浙江省杭州市上城区杭州绿城育华学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

浙江省杭州市上城区杭州绿城育华学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．2023的相反数是（    ）

A． B． C． D．2023

2．党的二十大报告指出，新时代十年我国加快推进科技自立自强，全社会研发经费支出从10000亿元增加到28000亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将数字28000用科学记数法表示应为（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图所示的钢块零件的主视图为（    ）

A． B．

C． D．

5．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　）

A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2

7．已知、两地相距100米，甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，速度分别为米/秒、米/秒，甲、乙两人第一次相距米时，行驶时间为（　　）

A．秒 B．秒 C．秒 D．秒

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以M为旋转中心，把A按顺时针方向旋转30°，得点B，若点B在反比例函数图象上，则反比例函数图象也过点（    ）

A． B． C． D．

9．2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身长为m，下半身长为n，下半身与水平面夹角为，与上半身夹角为120度（即）如图2，则此时舞者的铅直高度的长为（　　）

A．  B．

C．  D．

10．已知和均是以为自变量的函数，为实数．当时，函数值分别为和，若存在实数，使得．则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　）

A．和 B．和

C．和 D．和

二、填空题

11．分解因式：_______．

12．已知不等式的解集为，则a的值为______．

13．若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为 __________．

14．某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为______．

15．我们把半径之比等于黄金比的两个同心圆称为黄金同心圆．如图黄金同心圆中，为大圆直径，为大圆中的一条弦，且与小圆相切，小圆半径为1，设弦的长为，则_____．

16．如图，已知是上的一条弦，绕着点顺时针旋转得到，作的角平分线，分别交，于点和点，连接并延长交于点．连接，，，．

（1）若，，则的半径＝_____．

（2）若，，设，的半径为y，则y关于x的关系式为 _____．

三、解答题

17．以下是小明同学解不等式的解答过程：

解：去分母，得

去括号，得

合并同类项，得

移项，得

两边同除以，得

∴原不等式的解集是．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18．某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，调查结果分为四类：A类——非常了解；B类——比较了解；C类——一般了解：D类——不了解，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)求本次共调查了多少名学生：

(2)求D类所对应扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；

(3)若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有多少名学生？

19．已知，如图，在中，，D，E分别为边，边上一点，，且，于点F．

(1)求证：；

(2)若，．求边的长度．

20．在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点．

(1)若；

①求m，n的值；

②当时，求的取值范围；

(2)当点在反比例函数图象上，求的值．

21．如图，已知，是的直径，是上的一点，连接，分别交，于点，，连接，且．

(1)求的度数；

(2)若，求的长；

(3)求证：．

22．已知关于的二次函数（，为常数）．

(1)若该函数的顶点坐标为，求该函数的表达式；

(2)若该函数图象经过点，求的最小值；

(3)当时，该函数的表达式还可以写成的形式，且，求此时函数的表达式．

23．如图，已知正方形，H为线段上的任意一点，连接，将沿翻折得到，连接，，过点D做，交的延长线于点F，若设，

(1)若，，求的面积；

(2)当变化时，是否发生变化，如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的值；

(3)连接，求证：．

参考答案：

1．C

【分析】根据相反数的定义即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．

【详解】解：2023的相反数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2．B

【分析】根据科学记数法的表示的定义求解即可．

【详解】解：根据题意得，

故选B．

【点睛】本题考查了科学记数法的定义（把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

3．D

【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可．

【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意；

B．，故本选项错误，不符合题意；

C．，故本选项错误，不符合题意；

D．，故本选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则．

4．A

【分析】主视图是从物体的正面看所得到的图形，几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．

【详解】解：钢块零件的主视图为

故选：A．

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．

5．A

【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺，

根据题意得： ．

故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

6．B

【分析】根据扇形的面积计算公式求解即可得到答案.

【详解】解：由题意可知：

扇形的面积=

故选B.

【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算公式，解题的关键在于能够熟练掌握扇形的面积计算公式.

7．D

【分析】根据时间等于路程除以速度即可得．

【详解】解：由题意可知，当甲、乙两人第一次相距米时，两人行驶的路程为米，

甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，速度分别为米/秒、米/秒，

行驶时间为秒，

故选：D．

【点睛】本题考查了列代数式，正确找出时间与路程、速度之间的关系是解题关键．

8．C

【分析】利用旋转的性质求得点B的坐标，然后利用反比例函数图像上点的坐标特点分析求解．

【详解】解：过点B作轴，交y轴于点D，

∵点，点，

∴，，

∴，

由旋转可得，，

∴，

在Rt中，，

∴，，

∴，

∴B点坐标为，

又∵点B在反比例函数图象上，

∴，

∵，，，，

∴则反比例函数图象也过点，

故选：C．

【点睛】本题考查旋转的性质，含30°的直角三角形性质，反比例函数图像的性质，准确识图，掌握旋转的性质及反比例函数图像上点的坐标特征解题关键．

9．B

【分析】过点B作于点E，作于点F，证明四边形为矩形，得出，，求出，然后根据三角函数分别求出，，即可得出答案．

【详解】解：过点B作于点E，作于点F，如图所示：

∵，

∴四边形为矩形，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三行函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，准确计算．

10．B

【分析】根据题中所给定义，直接令，即可根据一元二次方程根的判别式得出结论．

【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称和为友好函数，

当有解时，和为友好函数，

A．令，则，整理得，，存在实数，故A选项不符合题意；

B．令，则，整理得，，当时，，无解，不一定存在实数，故B选项符合题意；

C．令，则，整理得，，存在实数，故C选项不符合题意；

D．令，则，整理得，，存在实数，故D选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

11．b（a+2）（a-2）

【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.

【详解】.

故答案为：b（a+2）（a-2）.

【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.

