2023年中考数学二轮复习《压轴题-直角三角形问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-直角三角形问题》强化练习(含答案)，共23页。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-直角三角形问题》强化练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC、BC．(1)求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．                  2.已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5)．(1)求b，c，m的值；(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．              3.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若CD=2OD．(1)求点B的坐标；(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．                    4.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝x＋1与x轴交于点E，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；(3)M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．                   5.如图，抛物线y＝x2＋2x﹣8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．(1)求直线AC的函数表达式；(2)求线段DE的最大值；(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．                  6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．(3)如图2，若点E坐标为(2，0)，EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．                7.抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c(a＜2且a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M(m，n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．(1)若m＝2，n＝﹣3，求a的值；(2)记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx＋b(k≠0)，与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．                       8.二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(﹣1，0)和点B(﹣3，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T(0，t)为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．      
参考答案1.解：(1)针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，∴AC＝；(2)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P(1，p)，∴PA＝，PC＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P(1，﹣1)；(3)由(1)知，B(3，0)，C(0，﹣3)，∴OB＝OC＝3，设M(m，m2﹣2m﹣3)，∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋2m，∴﹣m2＋2m＝m，∴m＝0(不符合题意，舍去)或m＝1，∴M(1，﹣4)；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'(﹣2，5)；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，  ∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM＋∠DMC＝90°，∵∠DMC＋∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M(m，m2﹣2m﹣3)，B(3，0)，C(0，﹣3)，∴DM＝m，CD＝﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋2m＋3，∴，∴m＝0(舍去)或m＝3(点B的横坐标，不符合题意，舍去)或m＝(不符合题意，舍去)或m＝，∴M(，﹣)，Ⅱ、当点M在第三象限时，M(，﹣)，即满足条件的M的坐标为(1，﹣4)或(﹣2，5)或(，﹣)，或(，﹣)．2.解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，5)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5，令y＝0，则﹣x2＋4x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B(5，0)，∴m＝5；(2)∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5＝﹣(x﹣2)2＋9，∴对称轴为x＝2，设D(x，﹣x2＋4x＋5)，∵DE∥x轴，∴E(4﹣x，﹣x2＋4x＋5)，∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2(﹣x2＋4x＋5)＋2(x﹣4＋x)＝﹣2x2＋12x＋2＝﹣2(x﹣3)2＋20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为(3，8)；(3)过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B(5，0)，C(0，5)．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK(AAS)，∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x＋5＝﹣(x﹣2)2＋9，∴对称轴为x＝2，M(2，9)，∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N(﹣4，3)，设直线BN的解析式为y＝mx＋n，∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣x＋，∴Q(0，)，设P(2，p)，∴PQ2＝22＋(p﹣)2＝p2﹣p＋，BP2＝(5﹣2)2p2＝9＋p2，BQ2＝52＋()2＝25＋，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2＋BQ2，∴9＋p2＝p2﹣p＋＋25＋，解得p＝，∴点P的坐标为(2，)；②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2＋BQ2，∴p2﹣p＋＝9＋p2＋25＋，解得p＝﹣9，∴点P′的坐标为(2，﹣9)．综上，所有符合条件的点P的坐标为(2，)，(2，﹣9)．3.解：∵A(﹣1，0)，∴OA＝l，在y＝ax2＋bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∴OC＝3，∵BC∥x轴，∴△AOD∽△BCD，∴，∴BC＝2，∴B(2，﹣3)；(2)把A(﹣1，0)，B(2，﹣3)代入y＝ax2＋bx﹣3，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，设P(1，m)，∴PA2＝m2＋22＝m2＋4．PC2＝(m＋3)2＋12＝(m＋3)2＋1．AC2＝12＋32＝10．∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2＋AC2＝PC2．∴m2＋4＋10＝(m＋3)2＋1，解得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2＋AC2＝AP2，∴(m＋3)2＋1＋10＝m2＋4，解得m＝﹣(不符合题意，舍去)．∴P(1，)．4.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，则y＝x＋1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ(AAS)，∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2＋2x＋3﹣(x＋1)＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，∴点P的坐标是(2，3)或(﹣，)；(3)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M(a，a＋1)，∴CM2＝a2＋(3﹣a﹣1)2＝a2﹣2a＋4，DM2＝a2＋(a＋1﹣1)2＝a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2＋DM2，∴22＝a2﹣2a＋4＋a2，解得：a1＝，a2＝0(舍去)，当a＝时，a＋1＝，∴M(，)；②当∠DCM＝90°时，∴CD2＋CM2＝DM2，∴22＋a2﹣2a＋4＝a2，解得：a＝4，当a＝4时，a＋1＝3，∴M(4，3)；综上所述：点M的坐标为(，)或(4，3)． 