浙江省杭州市上城区中考二模数学试题

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1. 某地一天的最高气温是10℃，最低气温是℃，则该地这一天的温差是（ ）
A. 11℃B. 9℃C. 8℃D. 12℃
【答案】A
【解析】
【分析】用最高气温减去最低气温，即可得出结论．
【详解】解：该地这一天的温差是℃；
故选A．
【点睛】本题考查有理数的减法的实际应用．熟练掌握有理数减法的运算法则，是解题的关键．
2. 已知（k为正整数），则k的值为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】估算出的取值范围，即可求出k的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3. 如图，为的外角，，，那么（ ）

A. 60°B. 82°C. 78°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】根据外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
4. 如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴1个单位长度是1cm)，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数轴上两点间距离的表示方法，列式计算即可．
【详解】解：刻度尺上6.5cm与0cm的距离为6.5cm，刻度尺上0cm对应数轴上的数3，
因此刻度尺上“6.5cm”对应数轴上的数为，
故选B．
【点睛】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握“在数轴上，右边点表示的数减去左边点表示的数等于这两点间的距离”．
5. 如图，分别以A、B为圆心，大于长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（ ）

A. 是直角三角形B. 是等腰三角形
C. 是等腰三角形D. 是等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图可知：点在线段的中垂线上，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：由题意，得：点在线段的中垂线上，
∴，
∴是等腰三角形；
故选项C一定正确，
故选C．
【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
6. 某班30名学生的身高情况如下表：
关于身高的统计量中，不随x，y的变化而变化的有（ ）
A. 众数、中位数B. 中位数、方差
C. 平均数、方差D. 平均数、众数
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴这组数据的众数为1.53，
将数据排序后，第15个和第16个数据均为：1.53，
∴中位数为，
即：中位数和众数不随x，y的变化而变化，
平均数，
∴平均数随着x，y的变化而变化，
∵方差与平均数有关，
∴方差随着x，y的变化而变化；
故选A．
【点睛】本题考查平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算方法，是解题的关键．
7. 已知a，b是实数，若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
详解】解：A、∵，∴，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、当时，，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
8. 某商品打九折后的价格为a元，则原价为（ ）
A. a元B. 元C. 0．3a元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】设原价为元，根据打九折后的价格为a元，列出方程即可．
【详解】解：设原价为元，由题意，得：
，
∴；
∴原价为：元．
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出一元一次方程是解题的关键．
9. 点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（ ）
A. 甲正确，乙正确B. 甲正确，乙错误
C. 甲错误，乙正确D. 甲错误，乙错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性可知，当是顶点的纵坐标时，P的个数为1，当不是顶点纵坐标时，P的个数为2，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵点在二次函数的图象上，
∴当时，点为抛物线的顶点，只有1个，
当时，根据抛物线的对称性，点P的个数为2；
∴甲正确，乙错误；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．
10. 如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得，再由，，，，半径相等，，再由点P为的重心，可知，得，最后列式即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点O作于H，连接，，如图所示，设点A到的距离为h：
∵，
∴当点A到的距离最大时，三点共线，
∴，，
∵，
∴，，，
∵在，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点P为的重心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：____，_____．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】运用负整数指数幂运算法则和同底数幂运算法则化简即可．
【详解】解：，，
故答案为4，．
【点睛】本题主要考查的是运用负整数指数幂运算法则和同底数幂运算法则，正确掌握运用负指数幂运算法则和同底数幂运算法则是解题的关键．
12. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 一个不透明的盒中只有颜色不同的3个球，其中红球2个，白球1个，从中摸出两个球，颜色一样的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画树状图，统计摸出来的结果一共有多少，然后再统计摸出来两个球颜色一样的有多少种即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：

摸出来的结果有6种，摸出来两个球颜色一样的有2种，
所以从中摸出两个球，颜色一样的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握求随机事件的概率公式．
14. 如图，切于A点，连接交于点C，点D是优弧上一点，若为α，则_____（用含α的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质，得到，进而得到，再利用圆周角定理即可得解．
【详解】解：连接，
∵切于A点，
∴，
∵为α，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
15. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 _____千克．
【答案】10
【解析】
【分析】设需要加入甲种糖千克，根据题意，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：设需要加入甲种糖千克，由题意，得：
，
整理，得：，
解得：；
答：需加入甲种糖千克．
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
16. 在矩形中，，，E、F分别是边和上的点，沿着折叠使得A落在上的点，延长交于点G，若，则_____．

