，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
10．（3分）已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）方程（x﹣4）（x﹣2021）＝0的解是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 ．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝，则S矩形BDOE＝ ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝EB，AF＝FD，连E、F交AC于G，则AG：GC＝ ．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：cos60°+sin45°+tan30°•cos30°．
16．（5分）如图，将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ．
17．（5分）如图，已知△ABC为等腰三角形，点E为BC的中点，请用尺规作图法，作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，直线y＝x﹣1与双曲线y＝在第一象限交于点B（b，1）．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线上，求P点的坐标．
19．（7分）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地ABCD（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．（假设已有建筑材料恰好用完）
20．（7分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度MN的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接MG并延长到F，使GF＝MG，连接NG并延长到E，使GE＝NG，连接EF，如果量出EF的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
21．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地200km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，1.73）
22．（7分）习近平总书记对垃圾分类工作作出重要指示，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾“（如图，分别记为A、B、C、D），小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶．（说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”．）
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，求恰好分类正确的概率；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．
23．（8分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF＝∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，CE＝2，求sin∠F．
24．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线L：y＝bx﹣c，L关于x轴对称的抛物线L′的图象经过点A（﹣4，0）与点C（0，2）．
（1）求抛物线L′的表达式；
（2）点D在抛物线L′的对称轴上，连接CD，AC，AC与L′的对称轴交于B点，若△CBD与△AOC相似，求点D的坐标．
25．（12分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（ ），DC的长为（ ）
2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分,每小题只有一个选项是符合题意的)
1．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，
∴m＜0，
∴点（m，﹣1）的横纵坐标都为负，
∴点M在第三象限，
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，内部的圆画成虚线，外面的圆画成实线．
故选：A．
3．（3分）在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（ ）
A．52 B．48 C．0.52 D．0.48
【解答】解：∵在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，
∴“正面朝下”的频率为＝0.48；
故选：D．
4．（3分）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．
故选：A．
5．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．12m B．50m C．30m D．75m
【解答】解：由题意可知：tan∠BAC＝＝，
∴＝，
∴AC＝75（m），
故选：D．
6．（3分）若将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣3，﹣3）
【解答】解：∵将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2+1，
∴平移后的二次函数的顶点坐标为（3，1），
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），
∴△ABC∽△A'B'C'且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝1：4，
∵△ABC的面积是6，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C．
8．（3分）已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【解答】解：当k＝1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0为一元一次方程，解为x＝1；
k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0为一元二次方程，把x＝1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0可得：1﹣k+k2﹣1＝0，即﹣k+k2＝0，可得k（k﹣1）＝0，即k＝0或1（舍去）；
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝5，C是弦AB所对优弧上一点，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
【解答】解：过O作OD⊥AB，
∵OA、OB均为半径且都为5，AB＝5，
∴AD＝BD＝，∠AOD＝∠BOD．
∴sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．
∴∠ACB＝∠AOB＝60°．
故选：A．
10．（3分）已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
【解答】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，
∴m＞0，当x＝1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1＝6，得m＝﹣1（舍去），
m＜0时，当x＝﹣1时，取得最小值，即m（﹣1﹣1）2﹣5m+1＝6，得m＝﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）方程（x﹣4）（x﹣2021）＝0的解是 x1＝4，x2＝2021 ．
【解答】解：（x﹣4）（x﹣2021）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2021＝0，
所以x1＝4，x2＝2021．
故答案为：x1＝4，x2＝2021．
12．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 3π ．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，
∴的弧长为π×6＝3π，
故答案为3π．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝，则S矩形BDOE＝ 4 ．
【解答】解：∵AC＝1，S△ACD＝，
∴CD＝3，
∵ODBE是矩形，BE＝1，
∴OD＝1，OC＝OD+CD＝4，
∴A（1，4）代入反比例函数关系式得，k＝4，
∴S矩形BDOE＝|k|＝4，
故答案为：4．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝EB，AF＝FD，连E、F交AC于G，则AG：GC＝ 1：6 ．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAF＝∠MBE，∠AFE＝∠BME，
