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2022-2023学年浙江省杭州市钱塘江区城东九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市钱塘江区城东九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市钱塘江区城东九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2−(−5)的值是( )
A. 3 B. −3 C. −7 D. 7
2. 下列运算正确的是( )
A. 2x−x=2 B. 2m+3m=5m2 C. 5xy−4xy=xy D. 2a+3b=5ab
3. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( )
A. 6.4×10−5 B. 6.4×106 C. 6.4×10−6 D. 6.4×105
4. 如图所示，AB=BD，BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件( )
A. ∠A=∠D B. ∠C=∠E
C. ∠D=∠E D. ∠ABD=∠CBE
5. 若a>b成立，则下列不等式成立的是( )
A. 2a−1>2b−1 B. −a+1>−b+1
C. m2a>m2b D. −a>−b
6. 某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程( )
A. 1002x+500x=6 B. 100x+5002x=6 C. 1002x+400x=6 D. 100x+4002x=6
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE=BE，则∠C的度数是( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
8. 在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，连接AD，下列表述错误的是( )
A. 若AD是BC边的中线，则BC=2CD
B. 若AD是BC边的高线，则AD
D. 若AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，则AD为BC边的高线
9. 已知一个二次函数图象经过P1(−3,y1)，P2(−1,y2)，P3(1,y3)，P4(3,y4)，其中y2
10. 如图，△ACB中，∠ACB=Rt∠，已知∠B=α，∠ADC=β，AB=a，则BD的长可表示为( )
A. a⋅(cosα−cosβ) B. atanβ−tanα
C. acosα−a⋅sinαtanβ D. a⋅cosα−asinα⋅a⋅tanβ
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是______．
12. 因式分解：2a2−8=______．
13. 已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可得，求关于x的不等式ax+b>kx的解是______．
14. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为______m.
15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点(网格线的交点)A，B，D，点C为弧BD上一点.若∠CAD=30°.则CD的长为______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E在边BC上，且BEBC=58，连结AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，写出a与b之间的等量关系______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
小英解不等式1+x2−2x+13≤1的过程如下，其中有一个步骤出现错误，请指出这个错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3(1+x)−2(2x+1)≤1 ①，
去括号得：3+3x−4x−2≤1 ②，
移项得：3x−4x≤1−3+2 ③，
合并同类项得：−x≤0 ④，
两边都除以−1得：x≥0 ⑤．
18. (本小题8.0分)
某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查(每人必选且只能选择一种运动)，并将获得的数据进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生．
(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数．
(3)若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？
19. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DF=4，求FC的长度
20. (本小题10.0分)
设函数y=kx(k是常数，k≠0)，点M(3,a)在该函数图象上，将点M先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，点N恰好又落在该函数图象上．
(1)求该函数表达式；
(2)若(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)是(1)小题函数图象上的三个点的坐标，且满足x3>x2>x1>0，请比较y1+y2与2y3的大小，并说明理由．
21. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别相交于A(−3,0)、B(0,−3)，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为(0,3)，请判断此二次函数的顶点是否在直线y=kx+b(k≠0)的图象上？
(3)当n>0，m≤5时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
23. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，点G在射线BC上，从左往右移动(不与点B，C重合)，连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k．
(1)求证：AE=BF；
(2)连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：点在G射线BC上运动时，始终满足tanα=ktanβ；
(3)如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，△ADH和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为S1和S2，当点G在BC的延长线上运动时，求S1S2(用含k的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=2+5=7．
故选：D．
根据有理数的减法法则直接计算．
本题考查有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a−b=a+(−b).属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A.2x−x=x，选项A不符合题意；
