2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县高二上学期期中数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先将分式不等式化为整式不等式，再解一元二次不等式即可.

【详解】由得，

解得：或，

故不等式的解集是.

故选：A

2．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ）

A．数列，，，…，…为等差数列

B．数列，，，…，，…为等差数列

C．数列为等差数列

D．数列为等差数列

【答案】C

【分析】利用等差数列的定义判断即可.

【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；

B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；

C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；

D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.

故选：C.

3．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由不等式的性质、作差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】因为，所以，故A错误，B正确；

因为，所以不成立，故C错误；

，因为，所以，即，所以成立，故D错误.

故选：B

4．下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于B选项，成立的条件为，故错误；

对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于，故，正确.

故选：D

5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则等于．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由，求出三个角，进而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出结果.

【详解】因为在中，，

所以，，，

由正弦定理可得：.

故选A

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

6．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ）

A．4 B．7 C．16 D．31

【答案】B

【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案.

【详解】由题意，，，，

解下第4个圆环，则，即，

而，则，

故选：B.

7．已知x，y，，且，，，则a，b，c三个数（    ）

A．都小于 B．至少有一个不小于

C．都大于 D．至少有一个不大于

【答案】B

【分析】应用反证法，假设a，b，c三个数都小于，利用得到矛盾结论，即可确定答案.

【详解】若a，b，c三个数都小于，

则，即，

显然不等式不成立，

所以a，b，c三个数至少有一个不小于，排除A，而C、D不一定成立.

故选：B

8．设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ）

A．11或12 B．12 C．13 D．12或13

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，

则有，解得，

所以，

令，则，

又，所以当或时，取最小值.

故选：D.

9．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用先求出，然后计算出结果.

【详解】根据题意，当时，,,

故当时，,

数列是等比数列,

则，故,

解得,

故选.

【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

10．将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的

【答案】A

【分析】不妨设为斜边，则，各边增加1之后，为三边中最长的边，所对角为新三角形的最大角，设新三角形最大角为，计算，分析正负，即得解.

【详解】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故，

各边增加1，可得三边长为：，

此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，

不妨设新三角形最大角为，

故，

由于，，为三角形的三条边，故，

，又为锐角，

因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.

故选：A

11．若实数（），则的最小值为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】根据题意化简得到，且，进而得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，且，

所以，且，

所以，

当且仅当且，即，时，等号成立，

所以的最小值为，

故选：A．

12．某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在中利用正弦定理可得，再根据可得，进而求得即可

【详解】如下图，在中，，由正弦定理可得，

所以，

从而，

故，

故选：D.

二、填空题

13．已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则___________.

【答案】##1.5

【分析】根据等差、等比中项即可代入求值.

【详解】由等差、等比中项可得，所以，

故答案为：

14．设实数，满足约束条件则的最大值为___________.

【答案】3

【分析】根据不等式组画出可行域，然后利用的几何意义求最值即可.

【详解】根据不等式画出可行域，如下所示：

设，整理可得，所以表示直线过可行域上一点时的纵截距，由图可知，当直线过点时，纵截距最大，

联立，解得，所以，代入可得.

故答案为：3.

15．已知二次函数，且恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系即可求解.

【详解】由恰有3个整数解，可确定三个整数解，

不妨设三个整数解分别为1，2，3，

则的解可以为，

故是的两个根，

故可得，所以可得，

不妨令，则，故，

故答案为：（答案不唯一）

16．若数列的前n项和为，若，则正整数n的值为______．

【答案】4

【分析】利用裂项相消法求出，根据即可求出n的值.

【详解】,

，

，

.

故答案为：4.

三、解答题

17．已知是等差数列，，.

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)若等比数列满足，，求的通项公式.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据条件列出方程求出公差即可得解；

（2）根据条件列出方程求出公比，即可得出通项公式.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则.

∴，

.

（2）设等比数列的公比为，

由，，可得，

∴的通项公式为.

18．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.

(1)求A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；

（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.

【详解】（1）因为B，A，C成等差数列，所以，所以.

（2）因为，，由余弦定理可得：；

又的面积为，所以，所以，

所以,

所以周长为.

19．已知.

(1)求ab的最大值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；

（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以ab的最大值为.

（2）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求的面积；

(2)若，求b.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由余弦定理及已知可得，结合求，进而求，应用三角形面积公式求的面积；

（2）由正弦定理有，结合已知即可求b.

【详解】（1）由余弦定理得，

∵，

∴，则，又，则，

∴，则.

（2）由正弦定理得，又，

则，则，

∴.

21．已知，.

（1）若，解不等式；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）时原不等式化为，即可求解；

（2）原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论即可求解.

【详解】（1）当，不等式即，即，

解得，或，

故不等式的解集为或.

（2）由题意可得恒成立，

当时，显然不满足条件，

∴.

解得，

故的范围为.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

22．已知数列中，，.

(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；

(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.

(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.

【详解】（1）由，可得，即

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以

（2）不等式对于恒成立

即对于恒成立

即对于恒成立

设，

由

当时，，即

即

当时，，即

即

所以最大，

所以，故的最小值为