【答案】##
【解析】
【分析】延长交的延长线于点M，设，根据题意，折叠得，，根据，得，由等边对等角，得是的中位线，再证明，结合勾股定理列式求解即可．
【详解】解：延长交的延长线于点M，

∵沿着折叠使得A落在上的点，
∴，，，
∵，
∴，，E是的中点，
∵，
∴，，
∴是的中位线，
即，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，，，
在中，，
∵，
∴在中，，
即，
所以，则，那么，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是矩形性质以及全等三角形，勾股定理，解直角三角形等知识内容，难度中等偏上，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】错误，见解析
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程可判断圆圆的解答过程是否有错误．
【详解】解：圆圆的解答过程有错误；正确的解答过程为：
移项得，，
利用因式分解法整理：，
解得：或，
所以或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 2023年第19届亚运会在杭州举行，某校随机抽取了八年级若干名学生进行亚运会知识竞赛，成绩分为A，B，C，D，E五个等级（单位：分，满分100分）．将所收集的数据分组整理，绘制成了统计图．请你根据提供的信息解答下列问题：某校八年级杭州亚运会知识竞赛成绩的频数表：
（1）求扇形统计图和频数统计表中a，n的值；
（2）在所调查的100名学生中，杭州亚运会知识竞赛的平均成绩能否达到84分？
（3）已知该校八年级学生有900人，试估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于80分的共有多少人？
【答案】（1）；
（2）杭州亚运会知识竞赛的平均成绩未达到84分；
（3）450人
【解析】
【分析】（1）用组人数除以所占的百分比求出总人数，用组人数除以总人数求出所占的百分比，再利用总人数减去各组人数即可求出C组人数；
（2）求出最大平均数，进行比较判断即可；
（3）用总体乘以样本中所占的比例，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴，
∴，
E组人数为：人，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
∴所调查100学生中，杭州亚运会知识竞赛的平均成绩未达到84分．
【小问3详解】
（人）．
答：估计该校八年级学生中参加杭州亚运会知识竞赛的成绩高于80分的共有450人．
【点睛】本题考查统计图表，求平均数，以及利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键．
19. 如图，在中，，恰好是的角平分线.

（1）求证：△APC∽△DPB；
（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形得，由角平分线得，进而可得 ，证得，结论得证；
（2）由得，构建方程求解．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
设
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键．
20. 已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上.
（1）求值；
（2）若点，都在该反比例函数图象上；
①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标；
②当，时，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）点的坐标为，
【解析】
【分析】（1）根据点在反比例函数，得，解得：，即可求出；
（2）根据点和点关于原点中心对称，得，；根据，点在函数的图象上，得，即可求出点的坐标；
（3）根据，求出，根据，可得，，根据，函数图象，即可得到的取值范围．
【小问1详解】
∵点，在该反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴．
【小问2详解】
∵点和点关于原点中心对称，
∴，
∵
∴，
解得：，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴点；
∵，
∴，
∵，
∴，
由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．
21. 在中，，于点E，于点D，交于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，进而证明为等腰三角形，得到，再证明，即可证明；
（2）先得到，解直角三角形得到，则，即可推出，则．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
22. 已知二次函数和一次函数．
（1）二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．
【答案】（1）二次函数的表达式为；
（2）①证明见解析，②
【解析】
【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵二次函数过，
∴，
∴二次函数的表达式为，
将点代入，得，
∴；
∴二次函数的表达式为．
【小问2详解】
①∵当时，解得：，
∴二次函数与x轴交于和点，
又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴一次函数过点，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数的顶点为，
∴过，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．
23. 如图1，在正方形中，点P是对角线上任意一点，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，过点P作交于点Q，，．
①求β关于α的函数表达式；
②设，求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①，②证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①过点P作交于点E，延长交于点F，利用四边形的内角和，推出，进而得到，根据，推出，即：，即可得出结论；②证明，得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵正方形，
∴，且，
∴
∴．
【小问2详解】
①过点P作交于点E，延长交于点F，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
在四边形中 ，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求角的正切值．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
身高（m）
1.45
1.48
1.50
1.53
1.56
1.60
人数
x
y
6
8
5
4
甲种糖果
乙种糖果
千克数
20
30
单价（元/千克）
25
15
等级
分数
学生人数（人）
A
10
B
15
C
n
D
40
E
m