B.2m+3m=5m，选项B不符合题意；
C.5xy−4xy=xy，选项C符合题意；
D.2a+3b不是同类项，不能合并，选项D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解．
本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000064=6.4×10−6．
故选：C．
绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=BD，BC=BE，
∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE=∠DBC，
又∠ABE−∠DBE=∠DBC−∠DBE，
即∠ABD=∠CBE，
∴可添加的条件为∠ABE=∠DBC或∠ABD=∠CBE．
综合各选项，D选项符合．
故选D．
根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，整理得到角的可能情况，然后选择答案即可．
本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a−1>2b−1，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴−a<−b，
∴−a+1<−b+1，故本选项不符合题意；
C.当m=0时，m2a=m2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴−a<−b，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：设该厂原来每天加工x个零件，
根据题意得：100x+4002x=6．
故选：D．
根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工100个零件用的时间+用新机器加工400套用的时间=6即可列出方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D是AB的中点，
∴DE=12AB=BD=AD，
∵DE=BE，
∴DE=BE=BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=12×(180°−30°)=75°，
故选：C．
根据直角三角形的性质得到DE=12AB=BD=AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE=60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
∴BC=2CD，故A正确；
B、∵AD是BC边的高线，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD
D、∵AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD为BC边的高线，故D正确，
故选：C．
根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵P3(1,y3)，P4(3,y4)，且y3=y4，
∴该二次函数的对称轴为：x=2．
∵P2(−1,y2)，P3(1,y3)，且y2
∵P1(−3,y1)，P2(−1,y2)，P3(1,y3)中，−3<−1<1，
∴y1
利用y3=y4推导出函数的对称轴x=2，根据y2
10.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=α，∠ADC=β，AB=a，
∴cosB=cosα=BCAB=BCa，
则BC=a⋅cosα，
sinB=sinα=ACAB=ACa，
故AC=a⋅sinα，
则tanβ=ACDC，
故DC=ACtanβ=a⋅sinαtanβ，
则BD=BC−DC=a⋅cosα−a⋅sinαtanβ．
故选：C．
利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
11.【答案】13
【解析】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是26=13，
故答案为：13．
根据随机事件概率大小的求法解答即可，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
12.【答案】2(a+2)(a−2)
【解析】解：2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)．
故答案为：2(a+2)(a−2)．
首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
13.【答案】x<−4
【解析】解：∵由函数图象可知，当x<−4时一次函数y=ax+b在一次函数y=kx图象的上方，
∴关于x的不等式ax+b>kx的解是x<−4．
故答案为：x<−4．
直接根据函数图象得出结论即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
14.【答案】2.3
【解析】
【分析】
本题考查用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【解答】
解：如图，过点N作ND⊥PQ于点D，则四边形DPMN是矩形，
∴DN=PM=1.2m，DP=MN=0.8m，
∵BCAB=DNQD，AB=2m，BC=1.6m，
∴QD=AB⋅DNBC=2×1.21.6=1.5(m)，
∴PQ=QD+DP=1.5+0.8=2.3(m)．
15.【答案】 13π3
【解析】解：由题意得：格点O是AD所在圆的圆心，连接OD，OC，
则OD= 22+32= 13，
∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴CD的长=60π× 13180= 13π3，
故答案为： 13π3．
先确定格点O是AD所在圆的圆心，连接OD，OC，再利用勾股定理求出OD的长，然后根据圆周角定理求出∠COD60°，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】a=58b或a=54b
【解析】解：如图，B′落在AD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
由折叠的性质得到∠BAE=∠EAB′=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=a，
∵BEBC=58，
∴a=58b；
如图，B′落在CD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD，∠D=∠C=90°，
∵BEBC=58，
∴令BE=5x，BC=8x，
∴EC=BC−BE=3x，AD=BC=b=8x，
由折叠的性质得到：AB′=AB=a，EB′=BE=5x，
∴CB′= EB′2−EC2=4x，
∴DB′=CD−CB′=a−4x，
∵AB′2=AD2+DB′2，
∴a2=(8x)2+(a−4x)2，
∴a=10x，
∵b=8x，
∴a=54b，
∴a与b之间的等量关系是a=58b或a=54b.
故答案为：a=58b或a=54b.
分两种情况，当B′落在AD上，由折叠的性质，矩形的性质得到AB=BE，即可得到a=58b；当B′落在CD上，令BE=5x，BC=8x，由勾股定理求出CB′= EB′2−EC2=4x，得到a2=(8x)2+(a−4x)2，求出a=10x，即可得到a=54b.
