微专题 数列的周期性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 数列的周期性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共27页。

微专题：数列的周期性
【考点梳理】
解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中an＋1＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.



【典例剖析】
典例1．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（       ）
A． B． C．2 D．3
典例2．在数列中，，则的值为（       ）
A． B．5 C． D．
典例3．若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（       ）
A． B． C． D．
典例4．设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
典例5．已知数列满足，则（       ）
A． B．1 C．2 D．



【双基达标】
6．已知数列，满足，若，则（       ）
A． B．2 C．1 D．
7．已知数列的前项和为，且满足，则（       ）
A． B．
C． D．
8．若数列满足，，（且），则（       ）
A． B．2 C． D．
9．若数列满足，，则该数列的前2021项的乘积是（       ）
A． B． C．2 D．1
10．若数列满足，，则（       ）
A．2 B． C．-1 D．-2
11．已知数列的前项积为，且，则（       ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
12．若数列满足，，（且），则等于（       ）
A． B．2 C．3 D．
13．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（       ）
A．1348 B．1347 C．674 D．673
14．已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（       ）
A． B． C．200 D．400
15．已知数列满足，，则数列的前2022项积为（       ）
A． B． C． D．
16．已知数列中，，当时，，则（       ）
A． B． C．5 D．
17．已知数列满足：，，，则数列前100项的和为(       )
A． B． C． D．
18．若数列满足，且，则的前100项和为（       ）
A．67 B．68 C．134 D．167
19．在数列中，，，，，则（       ）
A． B． C． D．
20．数列满足，，其前项积为，则等于（       ）
A． B． C． D．
21．已知数列，且，则（       ）
A． B．2 C． D．
22．数列满足若，则等于（       ）
A． B． C． D．
23．已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
24．已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，则的值为（       ）

