2023年陕西省渭南市中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年陕西省渭南市中考数学一模试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）无理数的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．2
2．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a3•3a2＝6a6
C．2a+3b＝5abD．（﹣a3）4＝a12
4．（3分）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝ACB．AC⊥BDC．AB＝ADD．AC＝BD
5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
8．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax﹣5（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若代数式：的值等于1，则x的值等于 ．
10．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
11．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝20，则AC的长度是 ．
12．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 ．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：（a+）÷．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
18．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BN⊥CN于N，AM⊥CN于M，且BN＝4，AM＝7，求MN的长．
19．（5分）如图，直角坐标系中△ABC的顶点都在网格点上．
（1）将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，则△A1B1C1的三个顶点坐标分别是A1（ ， ）、B1（ ， ）、C1（ ， ）；
（2）请在图中画出△A1B1C1；
（3）△ABC的面积为 平方单位．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
21．（6分）“创新实践”小组想利用所学知识测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离，他们制定了如下的测量方案：如图所示，小丽通过调整测角仪的位置，在大树周围的点C处用测角仪测得大树顶部A的仰角为45°（测角仪的高度忽略不计）．接着，小丽沿着BC方向向前走3米（即CD＝3米），到达大树在太阳光下的影子末端D处，此时小明测得小丽在太阳光下的影长DF为2米．已知小丽的身高DE为1.5米，B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，求这棵大树的高度AB．
22．（7分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，两车距离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）货车的速度为 ；BC段的函数表达式为 ．
（2）轿车出发后，用了多长时间追上货车？
（3）当货车行驶多长时间，两车相距15千米？
23．（7分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的m＝ ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若四边形BNDM的周长为52，MN＝10，求BD的长．
25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
26．（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
2023年陕西省渭南市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目题意的）
1．（3分）无理数的相反数是（ ）
A．B．C．﹣D．2
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：无理数的相反数是：﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（ ）
A．120°B．122°C．132°D．148°
【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a3•3a2＝6a6
C．2a+3b＝5abD．（﹣a3）4＝a12
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
B、原式＝6a5，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝a12，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4．（3分）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝ACB．AC⊥BDC．AB＝ADD．AC＝BD
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5．（3分）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
【分析】根据BD＝2CD＝6，可得CD＝3，由tanC＝＝2，可得AD＝6，可得△ABD是等腰三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．（3分）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到AB＝AD，根据等边对等角求出∠A，再根据圆内接四边形对角互补得到∠BCD．
【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，
∴AB＝AD，
∵∠ABD＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠C＝180﹣∠A＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆内接四边形的性质．
8．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax﹣5（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【解答】解：二次函数y＝ax2+4ax﹣5（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若代数式：的值等于1，则x的值等于 3或﹣2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质结合有理数的乘方运算法则分别讨论得出答案．
【解答】解：当x﹣2＝1时，解得：x＝3，
此时＝15＝1；
当x﹣2＝﹣1时，解得：x＝1，
此时＝（﹣1）﹣3＝﹣1（不合题意）；
当x2﹣4＝0时，解得：x＝±2，又x﹣2≠0，
则x＝﹣2，
此时＝1；
综上所述：x＝3或﹣2．
故答案为：3或﹣2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．
10．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ＜ ﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据正数大于0，0大于负数即可解答．
【解答】解：∵b与﹣b互为相反数
∴b与﹣b关于原点对称，即﹣b位于3和4之间
∵a位于﹣b左侧，
∴a＜﹣b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小的比较，解决本题的关键是熟记正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
11．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝20，则AC的长度是 ．
【分析】利用黄金分割点的概念进行解答即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC＞BC，AB＝20，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义，记忆把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项是关键．
12．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是 0＜k≤ ．
【分析】由于一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，则可知方程﹣2x+3＝有实数根，将方程变形为2x2﹣3x+k＝0，利用判别式△≥0即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，
∴方程﹣2x+3＝有实数根，
整理，得2x2﹣3x+k＝0，
∴Δ＝9﹣8k≥0，
解得k≤（k≠0），
∵k＞0，
∴0＜k≤
故答案为：0＜k≤．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了根的判别式．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 ．
【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．
【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
三、（共13小题，计81分，解答应写出过程.14-20题各5分，21题6分，22、23题7分，24、25题8分，26题10分）
14．（5分）计算：．
【分析】先计算二次根式的乘法、绝对值、零指数幂，再进行实数的混合运算即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】此题考查了实数的运算、二次根式的乘法、零指数幂、绝对值的化简等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