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是要分两种情况讨论．
17.【答案】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了，
去分母，得：3(1+x)−2(2x+1)≤6，
去括号，得：3+3x−4x−2≤6，
移项及合并同类项，得：−x≤5，
系数化为1，得：x≥−5．
【解析】先根据题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法解答即可．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18.【答案】200
【解析】解：(1)本次调查共抽取的学生数是：30÷15%=200(名)，
故答案为：200；
(2)羽毛球的人数有：200−40−30−60−20=50(人)，补全统计图如下：
扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数为360°×60200=108°；
(3)根据题意得：
1500×40200=300(人)，
答：喜爱足球运动的学生有300人．
(1)根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的人数；
(2)用总人数减去其他球的人数，求出羽毛球的人数，从而补全统计图，用360°乘以篮球人数所占百分比可得答案；
(3)用该校的总人数乘以喜爱足球运动的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】(1)证明：∵BD=2AD，CE=2AE．
∴ADAB=AEAC=13，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=13，
∴DE//BC，
∴∠DEF=∠CBF，∠EDF=∠BCF，
∴△DEF∽△CBF，
∴DEBC=DFFC，
∵DF=4，
∴13=4FC，
∴FC=12．
【解析】(1)由BD=2AD，CE=2AE.得出ADAB=AEAC=13，∠DAE=∠BAC，即可证明△ADE∽△ABC；
(2)由△ADE∽△ABC，得出∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=13，进而得出DE//BC，得出∠DEF=∠CBF，∠EDF=∠BCF，证明△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质，即可求出FC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵M(3,a)先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，
∴N(−3,a−4)，
∵M与N都在反比例函数y=kx上，
∴3a=−3(a−4)，
解得：a=2，
∴M(3,2)，
把M(3,2)代入反比例解析式得：2=k3，
解得：k=6，
则反比例函数解析式为y=6x；
(2)y1+y2>2y3，理由如下：
∵(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)是y=6x图象上三个点的坐标，且满足x3>x2>x1>0，y=6x在第一象限为减函数，
∴0
【解析】(1)根据题意由M表示出N的坐标，再由M与N都为反比例函数图象上的点，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出M的坐标，即可求出反比例函数解析式；
(2)根据反比例函数k>0，得到第一象限为减函数，求出y1，y2，y3的大小，即可作出判断．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连结OA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA．
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC//OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=8cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=6cm.
在Rt△ODF中，OD= OF2+DF2=10cm，
即⊙O的半径为10cm．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，属于中档题．
(1)得出∠OAD=∠EDA，证得EC//OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F.从而证得四边形AOFE是矩形，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
22.【答案】解：(1)∵点A(−3,0)、B(0,−3)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上，
∴−3k+b=0b=−3，解得k=−1b=−3，
一次函数解析式为：y=−x−3．
(2)∵二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为(0,3)，且A(−3,0)在图象上，
∴n=3；m=4．
∴二次函数解析式为：y=x2+4x+4−1=(x+2)2−1，
∴顶点坐标(−2,−1)．
当x=−2时，y=−x−3=−(−2)−3=−1，
∴抛物线的顶点在直线y=−x−3上．
(3)∵二次函数y=x2+mx+n图象过A(−3,0)，
∴9−3m+n=0，即n=3m−9，
∵n>0，
∴m>3，
∴3
∴t=4n−m24=4(3m−9)−m24=−14(m−6)2；
当m=5时，t=−14，
当m=3时，t=−94．
∴−94