∴△AFE∽△BME，
∵AE＝EB，
∴＝＝，
∴BM＝2AF，
∵AF＝FD，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△AFG∽△CMG，
∴＝＝，
故答案为：1：6．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：cos60°+sin45°+tan30°•cos30°．
【解答】解：原式＝+×+×
＝++
＝．
16．（5分）如图，将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ．
【解答】证明：∵将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，
∴∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，
∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；
又B1C＝BC，∠B1＝∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ＝CP1．
17．（5分）如图，已知△ABC为等腰三角形，点E为BC的中点，请用尺规作图法，作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：作线段AC的垂直平分线交直线AE于O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求．
18．（5分）如图，直线y＝x﹣1与双曲线y＝在第一象限交于点B（b，1）．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线上，求P点的坐标．
【解答】解：（1）将点B（b，1）代入y＝x﹣1得：1＝b﹣1，
∴b＝2，
∴B（2，1），
把点B（2，1）代入y＝得，1＝，
解得m＝2，
∴双曲线解析式为y＝；
（2）将P（a﹣1，a）代入反比例解析式得：a（a﹣1）＝2，
整理得：a2﹣a﹣2＝0，即（a﹣2）（a+1）＝0，
解得：a＝2或a＝﹣1，
经检验，a＝2和a＝﹣1都是方程的解，
则P坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．
19．（7分）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地ABCD（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．（假设已有建筑材料恰好用完）
【解答】解：设CD的长为xm，则BC的长为（60﹣2x）m，
依题意，得：x（60﹣2x）＝300+150，
整理，得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x1＝x2＝15．
∴EF＝DC＝15．
∵EF×BF＝300，
∴BF＝20（m）．
答：BF的长是20m．
20．（7分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度MN的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接MG并延长到F，使GF＝MG，连接NG并延长到E，使GE＝NG，连接EF，如果量出EF的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
【解答】解：∵GF＝MG，GE＝NG，
∴＝＝，
∵∠EGF＝∠NGM，
∴△EGF∽△NGM，
∴＝，
∴MN＝3EF＝75（米），
∴M、N之间的距离为75米．
21．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地200km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，1.73）
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝100≈173km．
CD＝AC＝300km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠BCD＝66°，
∴tan∠BCD＝，即BD＝300tan66°＝300×2.25＝675．
∴AB＝BD+AD＝848（km）．
答：公路AB的长为848km．
22．（7分）习近平总书记对垃圾分类工作作出重要指示，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾“（如图，分别记为A、B、C、D），小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶．（说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”．）
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，求恰好分类正确的概率；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．
【解答】解：（1）∵共有四个垃圾桶，
∴恰好分类正确的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个垃圾都分类错误的情况有7种：BA，BC，CA，CB，DA，DB，DC，
∴P（两个垃圾都分类错误）＝．
23．（8分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF＝∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，CE＝2，求sin∠F．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
又∠CBF＝∠D，
∴∠CBF＝∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC＝∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE＝AB＝4，
设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
∵∠BOE＝∠FOB，∠BEO＝∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB2＝OE•OF，
∴OF＝＝，
则在直角△OBF中，sin∠F＝＝＝．
24．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线L：y＝bx﹣c，L关于x轴对称的抛物线L′的图象经过点A（﹣4，0）与点C（0，2）．
（1）求抛物线L′的表达式；
（2）点D在抛物线L′的对称轴上，连接CD，AC，AC与L′的对称轴交于B点，若△CBD与△AOC相似，求点D的坐标．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝x2﹣bx﹣c关于x轴对称后的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴对称后抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）∵y＝﹣x2﹣x+2的对称轴为x＝﹣＝﹣，
∵A（﹣4，0）、C（0，2），
∴OA＝4、OC＝2，线段AC所在直线解析式为y＝x+2，
如图1，
若△AOC∽△DCB，则＝，
∵A（﹣4，0）、C（0，2），
∴AC＝2，
∵线段AC所在直线解析式为y＝x+2，且点B的横坐标为﹣，
∵B（﹣，），
∴BC＝＝，
则＝，
解得：DB＝，
则点D的坐标为（﹣，+），即（﹣，5）；
如图2，若△AOC∽△CDB，则∠AOC＝∠CDB＝90°，
又∵∠DEO＝90°，
∴四边形CDEO是矩形，
∴DC＝OE＝，DE＝OC＝2，
则点D的坐标为（﹣，2）；
综上，点D的坐标为（﹣，5）或（﹣，2）．
25．（12分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（ ），DC的长为（ ）
【解答】解：∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝3，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．
2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分,每小题只有一个选项是符合题意的)
1．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（ ）
A．52 B．48 C．0.52 D．0.48
4．（3分）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
5．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．12m B．50m C．30m D．75m
6．（3分）若将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣3，﹣3）
7．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
8．（3分）已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝5，C是弦AB所对优弧上一点，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
