2023年中考数学二轮复习《压轴题-新定义综合问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-新定义综合问题》强化练习(含答案)，共18页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-新定义综合问题》强化练习1.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2＋2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2＋2ax＋c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(﹣3，0)、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0，﹣1)．(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．             2.在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b＝a＋3时，函数y有最大值ymax，最小值ymin，设h＝ymax﹣ymin，则称h为y的“极差函数”(此函数为h关于a的函数)；特别的，当h＝ymax﹣ymin为一个常数(与a无关)时，称y有“极差常函数”．(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应(　　)内画“√”，如果不是，请在对应(　　)内画“×”．①y＝2x ( 　 　)；②y＝﹣2x＋2 ( 　 　)；③y＝x2 ( 　 　)．(2)y关于x的一次函数y＝px＋q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；(3)若﹣＋≤x≤，当a≤x≤b(b＝a＋3)时，写出函数y＝ax2﹣bx＋4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．                   3.定义：将函数C1的图象绕点P(m，0)旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝(x﹣3)2＋9关于点P(1，0)的相关函数为y＝﹣(x＋1)2﹣9．(1)当m＝0时，①一次函数y＝﹣x＋7关于点P的相关函数为 　    　．②点A(5，﹣6)在二次函数y＝ax2﹣2ax＋a(a≠0)关于点P的相关函数的图象上，求a的值．(2)函数y＝(x﹣2)2＋6关于点P的相关函数是y＝﹣(x﹣10)2﹣6，则m＝　  　．(3)当m﹣1≤x≤m＋2时，函数y＝x2﹣6mx＋4m2关于点P(m，0)的相关函数的最大值为8，求m的值．                   4.定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．(1)函数y1＝﹣x＋m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．(2)如图所示的是y＝|x2＋2x|的图象，它是由二次函数y＝x2＋2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x＋m与y2＝|x2＋2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．               5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．                   6.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(，)是函数y＝x图象的“阶方点”；点(﹣1，1)是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．(1)在①(﹣1，2)；②(0，0)；③(，﹣1)三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 　  　(填序号)；(2)若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点(n，n)，则点(n，n)称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2＋(p﹣t＋1)x＋q＋t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．                 7.定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(﹣1，﹣1)是函数y＝4x＋3图象的“1倍点”，点(﹣，﹣3)是函数y＝4x＋3图象的“2倍点”．(1)函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；(2)若抛物线y＝ax2＋5x＋c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧)．当a＞1时，求：①c的取值范围；②直接写出∠EMN的度数．                    8.定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点(﹣1，1)是函数y＝x＋2的图象的“好点”．(1)在函数①y＝﹣x＋3，②y＝③y＝x2＋2x＋1的图象上，存在“好点”的函数是 　　；(填序号)(2)设函数y＝﹣(x＜0)与y＝kx＋3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；(3)若将函数y＝x2＋2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．      
