2023年中考数学二轮复习《压轴题-正方形存在问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-正方形存在问题》强化练习(含答案)，共24页。试卷主要包含了如图1，抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-正方形存在问题》强化练习1.如图，某一次函数与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点为A(﹣1，0)，B(4，5)．(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　  　；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．                2.如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．                3.如图，抛物线y＝a(x﹣h)2＋k(a≠0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则a＝　 　；当抛物线y＝x2＋k是美丽抛物线时，则k＝　 　；(2)若抛物线y＝ax2＋k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；(3)若y＝a(x﹣h)2＋k是美丽抛物线时，(2)a，k的数量关系成立吗？为什么？(4)系列美丽抛物线yn＝an(x﹣n)2＋kn(n为小于7的正整数)顶点在直线y＝x上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．               4.在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2＋bx＋c经过A(﹣2，0)，B(1,﹣)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．(1)求抛物线L1的表达式；(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．                        5.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；(3)如图3，在(2)的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长               6.如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．(1)当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(2)如图2，在(1)的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；(3)在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OPA＝135°，直接写出此时AP的长度．               7.如图1，抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，且顶点为C，直线y＝kx＋2经过A，C两点．(1)求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；(2)如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx＋2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点(M点在N点右边)，若S△MDE＝S△MAE，求点D的坐标；(3)如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P(m，0)是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为　 　，当m＝　   　时，有最小值　　．             8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋，以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．      
参考答案1.解：(1)将A(﹣1，0)，B(4，5)代入y＝x2＋mx＋n得，，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，∵AC＋BC≥AB，∴当点A、B、C三点共线时，AC＋BC的最小值为AB的长，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴当x＝1时，y＝2，∴C(1，2)，故答案为：(1，2)；(3)设D(a，a2﹣2a﹣3)，则E(a，a＋1)，∴DE＝(a＋1)﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2＋3a＋4(﹣1＜a＜4)，∴当a＝时，DE的最大值为；(4)当CF为对角线时，如图，此时四边形CMFN是正方形，∴N(1，1)，当CF为边时，若点F在C的上方，此时∠MFC＝45°，∴MF∥x轴，∵△MCF是等腰直角三角形，∴MF＝CN＝2，∴N(1，4)，当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，同理可得N(﹣1，2)，当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N(，)，综上：N(1，1)或(1，4)或(﹣1，2)或(，)．2.