(2)利用点(0,3)、A(−3,0)求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；
(3)根据点A在二次函数图象上，可以确立9−3m+n=0，即n=3m−9，由n>0可得3
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAG=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△AED和△BFA中，
∠AED=∠BFA∠ADE=∠BAFAD=AB，
∴△AED≌△BFA(AAS)，
∴AE=BF；
(2)证明：在Rt△DEF中，EF=DE⋅tanα，
在Rt△BEF中，EF=BF⋅tanβ，
∴DE⋅tanα=BF⋅tanβ，
∴tanαtanβ=BFDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD//BE，
∴∠BGF=∠ADE，
∵∠BFG=∠DEA=90°，
∴△BGF∽△ADE，
∴BFDE=BGAD=kBCBC=k，
∴tanαtanβ=k，
∴tanα=ktanβ，
∴点在G射线BC上运动时，始终满足tanα=ktanβ；
(3)解：过点H作HE⊥CD于E，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BG，AD=CD，∠ADH=∠CDH=45°，
又∵DH=DH，
∴△ADH≌△CDH(SAS)，
∴S△ADH=S△CDH，
∴S2=12CD(HE+CG)，S1=S△CDH=12CD⋅HE，
∴S2S1=12CD(HE+CG)12CD⋅HE=1+CGHE，
设正方形ABCD的边长为a，则BD= 2a，
∵AD//BG，
∴△ADH∽△BGH，
∴DHBH=ADBG=BCBG=1k，
∴DH 2a−DH=1k，
∴DH= 2a1+k，
∵∠BDC=45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴HE= 22DH=a1+k，
∵BGBC=k，
∴a+CGa=k，
∴CG=(k−1)a，
∴S2S1=1+(k−1)aa1+k=1+(k2−1)=k2，
∴S1S2=1k2．
【解析】(1)利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠DAE，由AAS证得△AED≌△BFA，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数的定义得出tanαtanβ=BFDE，再证△BGF∽△ADE，得出BFDE=BGAD=kBCBC=k，即可得出结论；
(3)过点H作HE⊥CD于E，证△ADH≌△CDH(SAS)，得S△ADH=S△CDH，则S2S1=1+CGHE，再证△ADH∽△BGH，得DH= 2a1+k，然后证△DEH是等腰直角三角形，得HE= 22DH=a1+k，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2022-2023学年浙江省杭州市钱塘江区城东九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2−(−5)的值是( )
A. 3 B. −3 C. −7 D. 7
2. 下列运算正确的是( )
A. 2x−x=2 B. 2m+3m=5m2 C. 5xy−4xy=xy D. 2a+3b=5ab
3. 某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为( )
A. 6.4×10−5 B. 6.4×106 C. 6.4×10−6 D. 6.4×105
4. 如图所示，AB=BD，BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件( )
A. ∠A=∠D B. ∠C=∠E
C. ∠D=∠E D. ∠ABD=∠CBE
5. 若a>b成立，则下列不等式成立的是( )
A. 2a−1>2b−1 B. −a+1>−b+1
C. m2a>m2b D. −a>−b
6. 某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程( )
A. 1002x+500x=6 B. 100x+5002x=6 C. 1002x+400x=6 D. 100x+4002x=6
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE=BE，则∠C的度数是( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
8. 在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，连接AD，下列表述错误的是( )
A. 若AD是BC边的中线，则BC=2CD
B. 若AD是BC边的高线，则AD
D. 若AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，则AD为BC边的高线
9. 已知一个二次函数图象经过P1(−3,y1)，P2(−1,y2)，P3(1,y3)，P4(3,y4)，其中y2
10. 如图，△ACB中，∠ACB=Rt∠，已知∠B=α，∠ADC=β，AB=a，则BD的长可表示为( )
A. a⋅(cosα−cosβ) B. atanβ−tanα
C. acosα−a⋅sinαtanβ D. a⋅cosα−asinα⋅a⋅tanβ
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是______．
12. 因式分解：2a2−8=______．
13. 已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，根据图象可得，求关于x的不等式ax+b>kx的解是______．
14. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为______m.
