2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形交点综合问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形交点综合问题》强化练习(含答案)，共19页。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形交点综合问题》强化练习1.已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2＋bx＋m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．(1)求b的值；(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．              2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx＋m(|k|<)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH＋GK为定值．             3.如图，已知二次函数y＝﹣x2＋mx＋m＋的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，﹣)，P是抛物线在直线AC上方图象上一动点．(1)求二次函数的表达式；(2)求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．              4.在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x＋6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．(1)求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；(2)现有二次函数y＝x2﹣8x＋c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；(3)在(2)的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．                        5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．(1)抛物线的对称轴为直线x＝　 　；(用含字母a的代数式表示)(2)若AB＝2，求二次函数的表达式；(3)已知点P(a＋4，1)，Q(0，2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．                        6.如图，已知二次函数y＝x2＋2x＋c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集；(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t＋1)，且线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．                  7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．(1)当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 　   　．(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．                      8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点为顶点的二次函数表达式；(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．     
参考答案1.解：(1)∵已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4；(2)如图1：①令x2＋bx＋m＝0，解得x＝2﹣或x＝2＋，∵M在N的左侧，∴M(2﹣，0)，N(2＋，0)，∴MN＝2，MN的中点坐标为(2，0)，∵△MNP为直角三角形，∴＝，解得m＝0(舍)或m＝﹣1；②∵m＝﹣1，∴y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)，令x2﹣4x﹣1＝﹣4，解得x＝1或x＝3，∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)与直线y＝﹣4的交点为(1，﹣4)，(3，﹣4)，∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)，当﹣x2＋4x＋1＝﹣4时，解得x＝5(舍)或x＝﹣1，∴抛物线y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)与直线y＝﹣4的交点为(﹣1，﹣4)，∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2＋时，﹣4≤y＜0；(3)y＝x2﹣4x＋m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)，如图2，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)，当x＝5时，y＝1，∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)与线段AB有一个交点，∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；如图3，当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)经过点(0，﹣1)时，m＝﹣1，此时图象C与线段AB有三个公共点，∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；  如图4，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点(0，﹣1)时，m＝1，此时图象C与线段AB有两个公共点，当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，解得m＝3，此时图象C与线段AB有一个公共点，∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点． 2.解：(1)设二次函数表达式为：y＝ax2＋bx＋3，将A(1，0)、B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3得：，解得，∴抛物线的函数表达式为：，又∵＝，＝，∴顶点为D；(2)依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．①当△EMN∽△OBC时，∴，解得t＝；②当△EMN∽△OCB时，∴，解得t＝；综上所述，当t=或t=时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；(3)∵点关于点D的对称点为点G，∴，∵直线l：y＝kx＋m|k|<与抛物线只有一个公共点，∴只有一个实数解，∴Δ＝0，即：，解得：，利用待定系数法可得直线GA的解析式为：y=﹣x+，直线GB的解析式为：y=x﹣9，联立，结合已知，解得：xH＝，同理可得：xK＝，则：GH＝＝，GK＝＝×，∴GH＋GK＝＋×＝，∴GH＋GK的值为．3.