浙江省杭州市上城区杭州中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

浙江省杭州市上城区杭州中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的绝对值是（   ）

A． B． C．2022 D．2023

2．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．在有理数，，2，3中，其倒数最大的是（   ）

A． B． C．2 D．3

4．某排球队12名队员的年龄如下表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是（    ）

A．19岁，19岁 B．19岁，20岁 C．20岁，20岁 D．20岁，22岁

5．下列各运算中，计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，是中的一条弦，半径于点，交于点，点是弧上一点．若，则（   ）

A． B． C． D．

7．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（   ）

A． B． C． D．

8．如图，将一个长万形纸条折成如图的形状，已知∠1=110，则∠2的度数为（ ）

A．130° B．125° C．110° D．105°

9．在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼为18米的点处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点、直杆顶点和教学楼顶点三点共线．测得人与直杆的距离为2米，人眼高度为1.6米，则教学楼的高度为（    ）米．

A．12 B．12.4 C．13.6 D．15.2

10．已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（    ）

A．和

B．和

C．和

D．和

二、填空题

11．因式分解： =__________．

12．若有意义，则的取值范围是_________．

13．一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是______．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，则的长为______．

15．已知点和点为平面直角坐标系内两点，且点的坐标为，将点向右平移3个单位至点，则线段上任意一点的坐标可表示为______．

16．如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________．

三、解答题

17．对于不等式，圆圆的解法如下：

解：原不等式可化为

去括号得

合并同类项得

所以原不等式的解为

圆圆的解法是否正确？如果不正确，请提供正确的解法．

18．某校为了解八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力抽样调查，并将调查的数据进行统计整理，绘制出如图的频数分布表和频数分布直方图．

(1)在频数分布表中，则________，__________；

(2)将频数分布直方图补充完整；

(3)若视力在以上（含）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．

19．一次函数y＝ax﹣a＋1（a为常数，且a＜0）．

(1)若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a＋1的图象上，求a的值；

(2)当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值．

20．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．已知当时，．

(1)求出这个函数的表达式；

(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

21．如图，在中，AD是角平分线，点E在边AC上，且，连接DE．

（1）求证：．

（2）若，，求AC的长．

22．平面直角坐标系中有函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，经过与轴的交点以及的顶点．

(1)求和的表达式；

(2)当时，试比较与的大小：

(3)当时，均随着的增大而增大，求实数的最大值．

23．如图所示，已知是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接、、，线段与直径相交于点E．

(1)若，求的值．

(2)当时，

①若，，求的度数．

②若，，求线段的长．

参考答案：

1．D

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求值即可．

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟记概念是解题关键．

2．B

【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．

【详解】0.00000201用科学记数法表示为,

故选B．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．

3．C

【分析】根据乘积为1的两数互为倒数，先求出各个数的倒数，再根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0；②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断即可．

【详解】解：，，2，3的倒数分别是，，，，

∵<<<，

∴其倒数最大的是2．

故选：C．

【点睛】本题考查倒数的定义，有理数大小的比较．掌握会求一个数的倒数和比较有理数大小法则是解题的关键．

4．B

【分析】根据中位数和众数的定义求解．

【详解】解：观察图表可知：人数最多的是4人，年龄是19岁，故众数是19岁．

共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是20岁．

故选：B．

【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现次数最多的数．

5．D

【分析】依据合并同类项、同底数幂相除、完全平方式、积的乘方的运算法则进行判断即可．

【详解】解：A.根据合并同类项的法则可知，不符合题意；

B.根据同底数幂相除的法则可知，不符合题意；

C.根据完全平方式可知，不符合题意；

D.，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相除、完全平方式、积的乘方，能熟练综合运用整式的计算法则是计算本题的关键．

6．D

【分析】连接，根据题意求出，进而根据圆周角定理，即可求解．

【详解】解：如图，连接，则，

∵半径于点C，，

∴，，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

7．A

【分析】根据几何体的三视图判断出此几何体为圆锥，再根据勾股定理求出圆锥的母线长，最后根据扇形面积公式求出这个几何体的侧面积即可．

【详解】解：通过图形知，这个几何体是圆锥，圆锥的底面直径为，高为，由勾股定理得圆锥的母线为 ，

∴圆锥的侧面积为：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查几何体的三视图和圆锥的侧面积，勾股定理，熟练掌握扇形面积计算公式，是解题的关键．

8．B

【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补的性质求出∠4，再根据翻折的性质列式计算可求出∠3，再利用同旁内角互补的性质即可求出∠2．

【详解】∵∠1=110°，纸条的两边互相平行，

∴∠4=180°-∠1=180°-110°=70°．

根据翻折的性质，

∠3=(180°-∠4)= 55°，

同理，∠2=180°-∠3=180°- 55°=125°．

故选：B．

【点睛】本题考查了翻折的性质，平行线的性质，用到了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．

9．C

【分析】过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点E，则四边形CDBE，四边形CDNH都是矩形．利用相似三角形的性质求出MH，可得结论．

【详解】如图，过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点E，则四边形CDBE，四边形CDNH都是矩形．

∴CD=BE=NH=1.6米，BD=CE=2米，BN=EH=18米，

∴CH=CE+EH=20，

∵AB=2.8米．

∴AE=AB-BE=2.8-1.6=1.2（米），

∵AE∥MH，

∴△CEA∽△CHM，

∴，

∴，

∴HM=12（米），

∴CD=CH+DH=12+1.6=13.6（米），

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．

10．A

【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．

【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，

对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；

对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；

对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；

对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；

故选A．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

11．（x+4）（x-4）

【分析】

【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，

故答案为：(x+4)(x-4)