15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点(网格线的交点)A，B，D，点C为弧BD上一点.若∠CAD=30°.则CD的长为______ ．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E在边BC上，且BEBC=58，连结AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，写出a与b之间的等量关系______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
小英解不等式1+x2−2x+13≤1的过程如下，其中有一个步骤出现错误，请指出这个错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3(1+x)−2(2x+1)≤1 ①，
去括号得：3+3x−4x−2≤1 ②，
移项得：3x−4x≤1−3+2 ③，
合并同类项得：−x≤0 ④，
两边都除以−1得：x≥0 ⑤．
18. (本小题8.0分)
某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查(每人必选且只能选择一种运动)，并将获得的数据进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生．
(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数．
(3)若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？
19. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DF=4，求FC的长度
20. (本小题10.0分)
设函数y=kx(k是常数，k≠0)，点M(3,a)在该函数图象上，将点M先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，点N恰好又落在该函数图象上．
(1)求该函数表达式；
(2)若(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)是(1)小题函数图象上的三个点的坐标，且满足x3>x2>x1>0，请比较y1+y2与2y3的大小，并说明理由．
21. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别相交于A(−3,0)、B(0,−3)，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为(0,3)，请判断此二次函数的顶点是否在直线y=kx+b(k≠0)的图象上？
(3)当n>0，m≤5时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
23. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，点G在射线BC上，从左往右移动(不与点B，C重合)，连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k．
(1)求证：AE=BF；
(2)连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β，求证：点在G射线BC上运动时，始终满足tanα=ktanβ；
(3)如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，△ADH和以点C，D，H，G为顶点的四边形的面积分别为S1和S2，当点G在BC的延长线上运动时，求S1S2(用含k的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=2+5=7．
故选：D．
根据有理数的减法法则直接计算．
本题考查有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a−b=a+(−b).属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A.2x−x=x，选项A不符合题意；
B.2m+3m=5m，选项B不符合题意；
C.5xy−4xy=xy，选项C符合题意；
D.2a+3b不是同类项，不能合并，选项D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解．
本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000064=6.4×10−6．
故选：C．
绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=BD，BC=BE，
∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE=∠DBC，
又∠ABE−∠DBE=∠DBC−∠DBE，
即∠ABD=∠CBE，
∴可添加的条件为∠ABE=∠DBC或∠ABD=∠CBE．
综合各选项，D选项符合．
故选D．
根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，整理得到角的可能情况，然后选择答案即可．
本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A.∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a−1>2b−1，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴−a<−b，
∴−a+1<−b+1，故本选项不符合题意；
C.当m=0时，m2a=m2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴−a<−b，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：设该厂原来每天加工x个零件，
根据题意得：100x+4002x=6．
故选：D．
根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工100个零件用的时间+用新机器加工400套用的时间=6即可列出方程．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵D是AB的中点，
∴DE=12AB=BD=AD，
∵DE=BE，
∴DE=BE=BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=12×(180°−30°)=75°，
故选：C．
根据直角三角形的性质得到DE=12AB=BD=AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE=60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
∴BC=2CD，故A正确；
B、∵AD是BC边的高线，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD
D、∵AD是∠BAC的平分线又是BC边的中线，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD为BC边的高线，故D正确，
故选：C．
根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵P3(1,y3)，P4(3,y4)，且y3=y4，
∴该二次函数的对称轴为：x=2．
∵P2(−1,y2)，P3(1,y3)，且y2
∵P1(−3,y1)，P2(−1,y2)，P3(1,y3)中，−3<−1<1，
∴y1
利用y3=y4推导出函数的对称轴x=2，根据y2
10.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=α，∠ADC=β，AB=a，
∴cosB=cosα=BCAB=BCa，
则BC=a⋅cosα，
sinB=sinα=ACAB=ACa，