16．（5分）化简：（a+）÷．
【分析】根据运算顺序，先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【解答】解：（a+）÷，
＝（+）÷，
＝×，
＝a+b．
【点评】本题考查分式的四则混合运算，掌握运算顺序和计算法则是正确计算的前提．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【分析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点评】找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
18．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BN⊥CN于N，AM⊥CN于M，且BN＝4，AM＝7，求MN的长．
【分析】由“AAS”可证△BCN≌△CAM，可得CM＝BN＝4，AM＝CN＝7，可求解．
【解答】解：∵BN⊥CN，AM⊥CN，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°＝∠ACB，
∴∠BCN+∠CBN＝90°＝∠BCN+∠ACM，
∴∠ACM＝∠CBN，
在△BCN和△CAM中，
，
∴△BCN≌△CAM（AAS），
∴CM＝BN＝4，AM＝CN＝7，
∴MN＝CN﹣CM＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．
19．（5分）如图，直角坐标系中△ABC的顶点都在网格点上．
（1）将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，则△A1B1C1的三个顶点坐标分别是A1（ ﹣2 ， 1 ）、B1（ ﹣4 ， ﹣1 ）、C1（ 0 ， ﹣2 ）；
（2）请在图中画出△A1B1C1；
（3）△ABC的面积为 5 平方单位．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中各点位置，画出符合题意的图形；
（3）利用△ABC所在矩形面积，减去周围三角形面积，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：A1（﹣2，1）、B1（﹣4，﹣1）、C1（0，﹣2）；
故答案为：﹣2，1；﹣4，﹣1；0，﹣2；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（3）△ABC的面积为：3×4﹣×2×2﹣×2×3﹣×1×4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（5分）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是；
故答案为：；
（2）树状图如图所示：
共有9种等可能的情况数，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是＝．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）“创新实践”小组想利用所学知识测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离，他们制定了如下的测量方案：如图所示，小丽通过调整测角仪的位置，在大树周围的点C处用测角仪测得大树顶部A的仰角为45°（测角仪的高度忽略不计）．接着，小丽沿着BC方向向前走3米（即CD＝3米），到达大树在太阳光下的影子末端D处，此时小明测得小丽在太阳光下的影长DF为2米．已知小丽的身高DE为1.5米，B、C、D、F四点在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，求这棵大树的高度AB．
【分析】先求说明BD＝BC+CD＝（AB+3）米，然后再证明△EDF～△ABD，最后根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：∵DE⊥BF，AB⊥BC，
∴∠EDF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴BD＝BC+CD＝（AB+3）米，
∴∠EDC＝∠ABD，∠EFD＝∠ADB，
∴△EDF～△ABD，
∴
∴，解得AB＝9．
答：这棵大树高度AB为9米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△EDF～△ABD是解答本题的关键．
22．（7分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，两车距离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）货车的速度为 60千米/小时 ；BC段的函数表达式为 y＝80x﹣120（1.5≤x≤2.5） ．
（2）轿车出发后，用了多长时间追上货车？
（3）当货车行驶多长时间，两车相距15千米？
【分析】（1）根据图象可知货车行驶时间与路程，根据“速度＝路程÷速度”即可求货车的行驶速度；根据图象可知轿车比货车晚出发1.5小时，得出点B的坐标为（2.5，0），根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设轿车出发x小时追上货车，根据相遇时两车距离甲地的路程相等，列方程60（x+1.5）＝80+110（x﹣1），解方程即可；
（3）设在轿车行进过程，轿车行驶x小时，两车相距15千米，分四种情况：①轿车未出发时；②两车相遇之前；③是两车相遇之后；④轿车到达乙地后；分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可得：货车的行驶速度为：300÷5＝60（千米/小时），
∵轿车比货车晚出发1.5小时，
∴点B的坐标为：（1.5，0），
设BC段的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把B（1.5，0），C（2.5，80）代入得：，
解得：，
∴BC段的函数表达式为y＝80x﹣120（1.5≤x≤2.5）．
故答案为：60千米/小时；y＝80x﹣120（1.5≤x≤2.5）．
（2）∵轿车在CD段的速度是：（300﹣80）÷（4.5﹣2.5）＝110（千米/小时），
设轿车出发x小时追上货车，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，
∴B点对应的数据为：1.5，
∴60（x+1.5）＝80+110（x﹣1），
解得：x＝2.4，
∴轿车出发2.4小时追上货车．
（3）设在货车行进过程，货车行驶x小时，两车相距15千米，
①轿车未出发时，得60x＝15，
解得x＝0.25；
②两车相遇之前，得60x﹣110（x﹣1.5）＝15，
解得x＝3；
③两车相遇之后，得110（x﹣1.5）﹣60x＝15，
解得x＝3.6；
④轿车到达乙地后，得60x＝300﹣15，
解得x＝4.75；
答：在轿车行进过程中，货车行驶0.25小时或3小时或3.6小时或4.75小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查了变量之间的关系，求一次函数解析式，一元一次方程的应用，根据图象求出两车的速度以及根据等量关系建立一元一次方程是解题的关键．
23．（7分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的m＝ 25 ，本次调查数据的中位数是 15 h，本次调查数据的众数是 15 h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴m＝25，
中位数为第20与21个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为15，
故答案为：25，15，15；
（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；
（3）（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若四边形BNDM的周长为52，MN＝10，求BD的长．
【分析】【分析】（1）证△MOD≌△NOB，得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的周长得到菱形的边长BM＝13，由菱形的性质及MN＝10得到OM＝5，在Rt△BOM中由勾股定理得到OB的长，进而得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO．
∵直线MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD．
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵菱形BNDM的周长为52，
∴BN＝ND＝DM＝MB＝13，
又∵MN＝10，
∴，
在Rt△BOM中，由勾股定理得，
∴BD＝2OB＝2×12＝24，
∴BD＝24．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（8分）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a＝﹣，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
26．（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ 110 °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，进而得到∠1+∠3＝60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠C+∠D＝110°，
故答案为：110；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，
∴2∠1+2∠3＝120°，
∴∠1+∠3＝60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，
联立①②得，
解得，
∴∠BED＝27°．
答：∠BED的度数为27°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/14 20:12:40；用户：刘老师；邮箱：jaxytzx@xyh.cm；学号：47243335