参考答案1.解：(1)将A(﹣3，0)、H(0，﹣1)代入y＝ax2＋2ax＋c中，∴，解得，∴y＝x2＋x﹣1，在y＝x2＋2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G(0，﹣3)；(2)设M(t，t2＋2t﹣3)，则D(t，t2＋t﹣1)，N(t，0)，∴NM＝﹣t2﹣2t＋3，DM＝t2＋t﹣1﹣(t2＋2t﹣3)＝﹣t2﹣t＋2，∴＝＝；(3)存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由(1)可得y＝x2＋2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E(﹣2，﹣1)，设F(x，0)，①当EG＝EF时，∵G(0，﹣3)，∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F(﹣2，0)或(﹣﹣2，0)；②当EG＝FG时，2＝，此时x无实数根；综上所述：F点坐标为(﹣2，0)或(﹣﹣2，0)．2.解：(1)①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2(a＋3)﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x＋2 是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a＋2﹣[﹣2(a＋3)＋2]＝6，∴y＝﹣2x＋2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2 是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a＋3≤0时，h＝a2﹣(a＋3)2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝(a＋3)2﹣a2＝9＋6a；∴y＝x2 不是“极差常函数”，故答案为：×；(2)当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为(0，q)，当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为(﹣，0)，∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p(a＋3)＋q﹣(pa＋q)＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x±；当p＜0时，h＝pa＋q﹣[p(a＋3)＋q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x±；综上所述：函数的解析式为y＝x±或y＝﹣x±；(3)y＝ax2﹣bx＋4＝a(x﹣)2＋4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a＋3，∴x＝＝＋，∵，∴≤＋≤，≤a＋3≤，∵(a＋3﹣﹣)﹣(＋﹣a)＝2a＋2﹣，∵，∴2a＋2﹣＞0，∴a＋3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a＋3时，y有最大值a(a＋3)2﹣(a＋3)2＋4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a(a＋3)2﹣(a＋3)2＋4﹣4＋＝(a＋3)2(a﹣1＋)，∴4ah＝(2a2＋5a﹣3)2，∵2a2＋5a﹣3＝2(a＋)2﹣，，∴≤2a2＋5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．3.解：(1)①根据相关函数的定义，y＝﹣x＋7关于点P(0，0)旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax＋a＝a(x﹣1)2，∴y＝ax2﹣2ax＋a关于点P(0，0)的相关函数为y＝﹣a(x＋1)2，∵点A(5，﹣6)在二次函数y＝﹣a(x＋1)2的图象上，∴﹣6＝﹣a(5＋1)2，解得：a＝；(2)y＝(x﹣2)2＋6的顶点为(2，6)，y＝﹣(x﹣10)2﹣66的顶点坐标为(10，﹣6)；∵两个二次函数的顶点关于点P (m，0)成中心对称，∴m＝6，故答案为：6；(3)y＝x2﹣6mx＋4m2＝(x﹣3m)2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx＋4m2关于点P(m，0)的相关函数为y＝﹣(x＋m)2＋5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣(m﹣1＋m)2＋5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣(不符合题意，舍去)，m2＝﹣2＋；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±(不合题意，舍去)；③当﹣m＞m＋2，即m＜﹣1时，当x＝m＋2，y有最大值为8，∴﹣(m＋2＋m)2＋5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4＋2(不符合题意，舍去)，综上，m的值为﹣2＋或4﹣2．4.解：(1)由y1＝y2得﹣x＋m=﹣，整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2＋8＞0，∴y1＝﹣x＋m与y2＝﹣是互为“凤凰函数”，当m＝1时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x＋m与y2＝﹣的“凤凰根”．(2)如图：y1＝﹣x＋m与y2＝|x2＋2x|有两个的“凤凰根”，则直线在l1和l2之间平移(不含两条直线)或在直线l3的右侧平移．解方程|x2＋2x|=0，得x1＝﹣4，x2＝0，故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为(﹣4，0)和(0，0)．