第39讲 数列求和-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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1.公式法：直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等公式求解.
2.倒序相加（乘）法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和（积）等于首末两项之和（积），可采用把正着写和倒着写的两个式子相加（乘），就得到一个常数列的和（积），进而求出数列前项和（积）.
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子两边同乘以公比，得，两式错位相减整理即可求出.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾的若干少数项之和.
5.分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解.
【结论第讲】
结论一、公式法
常见数列的前项和
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）等差数列前项和：；
（8）等比数列前项和：.
【例1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）由题设知公差，由，成等比数列得，解得，（舍去），故的通项.
（2）由（1）知，由等比数列前项和公式得.
【变式】已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）求和：.
【解析】（1）设等差数列的公差为.因为，所以，解得.所以.
（2）设等比数列得公比为.因为，所以，解得.所以.从而.
结论二、分组求和
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，数列的通项较复杂时，把原数列的每一项拆成两项（或多项）的和或差，从而将原数列分解成两个（或多个）数列的和或差，而这两个（或多个）数列或者是等差数列、等比数列，或者是已知其和，求出这两个（或多个）数列的和，再相加或相减，得到原数列和的方法便是分组求和法.
【例2】已知等差数列满足，.
（1）若成等比数列，求的值；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）已知，.由得.所以即..所以.又因为成等比数列，.
（2）由（1）知
，.记，，
则.
【变式】已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列满足，，且是等差数列，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为（），由，得，解得，，所以数列的通项公式为：.
（2）由已知可得，根据题意可知是首项为，公差为的等差数列，所以，则，所以数列的前项和
.
结论三、倒序相加
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可把正着写与倒着写的两个和式相加，得到一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法.特征：
【例3】已知是上的奇函数，，,则数列的通项公式为（ ）
B．
C．D．
【答案】
【解析】已知是上的奇函数，所以，代入得
，所以函数关于点对称令，则，得到.因为
，，倒序相加可得，即.故选.
【变式】设函数.
（1）证明:对一切，是常数；
（2）记，求，并求出数列的前项和.
【解析】
（1）证明 因为，所以.
（2），
，所以，即.所以.
结论四、裂项求和
裂项求和的常见拆项公式：
；
；
；
；
；
若为等差数列，公差为，则.
【例4】 在数列中，，.
求证：数列是等差数列；
求数列的前项和.
【解析】
（1）证明 的两边同时除以，得，所以数列是首项为，公差为2的等差数列.
（2）由（1）得，所以，故，所以.
【变式】设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，.
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和.
【解析】
（1）时，；当时，符合上式，所以.因为为等比数列，所以，所以，设的公比为，则，，而，所以即，解得或.因为单调递增,所以,所以.
（2），所以
.
结论五、错位相减
形如，其中为等比数列，公差为，是等比数列，公比为.
第一步：写出；
第二步：写出；
第三步：写出.
注意:错位相减即由第一步的第二项减第二步的第一项,后面依次类推,然后要注意项数问题，最后一定要化简.
【例5】已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和为，且满足．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
【解析】
（1）因为数列是等差数列，所以，又，解得，所以．又①，（）②，由①②得，所以（），所以为等比数列，又，解得，所以．
（2）由（1）知，则，
，两式相减得 ，所以．
【变式】 已知数列的前项和．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
【解析】
（1）已知数列的前项和，当时，；当时，．经检验，满足上式，所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，所以
，两式相减得：
，所以．
结论六、数列最值
恒成立；能成立．
【例6】 设数列的前项和，，．
求证：是等差数列；
设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值．
【解析】
（1）证明：由题意，（）①，故有（，）②，由①②得，，即（，），所以（，）．令，带入①式可得，所以，故有（），故数列是以为首项，以为公比的等比数列，故．所以，即有．故是等差数列，首项为，公差为．
（2）由（1）可知，所以，故．由可知，．依题意，，解得，则最大正整数的值为．
（3）由意义对任意的都成立，故需要求的最小值，而，故数列的前项和是关于的单调递增函数，故的最小值为，所以，解得，则最大正整数的值为．
【变式】 已知函数，数列满足，，．
求数列的通项公式；
令，求；
令（），，，若对一切成立，求最小正整数．
【解析】
（1）因为，所以是以为公差的等差数列．因为，所以．
（2）
．
（3）由题意知，当时，
．所以对一切成立，即
．因为递增且，所以，即．所以最小正整数．
结论七、数列缩放
常见的缩放方法：
；
；
；
；
；
.
【例7】 已知数列 满足
求数列 的通项公式；
若, 且数列的前项和为 ，试比较和的大小并证明.
【解析】
（1）由题意可知数列是以2为公差，3为首项的等差数列，所以.
（2）由 可知 ，则
【变式】 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列.
（1）证明：；
求数列 的通项公式；
证明：对一切正实数，有
【解析】
证明 当时，因为所以
当时，，因为所以，所以当时，是公差的等差数列.因为构成等比数列，所以解得，有（1）可知，所以.因为，所以是首项为，公差的等差数列.所以数列 的通项公式为.
证明