10．（3分）已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）方程（x﹣4）（x﹣2021）＝0的解是 ．
12．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 ．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝，则S矩形BDOE＝ ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝EB，AF＝FD，连E、F交AC于G，则AG：GC＝ ．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：cos60°+sin45°+tan30°•cos30°．
16．（5分）如图，将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ．
17．（5分）如图，已知△ABC为等腰三角形，点E为BC的中点，请用尺规作图法，作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，直线y＝x﹣1与双曲线y＝在第一象限交于点B（b，1）．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线上，求P点的坐标．
19．（7分）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地ABCD（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．（假设已有建筑材料恰好用完）
20．（7分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度MN的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接MG并延长到F，使GF＝MG，连接NG并延长到E，使GE＝NG，连接EF，如果量出EF的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
21．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地200km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，1.73）
22．（7分）习近平总书记对垃圾分类工作作出重要指示，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾“（如图，分别记为A、B、C、D），小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶．（说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”．）
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，求恰好分类正确的概率；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．
23．（8分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF＝∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，CE＝2，求sin∠F．
24．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线L：y＝bx﹣c，L关于x轴对称的抛物线L′的图象经过点A（﹣4，0）与点C（0，2）．
（1）求抛物线L′的表达式；
（2）点D在抛物线L′的对称轴上，连接CD，AC，AC与L′的对称轴交于B点，若△CBD与△AOC相似，求点D的坐标．
25．（12分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（ ），DC的长为（ ）
2021年陕西省渭南市大荔县中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分,每小题只有一个选项是符合题意的)
1．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则点（m，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，
∴m＜0，
∴点（m，﹣1）的横纵坐标都为负，
∴点M在第三象限，
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，内部的圆画成虚线，外面的圆画成实线．
故选：A．
3．（3分）在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（ ）
A．52 B．48 C．0.52 D．0.48
【解答】解：∵在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，
∴“正面朝下”的频率为＝0.48；
故选：D．
4．（3分）如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（ ）
A．越大 B．越小 C．不变 D．无法确定
【解答】解：白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；相反当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子变大．
故选：A．
5．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．12m B．50m C．30m D．75m
【解答】解：由题意可知：tan∠BAC＝＝，
∴＝，
∴AC＝75（m），
故选：D．
6．（3分）若将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣3，﹣3）
【解答】解：∵将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2+1，
∴平移后的二次函数的顶点坐标为（3，1），
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为（﹣1，0）、（﹣2，0），
∴△ABC∽△A'B'C'且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝1：4，
∵△ABC的面积是6，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C．
8．（3分）已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【解答】解：当k＝1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0为一元一次方程，解为x＝1；
k≠1时，方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0为一元二次方程，把x＝1代入方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0可得：1﹣k+k2﹣1＝0，即﹣k+k2＝0，可得k（k﹣1）＝0，即k＝0或1（舍去）；
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝5，C是弦AB所对优弧上一点，则∠ACB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．90°
【解答】解：过O作OD⊥AB，
∵OA、OB均为半径且都为5，AB＝5，
∴AD＝BD＝，∠AOD＝∠BOD．
∴sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．
∴∠ACB＝∠AOB＝60°．
故选：A．
10．（3分）已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
【解答】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，
∴m＞0，当x＝1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1＝6，得m＝﹣1（舍去），
m＜0时，当x＝﹣1时，取得最小值，即m（﹣1﹣1）2﹣5m+1＝6，得m＝﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）方程（x﹣4）（x﹣2021）＝0的解是 x1＝4，x2＝2021 ．
【解答】解：（x﹣4）（x﹣2021）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2021＝0，
所以x1＝4，x2＝2021．
故答案为：x1＝4，x2＝2021．
12．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 3π ．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，
∴的弧长为π×6＝3π，
故答案为3π．
13．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接AD，已知AC＝1，BE＝1，S△ACD＝，则S矩形BDOE＝ 4 ．