将(﹣4，0)和(0，0)代入y1＝﹣x＋m，得m＝﹣4和m＝0．故当﹣4＜m＜0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；当y1＝﹣x＋m与y2＝﹣x2﹣2x相切时，联立可得方程﹣x＋m＝﹣x2﹣2x，整理，得﹣x2＋x＋m=0，∴m=．当y1＝﹣x＋m在直线l3的右侧平移，即m>时，y1与y2有两个“凤凰根”．综上所述，当﹣4＜m＜0或m>时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”．5.解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋4，∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；②当y＝﹣x时，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，∴二次函数y＝﹣x2＋2x＋4有两个不同的“零和点”；(2)如图，连接AC，∵y＝ax2＋bx＋c，∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，设直线CD的解析式为y＝kx＋n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x＋c，∴E(﹣，0)，∵A(，0)，B(，0)，∴AE＝﹣(﹣)＝＋，BE＝﹣(﹣)＝＋，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE•BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，∴c2＋＝(＋)(＋)，化简得：ac＝﹣1，故ac的值为﹣1．6.解：(1)(﹣1，2)到x轴距离为2，不符合题意，(0，0)到两坐标轴的距离都等于0，符合题意，③(，﹣1)到x轴距离为1，到y轴距离为，符合题意，故答案为：②③．(2)∵y＝ax﹣3a＋1＝a(x﹣3)＋1，∴函数经过定点(3，1)，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C(2，﹣2)，D(2，2)，∵一次函数y＝ax﹣3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C(2，﹣2)时，﹣2＝2a﹣3a＋1，解得a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D(2，2)时，2＝2a﹣3a＋1，解得a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1．(3)∵点(n，n)在直线y＝x上，∴y＝x2＋(p﹣t＋1)x＋q＋t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”时，方程x2＋(p﹣t＋1)x＋q＋t﹣2＝x有两个相等实数根，∴Δ＝(p﹣t)2﹣q﹣t＋2＝0，∴q＝(p﹣t)2﹣t＋2，∵当2≤p≤3时，q的最小值为t，若p＝t，则q的最小值为﹣t＋2，则﹣t＋2＝t，解得t＝p＝1，不符合题意．当t＜2时，若p＝2，则q取最小值，即q＝(2﹣t)2﹣t＋2＝t解得t＝3＋(舍)或t＝3﹣，当t＞3时，若p＝3，则q取最小值，即q＝(3﹣t)2﹣t＋2＝t解得t＝4﹣(舍)或t＝4＋，综上所述，t＝3﹣或4＋．7.解：(1)存在，设“2倍点”的坐标为(x，2x)，则2x＝x²﹣8，解得：x＝﹣2或4，∴“2倍点”的坐标为(﹣2，﹣4)或(4，8)；(2)①由题意可知，y＝ax2＋5x＋c与y＝x有且只有交点，则x＝ax2＋5x＋c，整理得：ax2＋4x＋c＝0，则该方程有两个相同的实数根，即Δ＝16﹣4ac＝0，∴ac＝4，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜4；②如图，过点E作EF⊥OM于点F，由根与系数的关系可知，ax2＋4x＋c＝0，，又∵两个根相等，∴，∴点E的坐标为(，)，∴EF＝OF＝，由①可知，a＝，则c＝，∴y＝ax2＋5x＋c可以写成y＝ax2＋5x＋，令y＝0，则ax2＋5x＋＝0，由求根公式可得，x＝，解得：，，∴点M的坐标为(，0)，∴OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝，∴MF＝EF，∵∠EFM＝90°，∴∠EMN＝45°．8.解：(1)∵y＝﹣x＋3，∴y＋x＝3，∴①不是“好点”的函数，∵y＝，x＞0，∴xy＝3＞0∴x＋y≠0，∴②不是“好点”的函数，∵，∴x2＋3x＋1＝0，∴Δ＝32﹣4×1×1＞0，∴方程组有解，∴③是“好点”的函数，故答案为：③；(2)∵，x＜0，∴，∴A(﹣2，2)，如图，当△ABC为等腰三角形时，AB＝AC＝2或BA＝BC，当AB＝AC时，∵y＝﹣x，∴B(x，﹣x)，∴(x＋2)2＋(﹣x﹣2)2＝22，∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣＋2，∴(﹣2)k＋3＝﹣＋2，∴k＝﹣2，当x＝﹣﹣2时，y＝＋2，∴(﹣﹣2)k＋3＝＋2，∴k＝﹣﹣2，当AB＝BC时，点B(﹣1，1)，∴﹣k＋3＝1，∴k＝2，综上所述：k＝±(﹣2)或k＝2；(3)设翻折后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x＋k，∵y＝x2＋2x的图像上有两个“好点”：(0，0)和(﹣3，0)，当y＝﹣x2﹣2x＋k上有一个“好点”时，把y＝﹣x代入得，﹣x＝﹣x2﹣2x＋k，化简整理得，x2＋x﹣k＝0，∵Δ＝1＋4k＝0，∴k＝﹣，∴y＝﹣x2﹣2x﹣，由得，2y＝﹣，∴y＝﹣，∴m＝﹣．当(0，0)在y＝﹣x2﹣2x＋k上时，此时﹣x2﹣2x＝﹣x，x＝0或x＝﹣1，这时也有三个“好点”：(﹣3，﹣3)，(0，0)，(﹣1﹣1)，∴m＝﹣或0．