5.解：(1)在y＝x2＋2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C(0，﹣8)，令y＝0，得x2＋2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A(﹣4，0)，B(2，0)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；(2)设D(m，m2＋2m﹣8)，则E(m，﹣2m﹣8)，∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣(m2＋2m﹣8)＝﹣m2﹣4m＝﹣(m＋2)2＋4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；(3)∵y＝x2＋2x﹣8＝(x＋1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F(﹣1，n)，又A(﹣4，0)，C(0，﹣8)，∴AF2＝32＋n2＝n2＋9，AC2＝42＋82＝80，CF2＝12＋(n＋8)2＝n2＋16n＋65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2＋CF2＝AC2，∴n2＋9＋n2＋16n＋65＝80，解得：n1＝﹣4﹣，n2＝﹣4＋，∴F(﹣1，﹣4﹣)或(﹣1，﹣4＋)；②当∠CAF＝90°时，∵AF2＋AC2＝CF2，∴n2＋9＋80＝n2＋16n＋65，解得：n＝，∴F(﹣1，)；③当∠ACF＝90°时，∵CF2＋AC2＝AF2，∴n2＋16n＋65＋80＝n2＋9，解得：n＝﹣，∴F(﹣1，﹣)；综上所述，点F的坐标为(﹣1，﹣4﹣)或(﹣1，﹣4＋)或(﹣1，)或(﹣1，﹣)．6.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；(2)过点M作HG∥y轴，交x轴于点H，过点N作NG⊥HG交于点G，∴∠AMH＋∠NMG＝90°，∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠NMG＝∠MAH，∵AM＝MN，∴△AMH≌△MNG(AAS)，∴AH＝MG，HM＝NG，设M(t，t2﹣2t﹣3)，∴HM＝﹣t2＋2t＋3，NG＝t，∴﹣t2＋2t＋3＝t，∴t＝±，∵点M是抛物线上B，C之间，∴0＜t＜3，∴t＝±，∴M(＋，﹣﹣)，∴AH＝1＋＋＝＋，∴HG＝＋＋＋＝2＋，∴N(0，﹣2﹣)；(3)存在使△ACE'为直角三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，∵E(2，0)，∴E'(2＋t，t)，①如图2，当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，∴∠ACO＋∠E'CH＝90°，∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠E'CH＝∠CAO，∴△ACO∽△CE'H，∴＝，∵AO＝1，CO＝3，CH＝﹣3﹣t，E'H＝﹣2﹣t，∴＝，解得t＝﹣，∴E'(﹣，﹣)；②如图3，当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，∴∠MAE'＋∠NAC＝90°，∵∠MAE'＋∠ME'A＝90°，∴∠NAC＝∠ME'A，∴△AME'∽△CNA，∴＝，∵NC＝1，AN＝3，AM＝t，ME'＝3＋t，∴＝，解得t＝，∴E'(，)；当E'点与N重合时，△ACE'为直角三角形，∴E'(﹣1，﹣3)；③如图3，当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，∴∠AE'S＋∠CE'T＝90°，∵∠AE'S＋∠E'AS＝90°，∴∠CE'T＝∠E'AS，∴△ASE'∽△E'TC，∴＝，∵AS＝3＋t，SE'＝﹣t，CT＝2＋t，E'T＝t＋3，∴＝，解得t＝﹣1，∴E'(1，﹣1)；综上所述：E'的坐标为(﹣，﹣)或(，)或(1，﹣1)或(﹣1，﹣3)．7.解：(1)将点A(﹣1，0)代入抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c中，∴a＋2a＋c＝0，∴c＝﹣3a，∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M(2，﹣3)，∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；(2)证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，∴P(a，﹣4a)，令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M(m，am2﹣2am﹣3a)，∴Q(m，2am﹣6a)，∴QM＝2am﹣6a﹣(am2﹣2am﹣3a)＝﹣am2＋4am﹣3a，∴S＝|xB﹣xP|•QM＝﹣am2＋4am﹣3a＝﹣a(m﹣2)2＋a，∵﹣a＜0，开口向下，∴当m＝2时，S的最大值为a，∵a＜2，∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．(3)解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，∴直线l必经过点A(﹣1，0)，将点A代入直线l：y2＝kx＋b，∴﹣k＋b＝0，∵直线l：y2＝kx＋b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，∴k＝b＝2a，b＝﹣6a＋t＝2a，∴t＝8a，∴y2＝2ax＋2a，点C(0，2a)，令2ax＋2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，∴E(5，12a)．①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，∴△FEC∽△OCD，∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝或a＝﹣(舍)；∴t＝8a＝4≥4，符合题意；②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，∴△OCD∽△FDE，∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝或a＝﹣(舍)，∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；③当∠CED＝90°时，显然不存在．综上，存在，且t的值为．8.解：(1)∵二次函数过点A(﹣1，0)，B(﹣3，0)，∴设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x＋3)，将C(0，﹣3)代入，得：3a＝3，解得：a＝﹣1，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；(2)如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．由(1)得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣(x＋2)2＋1，∴抛物线顶点E(﹣2，1)，设直线BE的解析式为y＝kx＋b，∵B(﹣3，0)，E(﹣2，1)，∴，解得：，∴直线BE的解析式为：y＝x＋3，∴Q(0，3)，∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T(0，t)旋转180°，∴TB＝TB′，TE＝TE′，∴四边形BEB′E′是平行四边形，∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×(3﹣2)×TQ＝TQ，∴TQ＝6，∴3﹣t＝6，∴t＝﹣3；(3)设P(x，﹣x2﹣4x﹣3)，①当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，∴＝，∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x＋3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，∴＝，化简得：x2＋5x＋5＝0，解得：x1＝，x2＝(舍去)，②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2＋5x＋5＝0，解得：x1＝(舍去)，x2＝，∴M点的坐标为(，﹣3)或(，﹣3)，③当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，得：△N3BP3也是等腰直角三角形，∴N3B＝N3P3，∴﹣x2﹣4x﹣3＝x＋3，化简得：x2＋5x＋6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3(舍去)，∴M点的坐标为(﹣2，﹣3)；④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，∴P4N4＝CN4，∴﹣x＝﹣3﹣(﹣x2﹣4x﹣3)，化简得：x2＋5x＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝0(舍去)，∴M点的坐标为(﹣5，﹣3)，综上所述：满足条件的M点的坐标为(，﹣3)或(，﹣3)或(﹣2，﹣3)或(﹣5，﹣3)．