2022年高考数学强基计划讲义 专题1：集合与简易逻辑【原卷及解析版】

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突出对思维能力的考查。
例1.【2020年武汉大学9】设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A. 32B. 56C. 72D. 84
例2.【2020 年清华大学】已知集合，且，则有序集合组的个数是（ ）．
A．B．C．D．
例3.【北大】已知求证：
2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
例4.【北大】10、已知实系数二次函数与和有两重根，有两相异实根，求证：没有实根.
二、应试和准备策略
注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。
注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。
适当做近几年的自主招生的真题
俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的强基计划和高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。
三、知识要点拓展
知识补充：容斥原理
基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
二．抽 屉 原 理
抽屉原理的基本形式
定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

例1． 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于.
三、针对性训练
1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。
2．n元集合具有多少个不同的不交子集对？
3.以某些整数为元素的集合具有下列性质：①中的元素有正数，有负数；②中的元素有奇数,有偶数；③－1；④若，∈,则＋∈。试判断实数0和2与集合的关系。
4.若为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则
证明：三个集合中至少有两个相等。
三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
5.设，且A具有下列性质：（1）对任意，恒有；（2）。
试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，且为定值.
6．(江苏五校)已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l(A)表示ai＋aj(1≤i＜j≤n)的所有不同值的个数．
（1）已知集合P＝{2，4，6，8}，Q＝{2，4，8，16}，分别求l(P)，l(Q)；
（2）若集合A＝{2，4，8，…，2n}，求证：l(A)＝eq \F(n(n－1),2)；
（3）求l(A)的最小值．
7．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．
（１）问存在多少个5元数组 使得；
（２）问存在多少个5元数组 使得；
（３）令，，，求证：．