故AC=a⋅sinα，
则tanβ=ACDC，
故DC=ACtanβ=a⋅sinαtanβ，
则BD=BC−DC=a⋅cosα−a⋅sinαtanβ．
故选：C．
利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
11.【答案】13
【解析】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是26=13，
故答案为：13．
根据随机事件概率大小的求法解答即可，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
12.【答案】2(a+2)(a−2)
【解析】解：2a2−8=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)．
故答案为：2(a+2)(a−2)．
首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
13.【答案】x<−4
【解析】解：∵由函数图象可知，当x<−4时一次函数y=ax+b在一次函数y=kx图象的上方，
∴关于x的不等式ax+b>kx的解是x<−4．
故答案为：x<−4．
直接根据函数图象得出结论即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
14.【答案】2.3
【解析】
【分析】
本题考查用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【解答】
解：如图，过点N作ND⊥PQ于点D，则四边形DPMN是矩形，
∴DN=PM=1.2m，DP=MN=0.8m，
∵BCAB=DNQD，AB=2m，BC=1.6m，
∴QD=AB⋅DNBC=2×1.21.6=1.5(m)，
∴PQ=QD+DP=1.5+0.8=2.3(m)．
15.【答案】 13π3
【解析】解：由题意得：格点O是AD所在圆的圆心，连接OD，OC，
则OD= 22+32= 13，
∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴CD的长=60π× 13180= 13π3，
故答案为： 13π3．
先确定格点O是AD所在圆的圆心，连接OD，OC，再利用勾股定理求出OD的长，然后根据圆周角定理求出∠COD60°，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】a=58b或a=54b
【解析】解：如图，B′落在AD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
由折叠的性质得到∠BAE=∠EAB′=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=a，
∵BEBC=58，
∴a=58b；
如图，B′落在CD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD，∠D=∠C=90°，
∵BEBC=58，
∴令BE=5x，BC=8x，
∴EC=BC−BE=3x，AD=BC=b=8x，
由折叠的性质得到：AB′=AB=a，EB′=BE=5x，
∴CB′= EB′2−EC2=4x，
∴DB′=CD−CB′=a−4x，
∵AB′2=AD2+DB′2，
∴a2=(8x)2+(a−4x)2，
∴a=10x，
∵b=8x，
∴a=54b，
∴a与b之间的等量关系是a=58b或a=54b.
故答案为：a=58b或a=54b.
分两种情况，当B′落在AD上，由折叠的性质，矩形的性质得到AB=BE，即可得到a=58b；当B′落在CD上，令BE=5x，BC=8x，由勾股定理求出CB′= EB′2−EC2=4x，得到a2=(8x)2+(a−4x)2，求出a=10x，即可得到a=54b.
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是要分两种情况讨论．
17.【答案】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了，
去分母，得：3(1+x)−2(2x+1)≤6，
去括号，得：3+3x−4x−2≤6，
移项及合并同类项，得：−x≤5，
系数化为1，得：x≥−5．
【解析】先根据题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法解答即可．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18.【答案】200
【解析】解：(1)本次调查共抽取的学生数是：30÷15%=200(名)，
故答案为：200；
(2)羽毛球的人数有：200−40−30−60−20=50(人)，补全统计图如下：
扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数为360°×60200=108°；
(3)根据题意得：
1500×40200=300(人)，
答：喜爱足球运动的学生有300人．
(1)根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的人数；
(2)用总人数减去其他球的人数，求出羽毛球的人数，从而补全统计图，用360°乘以篮球人数所占百分比可得答案；
(3)用该校的总人数乘以喜爱足球运动的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】(1)证明：∵BD=2AD，CE=2AE．
∴ADAB=AEAC=13，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=13，
∴DE//BC，
∴∠DEF=∠CBF，∠EDF=∠BCF，
∴△DEF∽△CBF，
∴DEBC=DFFC，
∵DF=4，
∴13=4FC，
∴FC=12．
【解析】(1)由BD=2AD，CE=2AE.得出ADAB=AEAC=13，∠DAE=∠BAC，即可证明△ADE∽△ABC；
(2)由△ADE∽△ABC，得出∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=13，进而得出DE//BC，得出∠DEF=∠CBF，∠EDF=∠BCF，证明△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质，即可求出FC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵M(3,a)先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N，
∴N(−3,a−4)，
∵M与N都在反比例函数y=kx上，
∴3a=−3(a−4)，
解得：a=2，
∴M(3,2)，
把M(3,2)代入反比例解析式得：2=k3，
解得：k=6，
则反比例函数解析式为y=6x；
(2)y1+y2>2y3，理由如下：
∵(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)是y=6x图象上三个点的坐标，且满足x3>x2>x1>0，y=6x在第一象限为减函数，
∴0
【解析】(1)根据题意由M表示出N的坐标，再由M与N都为反比例函数图象上的点，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出M的坐标，即可求出反比例函数解析式；
(2)根据反比例函数k>0，得到第一象限为减函数，求出y1，y2，y3的大小，即可作出判断．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连结OA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA．
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC//OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=8cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=6cm.
