专题4：函数的性质【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基计划校考讲义

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1、映射
对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。
如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射.
如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射.
如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射.
如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作
2、函数方程问题
（1）代换法（或换元法）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数
例.设求的解. （【解析】分别用带入）
（2）待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.
例.已知是一次函数，且，求. （【解析】设求解）
3、函数的性质
设函数的定义域为
单调性：
传统定义：在区间上，若，如果，则在区间递增；如果，则在区间递减；
导数定义：在区间上，如果，则在区间递增；如果
，则在区间递减；
注意：
2.复合函数的单调性：
增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数
增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数
对于取值恒为非负数的函数
增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数
增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数
若、都是增（减）函数，则为增函数；
若、一个增函数，一个减函数，则为减函数。简称“同增异减”
3.奇偶性：
若函数满足（），则叫做奇函数，其图象关于原点对称；
若函数满足（），则叫做偶函数，其图象关于轴对称；
4.周期性：
（1）一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期。
（2）对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。
证明：，所以函数的一个周期为。
（3）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。
（4）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。
5．对称性（分函数图像的自对称及函数图像的互对称）
（1）函数满足时，函数的图像关于直线对称。特别的，时，该函数为偶函数。
证明：在函数上任取一点，则，点关于直线的对称点为。，故点也在函数的图像上。由于点是图像上任意一点，因此，函数的图像关于直线对称。
函数满足时，函数的图像关于点对称。特别地，当时，函数为奇函数。
证明：在函数上任取一点，则，点关于点的对称点为
。，即点在的图像上。由于点是函数上任意一点，因此，函数关于点对称。
函数的图像与的图像关于直线对称。
证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称的点为。由于，故点在函数上。由于点是上任意一点，因此与关于直线对称。
6．函数周期性和对称性之间的联系
设是定义在上的函数，其图像关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于直线和对称，故，从而
。
将上式的以代换，得。
所以
即是上的周期函数，且是它的一个周期。
（2）设是定义在上的函数，其图像关于点中心对称，且其图像关于直线对称，则函数是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于点对称，故，关于直线对称，故
，从而有。
将上式中的以代换，得。
所以
，
即是上的周期函数，且是它的一个周期。
（3）设是定义在上的函数，其图像关于点和（）对称，则是周期函数，且是它的一个周期。
证明：关于点和（）对称，故，
，，从而有。
将上式中的由替换，得
所以，
即是周期函数，且是它的一个周期。
4．抽象函数问题的解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。
函数性质法
函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的。抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周围性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。
特殊化方法
①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将换成或将换成其他字母等；
②在求函数值时，可用特殊值代入
③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。
5．有界函数：
定义1：设为定义在上的函数，若存在常数、，使得对每一个有
（）
侧称为上的有上（下）界函数，称为为定义在上的上（下）界。
根据定义，在上的有上（下）界，意味着值域是一个有上下界的数集。又若为在上的上（下）界，则任何大于（小于）的数也是在上的上（下）界。
定义2：设为定义在上的函数，若存在正数，使得对每一个都有
，则称为上的有界函数。
根据定义，在上的有界，意味着值域是一有界集。又按定义不难验证：在上的有界的充要条件是在上的既有上界又有下界。的几何意义是：若在上的有界函数，则的图象完全落在直线与之间。
6、函数的迭代
一个函数的自复合，叫做迭代。我们用表示的次迭代函数。
即
如果 则称有迭代周期
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若的图像关于直线对称，则一定有.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。
迭代周期是3；
迭代周期是4；
7、凹凸函数
设为定义在区间上的函数，若对上任意两点、和实数总有则称为上的凸函数（有时也称下凸函数）。反之，如果总有不等式则称则称为上的凹函数（有时也称上凸函数）。
特别地，时，有（凸函数）或（凹函数）。
如何判断一个函数是凸函数（凹函数），除了定义以外，还有下面的定理：
设为上二阶可导函数，则为上的凸（凹）函数的充要条件是
凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若为上的凸函数，则对任意
，且则

二、热身练习
1、（复旦）若要求关于的函数的定义域是则、的取值范围是（ ）

2、（复旦）某校有一个班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
是的函数 是的函数 是的函数 是的函数
3、（复旦）设是定义在实数集上的周期为的周期函数，且是偶函数。已知当时，则当时，的表达式为（ ）

4、（复旦）设有三个函数，第一个是，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线对称，则第三个函数是（ ）

高考真题讲解
例1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数12理数11】若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
例3．【2020年高考山东卷6】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
例4．【2020年高考山东海南卷8】若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四、高考模拟训练
1．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；②对于任意，；③当时，；④．若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2021·江西·高三月考（理））已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·四川资阳·高三月考（理））若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
五、强基校考真题讲解
例1.（2021年上海交大强基计划）实数a，b 1，满足lga  b  lg a  lg b ，求lga 1  lg b 1 的值．
例2.(2021年中科大强基计划)已知正实数a ，二次函数 f x   x 1，若任意长度为 1 的区间上， 存在两点函数值之差的绝对值不小于 1，则a 的最小值为________．
例3（2021年北大强基计划）若，为非负实数，且，则的最小值为
例4（交大）函数的最大值为最小值为求实数、.
例5.（复旦）设且下列不等式中成立的是（ ）
根据有 XIAN 数
①③ ①④ ②③ ②④
例6.（清华）求证：
例7.（交大）已知函数对于定义若则.
例8.（北大）求
例9、（交大）函数有且
求满足的关系；
证明：存在这样的使
六、校考强化训练
（A组）
1、（复旦）若存在使对任意（为函数的定义域），都有
则称函数有界。问函数在上是否有界？
2、（复旦）若且则
不是与无关的常数
3、（复旦）定义在上的函数满足，
则
4、设
且，则的值有（ ）

5、（2000交大）求函数的反函数
（模拟题）求函数在区间上的值域.
7、（模拟题）已知是定义在上的函数，且
（1）试证明是周期函数；
（2）若试求
8、（模拟题）已知是一次函数，且.求
9、（模拟题）已知实数满足求.
10、（2001交大）已知函数的最小值是，试着写出的解析表达式。
（B组）
1、（交大）已知函数且没有实数根.那么是否有实数根？并证明你的结论.
（模拟题）已知函数
（1）函数的图像与直线均无公共点，求证:
（2）若且，又时，恒有，求的解析式.
3、（模拟题）已知且当时有.求
4、（模拟题）已知是定义在上的不恒为的函数，且对于任意的，有
.
（1）求的值.
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.
（3）若，求数列的前项和.