2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A．2 B．-2 C．8 D．-8

【答案】A

【分析】根据导数的概念理解处理．

【详解】由题意可得.

故选：A．

2．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用导数求瞬时速度即可

【详解】∵，

∴

故选：D

【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.

3．复数，若为纯虚数，则（　　）

A．-i B．7i C．-5i D．5i

【答案】B

【分析】化简得，由得解.

【详解】由题意得，

因为为纯虚数，所以，

所以．

故选：B．

4．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】根据函数图象的特征，判断函数的单调性，进而判断导数的变化情况，即可得答案．

【详解】解：由函数图象可知，当时，函数匀速递增，

故是一个大于的常数，

当时，函数递减，且递减幅度越来越快，

，且单调递减，

则，

故选：B．

5．“所有的倍数都是的倍数，某奇数是的倍数，故该奇数是的倍数.”上述推理

A．大前提错误 B．小前提错误

C．结论错误 D．正确

【答案】D

【详解】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．

详解：∵所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，

大前提：所有9的倍数都是3的倍数，

小前提：某奇数是9的倍数，

结论：故某奇数是3的倍数，

∴这个推理是正确的，

故选D．

点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.

6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（    ）

A．15 B．18 C．20 D．21

【答案】D

【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律，结合等差数列前n项求和公式计算得出结果.

【详解】根据题意，设各层球的个数构成数列，

由题意可知，，

则有，

故第六层球的个数，

故选：D.

7．复数满足，i为虚数单位，则复数（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】设，代入等式中解出即可.

【详解】设，则，

，

则，解得，，

所以或.

故选：C

8．已知函数，则函数在上的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】求导确定函数在上的单调性，求出最小值即可.

【详解】，当时，，则在上单调递增，

则在上的最小值为.

故选：A.

9．甲，乙，丙三名员工在参加了公司的某项技能比赛后，都知道了自己和他人的名次（无并列名次），随后甲，乙，丙三人一起到办公室告诉主管比赛的成绩，甲说：我不是第1名；乙说：甲没说谎；丙说：我不是第3名．待公司公布了三人的名次后，主管发现：乙说了假话，丙说了真话，则甲，乙，丙的比赛名次依次为（    ）

A．1，3，2 B．1，2，3 C．2，1，3 D．2，3，1

【答案】A

【分析】根据题意推断每个人说话的真假从而得出结论.

【详解】乙说：甲没说谎，又主管发现乙说了假话，所以甲是说谎者，即甲是第1名.

因为三人无并列名次，丙说：我不是第3名，又主管发现丙说了真话，所以丙是第2名，从而乙是第3名.

故选：A.

10．已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．|

【答案】B

【分析】根据题意将问题转化为函数的图象与直线有3个不同的交点，然后对求导，求出单调区间和极值，画出图象可得答案.

【详解】因为关于x的方程有三个不同的实数解，

所以函数的图象与直线有3个不同的交点，

由，得，

当或时，，当时，，

所以在和上递增，在上递减，

所以当时，取得极小值，

函数图象如图所示

由图象可知当时，两图象有3个不同的交点，

所以实数m的取值范围是，

故选：B

11．已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.

【详解】令，，

则，

∵当时，，

即，在单调递减，

∴，

∴，

即，

∴.

故选：D.

12．连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若的图象是一条连续不断的曲线，，的导函数都存在，且的导函数也都存在．若，使得，且在的左、右附近，异号，则称点为曲线的拐点，根据上述定义，若是函数唯一的拐点，则实数k的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，无变号零点，利用导数判断的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.

【详解】，，

，

因为是唯一的拐点，所以是唯一的变号零点，

即无变号零点，即无变号零点，

设，，，，，，

所以，时，，当时，，，

故，满足题意.

故选：B．

二、填空题

13．已知函数及其导函数满足，则            .

【答案】/

【分析】在等式两边求导，再令，可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】因为，则，所以，，

解得.

故答案为：.