A． B． C． D．
25．若数列满足，则，，，则（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．在数列中，，则的值为（       ）
A． B．5
C． D．
27．已知数列中，，，，则（       ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
28．已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（       ）
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
二、多选题
29．已知数列中，，且，则能使的n可以是（       ）
A．4 B．14 C．21 D．28
30．意大利著名数学家裴波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为裴波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（       ）
A． B．
C． D．
31．若数列满足，，，记数列的前项积为，则下列说法正确的是（       ）．
A．无最大值 B．有最大值 C． D．
32．已知，记数列{}的前项和为Sn，则下列说法正确的有（     ）
A． B．
C．对任意 D．对任意m
三、填空题
33．已知数列中，为前项和，且，，则______
34．数列的首项，若，则_______．
35．设数列的前项和为，已知，，则等于______.
36．在数列中，，，则___．
37．已知函数，数列满足，则___________.
38．若数列满足，，，则数列前项的积等于________.
四、解答题
39．已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．
40．已知数列的通项公式为：，其中．记为数列的前项和．
(1)求，；
(2)数列的通项公式为，求的前项和．
41．若实数数列满足，则称数列为“Q数列”．
(1)若数列是Q数列，且，，求，的值；
(2)若数列是Q数列：
①试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
②若数列中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．
42．已知函数．
(1)若的反函数是，解方程：；
(2)当时，定义，设，数列的前n项和为，求、、、和；
(3)对于任意、、，且，当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值．
43．设数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的距离小于4032，求的最大值；
（3）记是所有7项数列的集合，．且T中任何两个元素的距离大于或等于3．证明：T中的元素个数小于或等于16．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数的周期为3，且，转化为，结合因为，即可求解.
【详解】
因为函数是奇函数且满足，可得，
则，即，所以为周期为3的函数，
又因为数列是等差数列，且，，
可得，解得，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据给定的递推公式，探讨数列的周期性即可计算作答.
【详解】
依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】
数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选：D.
4．B
【解析】
推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.
【详解】
在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；
（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列.
5．A
【解析】
【分析】
根据数列的周期性求解即可.
【详解】
因为，
所以，，
所以数列是以周期为的数列，即.
故选：A
6．A
【解析】
利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.
【详解】
由，且
则，，
所以，即数列是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
7．D
【解析】
首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项.
【详解】
，，，，……
所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，
，，所以，
，，所以.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列.
8．A
【解析】
【分析】
根据递推关系得出数列的周期，然后可求答案.
【详解】
因为，，（且），
所以，，
，，
，，
所以的周期，所以.
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
先由数列满足，，计算出前5项，可得，且，再利用周期性即可得到答案.
【详解】
因为数列满足，，
所以，同理可得，…
所以数列每四项重复出现，即，且，
而，
所以该数列的前2021项的乘积是.
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.
【详解】
由，代入可得，同理可得.
由，得，从而有，
即，从而有，
所以数列的周期为3，
所以.
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
由递推式可得是周期为3的数列且、，可得，进而求.
【详解】
由题设，，，…，
∴是周期为3的数列，又，且，
∴.
故选：A.
12．C
【解析】
先由题设求得数列的前几项，然后得到数列的周期，进而求得结果.
【详解】
因为，，（且），
所以，， ，
，，，，
所以数列是周期为的周期数列，
所以，
故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；
（2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求的数列的周期，求得，进而求得结果.
13．B
【解析】
根据题意写出数列的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得，再计算，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得，进而得到所求和．
【详解】
“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，
此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，
即，，，，，，，
数列是以3为周期的周期数列，
，
由题意知，
由于，
所以，
所以．
则．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：确定数列数列是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题.
14．C
【解析】
【分析】
利用关系及等差数列的定义求的通项公式，进而可得，根据正弦函数的周期性并讨论，求得，即可求.
【详解】
由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故选：C
15．A
【解析】
【分析】
找出数列的规律，是周期为4的数列，然后求和即可.
【详解】
由题意， ， ， ，
， ， ， ，
∴ 是周期为4的循环数列，在一个周期内的积为：   ，
，前2022项之积为505个周期之积   ，
即 ；
故选：A.
16．B
【解析】
【分析】
直接由递推关系式得出数列的周期，再利用周期性即可求解.
【详解】
由题意得：，则数列的周期为3，则.
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
先分别求出的前9项，观察这9项知是周期为6的周期函数，由此能求出前100项之和．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
是周期为6的周期函数，
，
﹒
故选：C﹒
18．B
【解析】
【分析】
由题意得，根据，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以的前100项的和为，
故选：B．
19．D
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析出为周期数列，然后根据周期性以及对数运算性质即可求解.
【详解】
因为，所以，所以，
所以是周期为的周期数列，
所以
，
因为，，，，
所以，，
所以，，
所以原式，
故选：D.
20．D
【解析】
【分析】
依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果.
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
21．B
【解析】
【分析】
由递推公式可得，数列为周期数列且周期为3，从而可得答案。
【详解】
因为，
故，，，，
故数列为周期数列且周期为3，
故.
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．
【详解】
因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．
23．A
【解析】
【分析】
根据给定递推关系，探讨数列的周期性，再讨论计算作答.
【详解】
数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为.
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
由函数的图象求出其解析式，再求出数列的通项即可得解.
【详解】
观察图象知：函数周期为T，，，
又，而，则，
所以，，
数列是周期数列，周期为6，其前6项依次为，则，
，则.
故选：D.
【点睛】
结论点睛：周期为的周期性数列前n项和，先求从首项开始的长为一个周期的前几项和，再把n化为，则有.
25．B
【解析】
【分析】
根据递推式求出，可得数列是周期数列，根据周期可得答案.
【详解】
解：由已知，，，则，
，，
所以数列是周期为3的周期数列，
.
故选：B.
26．B
【解析】
【分析】
根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求.
【详解】
因为在数列中，，
所以，
故是周期数列且周期为3，故.
故选：B.
27．D
【解析】
【分析】
根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.
【详解】
因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
28．D
【解析】
【分析】
根据递推关系式可得数列是以为周期的数列，由，从而可得，即可求解.
【详解】
由，，
所以，，，
所以数列是以为周期的数列，，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题.
29．AD
【解析】
【分析】
由已知条件计算可得数列是以3为周期的周期数列，从而可求得答案
【详解】
因为，且，
所以，，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以，
所以n可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……
故选：AD
30．ACD
【解析】
【分析】
根据裴波那契数列的性质，结合周期性逐一判断即可.
【详解】
因为，，，，，，，，…，
所以是以6为周期的周期数列，所以，所以A正确；
因为，所以B错误；
因为
，所以C正确；
因为