12．x>2##2＜x

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论．

【详解】解：由题意可得x-2>0，

解得：x>2，

故答案为：x>2．

【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．

13．

【分析】根据概率的求法，用标有大于4的球的个数除以球的总个数即可得所标数字大于4的概率．

【详解】解：∵箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，

∴球上所标数字大于4的共有2个，

∴摸出的球上所标数字大于4的概率是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．

【分析】由点，可得的长，点在第一象限的角平分线上，可得，再根据弧长公式计算即可．

【详解】，

，点在第一象限的角平分线上，

以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，

，

的长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键本题中求出以及也是解题的关键．

15．（x，1）（）

【分析】先根据点平移的坐标变化特点求出点B的坐标即可得到答案．

【详解】解：∵将点（1，1）向右平移3个单位至点，

∴点B的坐标为（4，1），

∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，1）（），

故答案为：（x，1）（）．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知点平移的坐标特点是解题的关键．

16．          ##

【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果．

【详解】解：如图，

连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，

∵四边形和四边形是正方形，

∴，，，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴点K在以为直径的圆O上运动，

∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合，

∴，

当点C为的内心时，  

，，分别平分，和，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴点B、C、F共线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线．

17．圆圆的解法不正确，见解析

【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行判断，解法不正确，按照正确的解法写出步骤即可．

【详解】解：圆圆的解法不正确，解法如下：

原不等式可化为，

去括号得，

移项得，

合并同类项得，

系数化为1得，

所以原不等式的解集为：．

【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

18．(1)；

(2)图见解析

(3)

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后利用频率＝频数÷总数即可计算出和的值；

（2）根据（1）中的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出视力正常的人数占被调查人数的百分比．

【详解】（1）解：本次调查的人数为：，

∴，．

故答案为：；．

（2）由（1）知：，

补全的频数分布直方图如图所示：

（3）视力正常的人数占被调查人数的百分比：．

∴视力正常的人数占被调查人数的百分比为．

【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．

19．(1)a＝﹣4

(2)a＝

【分析】（1）直接把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1，求解即可；

（2）根据a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1，y=2代入函数关系式求解即可．

【详解】（1）解：把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1得

2a﹣a+1＝﹣3，解得a＝﹣4；

（2）解：∵a＜0时，y随x的增大而减小，

则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得

 2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣，

所以a＝﹣．

【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．

20．(1)P与V之间的函数表达式为；

(2)为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．

【分析】（1）设气球内气体的气压和气体体积的反比例函数为，将时，，代入求出F，再将F的值代入，可得P与V之间的函数表达式．

（2）为确保气球不爆炸，则时，即，解出不等式解集即可．

【详解】（1）解：设P与V之间的函数表达式为，

当时，，

所以，

∴，

∴P与V之间的函数表达式为；

（2）解：当时，，

∴，

∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

21．（1）见解析；（2）4．

【分析】（1）由AD是的角平分线可得出，由可得出，进而即可证出∽；

（2）由∽可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出∽，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度．

【详解】（1）是的角平分线，

．

，

，

∽；

（2）∽，

．

，，

，即．

又，

∽，

，即，

．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）牢记“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”；（2）根据三角形内角和定理及平角等于，找出．

22．(1)，；

(2)当时，；当时，；当时，．

(3)

【分析】(1）根据、图象间的关系结合的函数表达式，即可得出的表达式，进而可找出与y轴的交点和的顶点，根据点的坐标利用待定系数法即可求出的表达式；

(2)画出与的函数图象，观察图象，即可得出结论；

(3）根据的表达式，函数值随着的增大而增大的自变量取值范围，由此即可得出实数m的最大值．

【详解】（1）解：∵向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，

∴向左平移2个单位，向下平移1个单位得到，

，

∴的表达式为：，

∴与y轴的交点为

∵，

∴的顶点坐标为

∵经过，

∴，解得：，

∴的表达式为．

（2）依照题意，画出函数的、的图象，如图所示：

观察函数图象，可得：

当时，；

当时，；

当时，．

（3），

∴在时，随x的增大而增大，在时随x的增大而增大，一直都随x的增大而增大，

∴时，均随着x的增大而增大，

∴m的最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求一次函数的解析式、二次（一次）函数图像以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用平移找出的表达式；(2）画出函数图象，利用数形结合解决问题；（3）三个函数中函数值随着的增大而增大的自变量取值范围．

23．(1)；

(2)①；②

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出的度数，利用特殊角的锐角三角函数值直接求解即可；

（2）①根据已知先求出的值，然后在直角三角形中利用的值即可求出，再利用圆周角定理得出和的关系即可求出的度数；

②利用已知容易得出，，进而得出，利用相似的性质得出比例式即可求出的长．

【详解】（1）解：∵是⊙O的直径，

∴，

∵，

∴，

∵＝，

∴，

∴，

所以的值为；

（2）解：①∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵＝，

∴，

∴，

即的度数为；

②∵＝，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴线段的长为．

【点睛】本题综合考查了与圆有关的基本性质，并结合性质考查了锐角三角函数和相似三角形，题目的综合性较强，解题的关键是熟练掌握圆周角定理并灵活运用，掌握三角形相似的基本模型．