14．在平面坐标系中，点到直线的距离，类比可得，在空间直角坐标系中，点到平面x＋2y＋2z－4＝0的距离为      ．

【答案】

【分析】由题意类比空间中的点到平面的距离公式，然后利用公式求解即可

【详解】在平面直角坐标系中，点到直线的距离，

则类比在空间中点到平面的距离为

,

所以点到平面的距离为

，

故答案为：

15．已知函数的导数的图象如图所示，给出以下关于函数的结论：

①在区间上为严格增函数；

②在区间上为严格减函数；

③x＝－3是极小值点；

④x＝4是极大值点．

其中结论正确的序号是      ．

【答案】④

【分析】①由导数的正负判断；②由导数的正负判断；③由极小值点的定义判断；④由极大值点的定义判断.

【详解】当时，递增，当时， 递减，

由的图象知：

①在区间上不单调，故错误；

②在区间上为严格增函数，故错误；

③由极小值点的定义知：x＝－3不是极小值点，故错误；

④由极小值点的定义知：x＝4是极大值点，故正确．

故答案为：④

16．若函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】对函数求导后，由，求出方程的根，由题意可知方程的根在上，从而可求出a的取值范围

【详解】由，得，

令，得或，

当，即时，，则无极值，

当时，当或时，，当时，，所以的极值点为，，

当时，当或时，，当时，，所以的极值点为，，

因为函数在区间上存在极值，

所以或，

所以或，

即实数a的取值范围是.

故答案为：

三、解答题

17．已知复数，且为实数．

(1)求的值；

(2)设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的分类求解，进而由模长公式即可求解，

（2）根据复数对应点的象限的特征即可求解.

【详解】（1）为实数，

，即．

所以；

（2），

复数在复平面内对应的点位于第四象限，

，解得．

的取值范围是．

18．已知是函数的一个极值点.

(1)求实数的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)3

(2)，

【分析】（1）先求出函数的导数，根据极值点可得导数的零点，从而可求实数的值；

（2）由（1）可得函数的单调性，从而可求最值.

【详解】（1），

是的一个极值点,.

，，

此时，

令，解剧或，

令，解得，

故为的极值点，故.

（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，

故在上为增函数，在上为减函数，

.

又.

19．（1）已知，，若，，且，用分析法证明：；

（2）用反证法证明：若为上的增函数，当时，．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用分析法，结合基本不等式的性质进行证明；

（2）利用反证法，结合反证法的步骤，构造函数进行证明即可．

【详解】（1）分析法：要证明；

即证明，

即证明，

即

即证明，

，且，

成立，

即；

（2）反证法：假设结论不成立，即，

若为上的增函数，

在上为增函数，

则，即，与已知矛盾，

即假设不成立，则原命题成立．

20．已知函数．

(1)若a＝2，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上单调递增，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解；

（2）根据在上单调递增，由在上恒成立求解.

【详解】（1）当时，，

则，

则，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

（2），

因为在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

则 在上恒成立，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是 .

21．已知函数．

(1)判断函数的单调性；

(2)证明：当x＞0时，．

【答案】(1)在单调增，在上单调减

(2)证明见解析

【分析】（1）通过求导，判断导数的正负即可得到函数的单调性；

（2）令，则要证，即证，只要证，求出相应的最值即可得证.

【详解】（1）

定义域为且

令可得

当时，

当时，

在单调增，在上单调减

（2）又（1）可得

令

，又x＞0，可得

在单调减，在上单调增

可得

则

当x＞0时，．

22．已知函数，．

(1)求函数的极值；

(2)证明：当时，函数有且只有一个零点，且．（提示：）

【答案】(1)时无极值；时，极小值是，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）求f(x)导数，讨论和时， f(x)的单调性即可求函数的极值；

（2）当 时， ，求导，利用放缩法进行证明当 时，在上单调递减，结合零点存在定理，进而得证．

【详解】（1）f(x)的定义域是，求导得，

当，，函数f(x)没有极值点；

当时，令，得

在(0，a)上，，f(x)单调递减，在上，，f(x)单调递增，

∴函数f(x)有极小值点，f(x)极小值为，无极大值；

（2）当时，函数，

，

当时，，

所以，所以在上单调递减，

又因为

所以根据零点存在定理函数有且只有一个零点，且.