所以，
所以D正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：根据裴波那契数列的性质进行求解是解题的关键.
31．BC
【解析】
根据数列的递推关系式，分别求得，得出数列是周期为6的数列，且，结合选项，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足，，，
所以，
同理可得，
可得，所以数列是周期为6的数列，且，
所以有最大值，最大值为，有最大值，最大值为，
又由，，
所以选项BC正确.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：对于难以化简的数列的递推关系式，可求出数列的前几项，寻找数列的构成规律，如：周期性，单调性等，结合数列的性质进行求解.
32．ACD
【解析】
【分析】
首先由递推公式列出数列的前几项即可找到数列的周期性，再一一判断即可；
【详解】
解：因为且，所以，，，，，，，所以，即是以为周期的数列，且，因为，所以，故A正确；
，故B错误；
因为，，，，，，，，所以对任意，，故C正确；
因为，，，因为，所以，故D正确；
故选：ACD
33．3025
【解析】
【分析】
根据题意得，，进而根据数列的周期性求解即可.
【详解】
解：因为，所以，
所以，，即数列为周期数列，周期为，
因为，所以，
所以
故答案为：
34．3
【解析】
【分析】
利用数列的单调性进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因此该数列的周期为，因此，
故答案为：
35．1010
【解析】
【分析】
由已知递推公式求得，，，，则有，所以计算即可得出结果.
【详解】
因为，，因为
所以，由此可得，，，所以，周期为4，
所以.
故答案为：1010
【点睛】
本题考查数列的递推公式和数列的周期性，考查求数列前项的和的问题，考查学生的推理能力和计算能力，属于中档题.
36．
【解析】
【分析】
由题目条件知，数列的周期为3，代入即可求出.
【详解】
由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
37．2
【解析】
【分析】
根据递推公式求出数列前几项，可以求出数列的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因此，，所以该数列的周期为3，
，
故答案为：2
38．
【解析】
推导出数列是以为周期的周期数列，且有，再由递推公式求得，由此可求得数列前项的积.
【详解】
，则，所以，，
，则，
所以，数列是以为周期的周期数列，
且，
所以，的前项的积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在利用数列的递推公式推导出数列的周期性，一般涉及到数列项数较大的问题时，常利用数列的周期性来求解.
39．（1）；；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；
（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，所以；
（2）当时，，所以；
由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以．
40．(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
（1）验证可知数列是以为周期的周期数列，则，；
（2）由（1）可求得，利用错位相减法可求得结果.
(1)
当时，；当时，；当时，；
数列是以为周期的周期数列；
，；
(2)
由（1）得：，，
，
，
两式作差得：.
41．(1)
(2)①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）代入求值即可；（2）①用反证法证明；②结合①中结论得到中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，又得到的周期为9，且，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，对前5项的正负分情况得到负数的个数，求出最后结果.
(1)
因为是Q数列，且，所以，，所以，解得：，所以，；
(2)
①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由如下：
假设“Q数列”的项全是正数，即，所以，，这与假设矛盾，故“Q数列”的项不可能全是正数；
假设“Q数列”的项全是负数，则，而，与假设矛盾，故数列不可能全是正数，也不可能全是负数，
②由①可知，中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，因此存在最小的正整数k满足，，设，，则，，，，，，，，，……，故，所以的周期为9，所以，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，
因为，所以当时，m=3×224=672；
当时，这（k-1）项至多一个为负，而且负数项只能是，记这项中负数项个数为t，
当时，若，则，故为负数，此时t=671，m=671+1=672；
若，则，故是负数，此时t=672，m=672；
当时，必须为负数，，
综上：m的取值集合为.
【点睛】
定义新数列，要结合题目信息，运用所学的不等式，周期等知识进行求解，分类讨论是处理定义新数列最常用的方法.
42．(1)或
(2)，，，，
(3)M的最小值为2
【解析】
【分析】
（1）由题意，求出解析式，结合题意，列出方程，求解即可得答案.
（2）若可求得的值，同理可求得，，的值，总结规律，结合等差数列前n项和公式，即可得答案.
（3）根据三角形两边之和大于第三边，分析讨论，推理求值，举反例论证，即可得答案.
(1)
因为，所以，
则原方程为，整理得，
所以，即或，
所以或，则原方程的解为或
(2)
若，则，所以，所以，
若，则，所以，所以，
若，则，所以，所以，
若，则，所以，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以


(3)
由题意得，
若、、总能作为某个三角形的三边长，则，
所以，且，，，
所以，则，
当时，取，有，即成立，
所以此时、、可作为一个三角形的三边长，
但，，
所以，此时、、不能作为一个三角形的三边长，
当时，，有，则，
所以、、作为一个三角形的三边长，
，
所以、、也总能作为某个三角形的三边长，
综上：M的最小值为2.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握反函数、对数运算、等差数列求和等基础知识，更要掌握分析理解，推理论证，分类讨论等方法，考查学生灵活应变的能力，属中档题.
43．（1）7；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）由数列的递推公式，即可求得，，，，从而得到集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，从而求得数列和，根据数列距离的定义分析求解，即可得到m的最大值；
（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出，，，最后可得和中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中元素个数小于或等于16．
【详解】
（1）由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1＝7；
（2）设，其中，且，由，
所以，，，，
则，
因此集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，
所以数列中，，，，，，
故中，，，，，，
，
所以项数越大，数列和的距离越大，
由，可得，
所以时，，
故的最大值为；
（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，
因为数列中，或1，
所以仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个，
即（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），
那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的，，，
设这个数列分别为：，，，，，，，
：，，，，，，，
：，，，，，，，
其中，，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，
所以和中，中至少有三个成立，
不妨设，，
由题意可知，和中一个等于0，而另一个等于1，又因为或1，
所以和中必有一个成立，
同理可得，和中必有一个成立，和中必有一个成立，
所以“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
所以和中必有一个成立，与题意矛盾，
故T中的元素个数小于或等于16．