12．12

【分析】先解不等式得到，结合得到进而求出a的值12．

【详解】解：解不等式：，得到，

又不等式的解集为：，

∴，解得a=12，

故答案为：12．

【点睛】本题考查了不等式的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．

13．8

【分析】设正多边形的边数为，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．

【详解】解：设正多边形的边数为，由题意得：

，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及外角和为是解题的关键．

14．

【分析】求出男生与女生的份数，让女生份数除以学生的总份数解答即可．

【详解】解：因为女生与男生的人数比为3：2，所以总份数是3+2=5，

所以该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；注意先求得学生的总份数．

15．

【分析】连接，作于点，根据垂径定理可得是的中位线，即可求得，再根据黄金比求得大圆的半径，利用勾股定理即可求解．

【详解】解：如图，连接，作于点，

是的中位线，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，三角形的中位线的性质，黄金分割比例，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．

16．         

【分析】（1）连接、，根据圆周角定理，得出，再根据勾股定理，求出的半径；

（2）根据旋转的性质，得出，再根据三线合一的性质，得出，，再根据线段垂直平分线的判定，得出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据正弦的定义，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据正弦的定义，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，即，进而得出，即，整理即可得出答案．

【详解】解：（1）如图，连接、，

∵，

在中，

∵，，

∴，即，

∴，

∴的半径为；

故答案为：

（2）如图，连接，并延长交于点，连接，

∵绕着点顺时针旋转得到，

∴，

又∵是的角平分线，

∴，，

∴是的垂直平分线，

∴，

在中，

，

∵是的直径，

∴，

在中，

，

∵，即，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∵，即，

∴y关于x的关系式为．

故答案为：

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、勾股定理、旋转的性质、三线合一的性质、线段垂直平分线的判定与性质、锐角三角函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．

17．小明的解答过程有错误，正确的解答过程见解析

【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，计算即可得出答案．

【详解】解：小明的解答过程有错误，正确的解答过程如下：

去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

两边同除以，得，

∴原不等式的解集是．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握解一元一次方程的步骤．

18．(1)50名；

(2)，条形图见详解；

(3)150名；

【分析】（1）用B类的人数除以它所占的百分比可计算出调查的总人数；

（2）用360°乘以D类人数所占的百分比得到D类所对应扇形的圆心角的大小；然后求出C类的人数，即可补全条形统计图；

（3）用总人数乘以对新冠肺炎防控知识非常了解的人数所占的百分比即可．

【详解】（1）解：根据题意，

本次共调查的学生数为：（名）；

（2）解：D类所对应扇形的圆心角；

C类学生人数为：（名），

条形图如下：

（3）解：根据题意，该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有：

（名）；

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．(1)证明见解析；

(2)6

【分析】（1）根据已知条件证明和即可证明．

（2）根据和已知条件推出，从而求出和长度，再利用即可求出长度．

【详解】（1）证明：，

．

，，

，

，

．

（2）解：，，，，

，

，

， ．

，，

，

，

设，则

，

，

．

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质的判定，解题的关键就是利用相似三角形性质判定求线段.

20．(1)①，　②

(2)20

【分析】（1）①根据题意得到m与n的关系式，再结合，求出m、n的值即可；②分类讨论解不等式即可；

（2）根据题意得到mn的值，再结合，利用完全平方公式即可求得的值．

【详解】（1）解： ①（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点，

，

，

，

解得，

，；

②、由①可知，

当时，，

当时，，

解得，

；

当时，，

解得，

无解；

综上所述：当时，求的取值范围为；

（2）点在反比例函数图象上，

，

由（1）可知，

，

的值为20．

【点睛】本题考查了二元一次方程组，反比例函数性质，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式的变形以及反比例函数的性质是解决本题的关键．

21．(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据线段之间的数量关系，得出，再根据等量代换，得出，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，即，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案；

（2）根据等边三角形的性质，得出，，再根据对顶角相等和圆的概念，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；

（3）根据等边三角形的性质，得出，再根据（1）的结论，得出，进而得出，再根据，得出，再根据相似三角形的性质，得出，进而得出，再根据圆的半径相等，得出，再根据等量代换，即可得出结论．

【详解】（1）解：∵，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，即，

∴；

（2）解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，，

∴，即，，

∵，

∴，

∴；

（3）证明：∵是等边三角形，

∴，即，

由（1）可得：，即，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、对顶角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．

22．(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据顶点坐标，可知对称轴为直线，求得，再把代入，解得即可得到答案；

（2）将代入，求得，再代入，根据二次函数的性质即可求解；

（3）根据二次函数的交点式及一元二次方程根与系数的关系求得、，即可求解．

【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，

对称轴为直线，

，

将代入，得，

解得，

该函数的表达式为；

（2）解：将代入，

得，整理得，

，

的最大值为；

（3）解：当时，该函数的表达式还可以写成的形式，

，即，，

，

又，

，整理得，

解得：或5，

当时，则，函数解析式为，

当时，则，函数解析式为．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

23．(1)

(2)不发生变化，

(3)见详解

【分析】（1）过点E作于点T，由折叠的性质及正方形的性质可知，然后问题可求解；

（2）设与相交于点N，由折叠的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解；

（3）过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，由题意易证，同理可证，则有四边形为正方形，然后问题可进行求解．

【详解】（1）解：过点E作于点T，如图所示：

∵四边形是正方形，

∴，，

由折叠的性质可得，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴；

（2）解：的度数不发生改变，理由如下：

设与相交于点N，如图所示：

由折叠的性质可得，，

∴，

在正方形中，，，

∴，

∴，

∴；

（3）证明：过点分别作，垂足分别为M、K，与相交于点N，如图所示：

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

在正方形中，，，由折叠的性质可知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

同理可证，

∴，

∴四边形是正方形，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键．