【解答】解：∵AC＝1，S△ACD＝，
∴CD＝3，
∵ODBE是矩形，BE＝1，
∴OD＝1，OC＝OD+CD＝4，
∴A（1，4）代入反比例函数关系式得，k＝4，
∴S矩形BDOE＝|k|＝4，
故答案为：4．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE＝EB，AF＝FD，连E、F交AC于G，则AG：GC＝ 1：6 ．
【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAF＝∠MBE，∠AFE＝∠BME，
∴△AFE∽△BME，
∵AE＝EB，
∴＝＝，
∴BM＝2AF，
∵AF＝FD，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△AFG∽△CMG，
∴＝＝，
故答案为：1：6．
三、解答题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15．（5分）计算：cos60°+sin45°+tan30°•cos30°．
【解答】解：原式＝+×+×
＝++
＝．
16．（5分）如图，将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ．
【解答】证明：∵将△ABC绕C点逆时针旋转45°得到△A1B1C1，∠ACB＝90°，
∴∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，
∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；
又B1C＝BC，∠B1＝∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ＝CP1．
17．（5分）如图，已知△ABC为等腰三角形，点E为BC的中点，请用尺规作图法，作△ABC的外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：作线段AC的垂直平分线交直线AE于O，以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求．
18．（5分）如图，直线y＝x﹣1与双曲线y＝在第一象限交于点B（b，1）．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）已知P（a﹣1，a）在双曲线上，求P点的坐标．
【解答】解：（1）将点B（b，1）代入y＝x﹣1得：1＝b﹣1，
∴b＝2，
∴B（2，1），
把点B（2，1）代入y＝得，1＝，
解得m＝2，
∴双曲线解析式为y＝；
（2）将P（a﹣1，a）代入反比例解析式得：a（a﹣1）＝2，
整理得：a2﹣a﹣2＝0，即（a﹣2）（a+1）＝0，
解得：a＝2或a＝﹣1，
经检验，a＝2和a＝﹣1都是方程的解，
则P坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．
19．（7分）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地ABCD（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300m2和150m2，求BF的长．（假设已有建筑材料恰好用完）
【解答】解：设CD的长为xm，则BC的长为（60﹣2x）m，
依题意，得：x（60﹣2x）＝300+150，
整理，得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x1＝x2＝15．
∴EF＝DC＝15．
∵EF×BF＝300，
∴BF＝20（m）．
答：BF的长是20m．
20．（7分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度MN的长，可先取一个可以直接到达M和N的点G，连接MG并延长到F，使GF＝MG，连接NG并延长到E，使GE＝NG，连接EF，如果量出EF的长为25米，请你根据题中提供的相关信息，求出M、N之间的距离．
【解答】解：∵GF＝MG，GE＝NG，
∴＝＝，
∵∠EGF＝∠NGM，
∴△EGF∽△NGM，
∴＝，
∴MN＝3EF＝75（米），
∴M、N之间的距离为75米．
21．（7分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地200km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图2所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，1.73）
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝100≈173km．
CD＝AC＝300km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠BCD＝66°，
∴tan∠BCD＝，即BD＝300tan66°＝300×2.25＝675．
∴AB＝BD+AD＝848（km）．
答：公路AB的长为848km．
22．（7分）习近平总书记对垃圾分类工作作出重要指示，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其它垃圾“（如图，分别记为A、B、C、D），小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶．（说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其它垃圾”．）
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，求恰好分类正确的概率；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，请用画树状图或列表的方法，求出两个垃圾都分类错误的概率．
【解答】解：（1）∵共有四个垃圾桶，
∴恰好分类正确的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个垃圾都分类错误的情况有7种：BA，BC，CA，CB，DA，DB，DC，
∴P（两个垃圾都分类错误）＝．
23．（8分）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF＝∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB＝8，CE＝2，求sin∠F．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
又∠CBF＝∠D，
∴∠CBF＝∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC＝∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE＝AB＝4，
设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
∵∠BOE＝∠FOB，∠BEO＝∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB2＝OE•OF，
∴OF＝＝，
则在直角△OBF中，sin∠F＝＝＝．
24．（10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，抛物线L：y＝bx﹣c，L关于x轴对称的抛物线L′的图象经过点A（﹣4，0）与点C（0，2）．
（1）求抛物线L′的表达式；
（2）点D在抛物线L′的对称轴上，连接CD，AC，AC与L′的对称轴交于B点，若△CBD与△AOC相似，求点D的坐标．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝x2﹣bx﹣c关于x轴对称后的解析式为y＝﹣x2+bx+c，
由题意知，
解得，
∴对称后抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）∵y＝﹣x2﹣x+2的对称轴为x＝﹣＝﹣，
∵A（﹣4，0）、C（0，2），
∴OA＝4、OC＝2，线段AC所在直线解析式为y＝x+2，
如图1，
若△AOC∽△DCB，则＝，
∵A（﹣4，0）、C（0，2），
∴AC＝2，
∵线段AC所在直线解析式为y＝x+2，且点B的横坐标为﹣，
∵B（﹣，），
∴BC＝＝，
则＝，
解得：DB＝，
则点D的坐标为（﹣，+），即（﹣，5）；
如图2，若△AOC∽△CDB，则∠AOC＝∠CDB＝90°，
又∵∠DEO＝90°，
∴四边形CDEO是矩形，
∴DC＝OE＝，DE＝OC＝2，
则点D的坐标为（﹣，2）；
综上，点D的坐标为（﹣，5）或（﹣，2）．
25．（12分）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．
请你写出求∠ADB、∠ABD的度数和求AB长的过程．
应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，则AB的长为（ ），DC的长为（ ）
【解答】解：∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝3，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．
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