解：(1)由题意得，，∴，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B(3，0)，∵PC2＋BC2＝[1＋(4﹣3)2]＋(32＋32)＝20，PB2＝[(3﹣1)2＋42]＝20，∴PC2＋BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，∴S△PBC＝3，∵S△BOC＝，∴S四边形BOCP＝S△PBC＋S△BOC＝3＋＝；(3)如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，设P(m，﹣m2＋2m＋3)，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，由﹣x＋3＝﹣m2＋2m＋3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣(m2﹣2m)＝﹣m2＋3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，∴当m＝时，()最大＝，当m＝时，y＝﹣()2＋2×＋3＝，∴P(，)，设Q(n，﹣n2＋2n＋3)，如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，∴＝，∴＝，∴n＝，如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；(4)如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G(n，0)，H(3，3＋n)，∴K(，)，∴I(，﹣()2＋n＋3＋3)，∵TM＝IW，∴＝()2＋n＋6﹣(3＋n)，∴(n＋3)2＋2(n＋3)﹣12＝0，∴n1＝﹣4＋，n2＝﹣4﹣(舍去)，∴G(﹣4＋，0)．3.解：(1)函数y＝ax2＋k的图象如下：①抛物线y＝ax2＋1是美丽抛物线时，则AC＝1，∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为(，)，将点D的坐标代入y＝ax2＋1得：＝a()2＋1，解得a＝﹣2；②同理可得，点D的坐标为(k，k)，将点D的坐标代入y＝x2＋k得：k＝(k)2＋1，解得k＝0(不合题意)或﹣4；故答案为：﹣4；(2)由(1)知，点D的坐标为(k，k)，将点D的坐标代入y＝ax2＋k得：k＝a(k)2＋k，解得ak＝﹣2；(3)答：成立．∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．∴美丽抛物线y＝a(x﹣h)2＋k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2＋k．∴ak＝﹣2；(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为(k,k)和(m,m)，(k，m为小7的正整数，且k＜m)，它们的内接正方形的边长比为k：m=1:4，∴m＝4k，．∴这两条美丽抛物线分别为和．∵，＝﹣2，∴a1＝﹣12，a4＝﹣3．∴a1＋a4＝﹣15．答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．4.解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x﹣1)2﹣，∵抛物线L1过点A(﹣2，0)，∴a(﹣2﹣1)2﹣=0，解得a=，∴y=(x﹣1)2﹣．即抛物线L1的表达式是y=(x﹣1)2﹣；(2)令x＝0，则y＝﹣2，∴C(0，﹣2)．Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，∴点D3的坐标为(0，0)，点E3的坐标为(﹣2，﹣2)．设y=x2＋bx，则b=即抛物线L2的解析式是y=x2＋x．Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为(0，2)，点E1的坐标为(2，0)．设y=x2＋bx＋2，则b=﹣，即抛物线L2的解析式是y=x2﹣x＋2．第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，则有△AD2M≌△AD1O，∴AO＝AM，D1O＝D2M．过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，∴CO＝CN，E1O＝E2N．则点D2的坐标为(﹣4，﹣2)，点E2的坐标为(﹣2，﹣4)，设C，则，解得，即抛物线L2的解析式是y=x2＋x﹣4．综上所述：L2的表达式为：y=x2＋x，y=x2＋x＋2或y=x2＋x﹣4．5.解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B、C，OA＝18．∴AB＝OC＝OA＝18，∴C(0，18)，B(18，18)，∴c＝18，∴18＝﹣×182＋bx＋18，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋18；(2)如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝α，∵∠EDA＝2∠ABD，∴∠EDA＝2α，∵DI＝DE，∴∠EID＝∠IED＝α，∵点D是OA的中点，∴OD＝DA＝9，∴tanα＝＝，∴tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI＝2x，∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，在Rt△ADE中，ED2＝AD2＋AE2，即(2x﹣9)2＝92＋x2，解得x1＝12，x2＝0 (舍)，∴AE＝12，∴E(18，12)，∵D(9，0)，设直线ED的解析式为y＝kx＋t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x﹣12；(3)如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，∴△ODM≌△ADB(ASA)，∴MD＝DB，∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，∴DQ＝BQ＝PQ，∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB＋∠QBD＋∠QDP＋∠QPD＝180°，∴∠BDQ＋∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，∴PH⊥BD，∴∠SDO＋∠MDO＝∠MDO＋∠OMD＝90°，∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝＝，∴OS＝OD＝，∴S(0，)，设直线SD的解析式为y＝mx＋n，将点S(0，)，D(9，0)代入得，，解得，∴直线SD的解析式为y＝﹣x＋，联立，解得，，∵点P在AB右侧的抛物线上，∴P(27，﹣9)，∵D(9，0)，B(18，18)，∴PD＝9，BD＝9，∴DB＝DP，∴△DBP是等腰直角三角形，∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，∵BH⊥BP，∴BH∥DQ，∴＝1，∴DH＝DP，∵D(9，0)，P(27，﹣9)，∴H(﹣9，9)，∵点G在OD上，GC＝GE，C(0，18)，E(18，12)，设G(p，0)，则p2＋182＝(18﹣p)2＋122，解得p＝4，∴G(4，0)，∵H(﹣9，9)，G(4，0)，C(0，18)，∴CG＝2，CH＝9，HG＝5，∴CG＋HG＋CH＝2＋5＋9，∴△CGH的周长为2＋5＋9．6.解：(1)∵t＝3秒，∴OA＝OB＝3，∴点B(0，3)，C(3，3)，将点B、C代入抛物线得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋3，设BC边上的高为h，∵BC＝OA＝3，S△BCD＝6，∴h＝4，∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，令y＝﹣1，则﹣x2＋3x＋3＝﹣1，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以，D1(﹣1，﹣1)，D2(4，﹣1)；(2)∵OB＝3，∴EF＝3，设E(m，﹣m2＋3m＋3)，F(m，m)，若E在F上方，则，﹣m2＋3m＋3﹣m＝3，整理得，m2﹣2m＝0，解得m1＝0(舍去)，m2＝2，∴F1(2，2)，若F在E上方，则，m﹣(﹣m2＋3m＋3)＝3，整理m2﹣2m﹣6＝0，解得m1＝1﹣，m2＝1＋，∴F2(1﹣，1﹣)，F3(1＋，1＋)；(4)如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝，∠AP′C＝∠OPA＝135°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠AP′P＝45°，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，由勾股定理得，PP′＝，所以，AP＝PP′＝×＝1．7.解：(1)∵直线y＝kx＋2经过A(﹣1，0)，∴﹣k＋2＝0，解得k＝2，∴直线AC的表达式为y＝2x＋2；由抛物线与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，得抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝2×1＋2＝4，∴抛物线的顶点C的坐标为(1，4)；设抛物线的表达式为y＝a(x﹣1)2＋4，则4a＋4＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线C1的表达式为y＝﹣(x﹣1)2＋4，即y＝﹣x2＋2x＋3．(2)如图2，作DQ⊥x轴于点Q，EF⊥DQ于点F，设抛物线C2的顶点D的横坐标为t.∵抛物线C2由抛物线C1沿射线AC方向平移得到，∴D(t，2t＋2)，∴抛物线C2的表达式可表示为y＝﹣(x﹣t)2＋2t＋2，由，得2x＋2＝﹣(x﹣t)2＋2t＋2，解关于x的方程，得x1＝t﹣2，x2＝t，则点E、F的横坐标分别为t﹣2、t，∴EF＝t﹣(t﹣2)＝2，∵S△MDE＝S△MAE，∴＝，∴＝；∵EF∥AQ，∴△DEF∽△DAQ，∴，∴2＝AQ，∴AQ＝5，∴OQ＝5﹣1＝4；当x＝4时，y＝2×4＋2＝10，∴D(4，10)．(3)由(1)得，抛物线C1的表达式为y＝﹣(x﹣1)2＋4，将抛物线y＝﹣(x﹣1)2＋4向上平移4个单位得到的抛物线为y＝﹣(x﹣1)2＋8，即y＝﹣x2＋2x＋7，∴抛物线C3的表达式为y＝﹣x2＋2x＋7．由题意可知，正方形GHST与抛物线C3有相同的对称轴直线x＝1，如图3，设H(t，0)，则S(t，2t﹣2)，∴﹣t2＋2t＋7＝2t﹣2，解得t1＝3，t2＝﹣3(不符合题意，舍去)，∴H(3，0)．∴SH＝2(t﹣1)＝2×(3﹣1)＝4，∴正方形的边长为4；将△PSH绕点S顺时针90°得到△KST，取SK的中点R，连结TR、PR，则点K在GT上，设PS＝KS＝t(t＞0)，则TR＝SR＝KS＝t，由旋转得，∠PSR＝90°，∴PR＝t，∵PR＋TR≥PT，∴t＋t≥PT，∴，即，∴的最小值为；如图4，当＝时，则点R落在PT上.设PT交SH于点L．∵∠PSL＝∠TSR＝∠PTS，∠SPL＝∠TPS(公共角)，∴△PLS∽△PST，∴＝，∴SL＝2﹣2；∵∠KTS＝∠LST＝90°，ST＝TS(公共边)，∠TSK＝∠STL，∴△KST≌△LTS(ASA)，∴PH＝KT＝SL＝2﹣2，∴OP＝3＋2﹣2＝2＋1，∴P(2＋1，0)，∴m＝2＋1．故答案为：4，2＋1，﹣．8.解：(1)把点A(3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋，得到0＝﹣＋3b＋，解得b＝1．(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋，∴P(m，﹣m2＋m＋)，∵M，Q重合，∴﹣m＋＝﹣m2＋m＋，解得m＝0或4．(3)y＝﹣x2＋x＋＝﹣(x﹣1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m＋﹣(﹣m2＋m＋)且﹣m＋＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1＋(不合题意舍弃)，∴m＝1﹣．(4)当m≤3和m≥4时，抛物线不能被覆盖，理由如下：如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，当m＝4时，点M与点Q重合，当m≥4时，矩形你能覆盖抛物线在直线x＝4的右侧部分(包括m＝4)，∴抛物线被扫描部分自变量的取值范围为：x≤3或x≥4，