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋mx＋m＋与y轴交于点C(0，﹣)，∴m＋＝﹣，解得：m＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；(2)在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，得：﹣x2﹣3x﹣＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵A(﹣5，0)，C(0，﹣)，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P(t，﹣t2﹣3t﹣)，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H(t，﹣t﹣)，∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣(﹣t﹣)＝﹣t2﹣t，∴S△PAC＝S△PAH＋S△PCH＝•PH•(xP﹣xA)＋•PH•(xC﹣xP)＝•PH•(xC﹣xA)＝×(﹣t2﹣t)×[0﹣(﹣5)]＝t2﹣t＝﹣(t＋)2＋，∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，此时，点P的坐标为(﹣，)；(3)如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分(含点A、B)沿x轴向下翻折，得到图象G，∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝(x＋3)2＋2，顶点为(﹣3，2)，∴图象G的函数解析式为：y＝(x＋3)2﹣2，顶点坐标为(﹣3，﹣2)，∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，∴图象M的顶点坐标为(n，﹣n﹣)，∴图象M的函数解析式为：y＝(x﹣n)2﹣n﹣，当图象M经过点C(0，﹣)时，则：﹣＝(0﹣n)2﹣n﹣，解得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣(﹣≤x≤0)，点B(﹣1，0)运动的路径为直线y＝﹣x﹣，∴联立可得：，解得：，将代入y＝(x﹣n)2﹣n﹣，可得：(﹣1.6﹣n)2﹣n﹣＝，解得：n＝﹣或n＝(舍去)，∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2． 4.解：(1)∵，∴，∴函数y1和y2图象交点坐标(2，4)；y0关于x的函数关系式为y0＝ ；(2)∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，∴y0＝﹣x＋6(x ≥2)，又∵函数y＝x 2﹣8x＋c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，∴当x＜4时，y随x的增大而减小，∴2≤x ＜4；(3)①若函数y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6只有一个交点，且交点在2＜x ＜4范围内，则x 2﹣8x＋c＝﹣x＋6，即x 2﹣7x＋( c﹣6)＝0，∴Δ＝(﹣7)2﹣4( c﹣6)＝73﹣4c＝0，解得c＝ ，此时x1＝x2＝  ，符合2＜x ＜4，∴c＝ ；②若函数y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6有两个交点，其中一个在2＜x ＜4范围内，另一个在2＜x ＜4范围外，∴Δ＝73﹣4c＞0，解得c ＜ ，∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，又∵当2＜x ＜4时，y随x的增大而减小，若y＝x 2﹣8x＋c与y0＝﹣x＋6在2＜x ＜4内有一个交点，则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，∴，解得16＜c ＜18，又c ＜ ，∴16＜c ＜18，综上所述，c的取值范围是：c＝ 或16＜c ＜18．5.解：(1)∵y＝ax2﹣2a2x＋1，∴抛物线对称轴为直线x＝a．故答案为：a．(2)∵A，B关于抛物线对称轴对称，∴AB＝|2a|＝2，当a＞0时，a＝1，∴y＝x2﹣2x＋1，当a＜0时，a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x＋1．(3)将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x＋1得y＝2，∴点A坐标为(0，1)，当a＞0时，抛物线开口向上，点Q(0，2)在点A(0，1)上方，∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，∴点B坐标为(2a，1)，∴当a＋4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，解得a≤4，当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，当点P在抛物线内部时，满足题意，∴2a≤a＋4≤0，解得a≤﹣4，综上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．6.解：(1)设B(m，0)，则OB＝m，∵OC＝3OB，∴OC＝3m，C(0，﹣3m)，将B(m，0)，C(0，﹣3m)代入y＝x2＋2x＋c得：，解得(此时B不在x轴正半轴，舍去)或，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3；(2)在y＝x2＋2x﹣3中，令y＝0得x2＋2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A(﹣3，0)，由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2＋2x＋c≥kx＋b，∴不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集为x≤﹣3或x≥0；(3)设直线x＝2与抛物线y＝x2＋2x﹣3交于K，如图：由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2＋2x﹣3有且只有一个公共点，在y＝x2＋2x﹣3中，令x＝2得y＝22＋2×2﹣3＝5，∴2t＋1≤5，解得t≤2，答：线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，t的取值范围是t≤2．7.解：(1)a＝﹣时，y＝﹣x2﹣x＋∴对称轴为直线x＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x＋得，y＝8，∴顶点坐标为(﹣7，8)；(2)∵y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．∴对称轴为直线x＝1＋，∵y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2＝a(x﹣1)2﹣2(x﹣1)＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为(1，0)；故答案为：(1，0)；(3)由(2)知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1＋，分两种情况：①当a＜0时，1＋＜1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1＋＞1，i)当1＜1＋≤3时，即a≥，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10(a＋1)＋a＋2＝8，∴a＝1，此时二次函数的解析式为y＝x2﹣4x＋3；ii)当1＋＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；(4)分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2＝﹣3，ax2﹣2(a＋1)x＋a＋5＝0，Δ＝4(a＋1)2﹣4a(a＋5)＝0，∴a＝，当a＝时，x2﹣x＋＝0，解得：x1＝x2＝4(符合题意，如图1)，②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴0＜a＜；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．8.解：(1)当顶点为A时，设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋1，把B的坐标代入得，﹣3＝16a＋1，解得a＝﹣，故当A为顶点时的二次函数表达式为y＝﹣(x＋2)2＋1；当顶点为B时，设二次函数的解析式为y＝a(x﹣2)2﹣3，把A的坐标代入得，1＝16a﹣3，解得a＝，故当B为顶点时的二次函数表达式为y＝(x﹣2)2﹣3；(2)把(﹣2，1)，(2，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c中，得：，两式相减得﹣4＝4b，∴b＝﹣1；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点，∴此二次函数图象与x轴有两个交点．(3)∵b＝﹣1，∴y＝ax2﹣x＋c，∵经过A(﹣2，1)，∴4a＋2＋c＝1，∴c＝﹣1﹣4a，由题意得：am2﹣m＋c＝0，∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，△＝1﹣4a(﹣1﹣4a)＝1＋4a＋16a2，当a＞0时，则当x＝﹣1时，y＝a＋1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；当a＜0时，则当x＝﹣3时，y＝9a＋3﹣1﹣4a＝5a＋2＜0，解得a＜﹣．则a＜﹣．综上：a＞0或a＜﹣．