2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．不等式的解集为（    ）

A． B．（－4，1）

C．（－1，4） D．

【答案】C

【分析】直接用因式分解求得解集即可.

【详解】因为不等式可化为:

解得:

所以解集为:.

故选:C.

2．已知是等差数列，，，则的公差等于（    ）

A．3 B．4 C．-3 D．-4

【答案】C

【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．

【详解】，，

则的公差，

故选：C

3．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，，即，可得，

所以，故A，B错误；

由，可得，，则，故C错误；

由，可得，故D正确．

故选：D.

4．若，则有（    ）

A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2

【答案】B

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】解：∵，

∴，

当且仅当，时取等号．

因此的最小值为2．

故选：B．

5．下列不等式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对AD，举反例判断即可，对BC，根据基本不等式取相等的条件逐个选项判断即可.

【详解】对A，当时，，故A错误；

对B，因为，当且仅当，即时取等号，但题设，故B错误；

对C，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，故成立，故C正确；

对D，当时，，故D错误；

故选：C

6．在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ）

A．无解 B．两解

C．一解 D．解的个数不能确定

【答案】C

【分析】根据正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可得出结论.

【详解】由正弦定理，得，

得，

因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.

故选：C.

7．在△ABC中，若三边之比，则等于（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.

【详解】根据正弦定理可得.

故选：B.

8．等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．

A．27 B．45 C．18 D．36

【答案】B

【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.

【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，

所以，所以，

故选：B．

9．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.

【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．

故选：D．

10．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项和求和公式得解.

【详解】解：由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，

所以第26天屠的肉的两数为，

所以最后5天屠的肉的总两数为.

故选：C

11．东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在A点测得塔底在北偏东的点D处，塔顶C的仰角为.在A的正东方向且距D点的B点测得塔底在北偏西，则塔的高度约为（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在△ABD中应用正弦定理求得，再根据且即可求结果.

【详解】由题设，，，

所以，则，

又，则，故m.

故选：C

12．若关于x的不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.

【详解】由，

当时，不等式的解集为空集，不符合题意；

当时，不等式的解集为：，

要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，

只需满足，即，

当时，不等式的解集为：，

要想关于x的不等式的解集中恰有三个整数，

只需满足，即,

综上所述：，

故选：B

二、填空题

13．在正项等比数列中，，则______．

【答案】2

【分析】依据等比数列的性质和对数运算规则即可解决．

【详解】在正项等比数列中，，

所以，

所以，，

．

故答案为：2

14．若变量x，y满足约束条件，则2x＋y的最大值为       ．

【答案】

【详解】试题分析：， ③，①+③得，即的最大值为，故答案为.

【解析】不等式的性质.

15．已知，记，则与的大小关系为______.

【答案】

【分析】计算，得到答案.

【详解】，则，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了作差法比较大小，意在考查学生的计算能力.

16．已知数列的前n项和满足，则数列的前2022项的和为______．

【答案】

【分析】利用求得，再结合裂项求和法，即可求得结果.

【详解】当时，，又满足，故，

则数列的前2022项的和

.

故答案为：.

三、解答题

17．已知：等差数列中，，，公差．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和的最大值及相应的n的值．

【答案】(1)

(2)当n＝10或11时，最大值55．

【分析】（1）由等差数列的通项公式求解即可；

（2）先求出，再由二次函数的性质求解即可

【详解】（1）∵为等差数列，

∴．

∴

解得或

因为，

所以，

故解得

∴．

（2）∵，

又，函数图像的对称轴为直线，

故当n＝10或11时，取得最大值，其最大值为55．

18．己知x，y都是正实数，

(1)若，求的最小值．

(2)若，求的最大值；

【答案】(1)9；

(2)6.

【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；

（2）直接利用基本不等式求解.

【详解】（1）.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为9.

（2）.

当且仅当时等号成立.

所以的最大值为6.

19．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．

(1)求角B的大小；

(2)若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)；

(2)3.

【分析】(1)根据正弦定理可得，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；

(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

∵，代入化简得，

∵，∴，

∴，又显然，即，

∴，又∵，∴.

（2）∵，由，得．

在△ABC中，由余弦定理，得

∴，

∴，∴△ABC的周长为3．

20．请解答下列问题：

(1)若关于的不等式的解集为或，求的值.

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）不等式为，即，讨论，，，，由一元二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，

所以和为方程的两根，

所以，解得；

（2）不等式，

即，即，

由已知，方程的根为，，

①当时，，原不等式的解集为；

②当时，，原不等式的解集为；

③当时，，原不等式的解集为；

④当时，，原不等式的解集为．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

21．已知的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)设为边上的中点，点在边上，满足，且，四边形的面积为，求线段的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角化简所给式子，再借助运用两角和的正弦公式化简即可得到答案.

（2）由（1）的结论和三角形内角和可得角的大小，再由正弦定理可表示出和中的边长，进而求出两个三角形的面积，再由四边形的面积等于两个三角形的面积之差可求出的值，再由余弦定理可得线段的长．

【详解】（1）证明：， 由正弦定理得，

又，

，

即，

，

，即，或，即（舍），

故：证得．

（2），   ，，

D为BC的中点，   ，，

，，

，

解得，，     ，，

在中，由余弦定理可得：

，

故：线段CE的长为．

22．设是递增的等差数列，是等比数列，已知，，，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和；

(3)设，记数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）设数列的公差为，的公比为，依题意得到方程组，解得、，从而计算可得；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；

（3）由（1）可得，利用分组求和及等比数列求和公式计算可得.

【详解】（1）解：设数列的公差为，的公比为，

因为，，，，所以，所以，

则，解得或（舍去），

所以，所以，；

（2）解：由（1）可得，

所以

.

（3）证明：由（1）可得，

所以

.