在Rt△ODF中，OD= OF2+DF2=10cm，
即⊙O的半径为10cm．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，属于中档题．
(1)得出∠OAD=∠EDA，证得EC//OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F.从而证得四边形AOFE是矩形，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
22.【答案】解：(1)∵点A(−3,0)、B(0,−3)在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上，
∴−3k+b=0b=−3，解得k=−1b=−3，
一次函数解析式为：y=−x−3．
(2)∵二次函数y=x2+mx+n图象与y轴交点为(0,3)，且A(−3,0)在图象上，
∴n=3；m=4．
∴二次函数解析式为：y=x2+4x+4−1=(x+2)2−1，
∴顶点坐标(−2,−1)．
当x=−2时，y=−x−3=−(−2)−3=−1，
∴抛物线的顶点在直线y=−x−3上．
(3)∵二次函数y=x2+mx+n图象过A(−3,0)，
∴9−3m+n=0，即n=3m−9，
∵n>0，
∴m>3，
∴3
∴t=4n−m24=4(3m−9)−m24=−14(m−6)2；
当m=5时，t=−14，
当m=3时，t=−94．
∴−94
(2)利用点(0,3)、A(−3,0)求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；
(3)根据点A在二次函数图象上，可以确立9−3m+n=0，即n=3m−9，由n>0可得3
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAG=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△AED和△BFA中，
∠AED=∠BFA∠ADE=∠BAFAD=AB，
∴△AED≌△BFA(AAS)，
∴AE=BF；
(2)证明：在Rt△DEF中，EF=DE⋅tanα，
在Rt△BEF中，EF=BF⋅tanβ，
∴DE⋅tanα=BF⋅tanβ，
∴tanαtanβ=BFDE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD//BE，
∴∠BGF=∠ADE，
∵∠BFG=∠DEA=90°，
∴△BGF∽△ADE，
∴BFDE=BGAD=kBCBC=k，
∴tanαtanβ=k，
∴tanα=ktanβ，
∴点在G射线BC上运动时，始终满足tanα=ktanβ；
(3)解：过点H作HE⊥CD于E，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BG，AD=CD，∠ADH=∠CDH=45°，
又∵DH=DH，
∴△ADH≌△CDH(SAS)，
∴S△ADH=S△CDH，
∴S2=12CD(HE+CG)，S1=S△CDH=12CD⋅HE，
∴S2S1=12CD(HE+CG)12CD⋅HE=1+CGHE，
设正方形ABCD的边长为a，则BD= 2a，
∵AD//BG，
∴△ADH∽△BGH，
∴DHBH=ADBG=BCBG=1k，
∴DH 2a−DH=1k，
∴DH= 2a1+k，
∵∠BDC=45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴HE= 22DH=a1+k，
∵BGBC=k，
∴a+CGa=k，
∴CG=(k−1)a，
∴S2S1=1+(k−1)aa1+k=1+(k2−1)=k2，
∴S1S2=1k2．
【解析】(1)利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠DAE，由AAS证得△AED≌△BFA，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数的定义得出tanαtanβ=BFDE，再证△BGF∽△ADE，得出BFDE=BGAD=kBCBC=k，即可得出结论；
(3)过点H作HE⊥CD于E，证△ADH≌△CDH(SAS)，得S△ADH=S△CDH，则S2S1=1+CGHE，再证△ADH∽△BGH，得DH= 2a1+k，然后证△DEH是等腰直角三角形，得HE= 22DH=a1+k，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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