专题14：概率统计【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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【2020中科大】已知为的排列，若且，则为顺序对，设为的顺序对的个数，则_______________．
2.【2021中科大】抛掷一个均匀的骰子次，记该过程中出现的最大数字为，则________．
二、知识要点拓展
一．随机事件的概率
1.随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母等来表示；
2.确定事件
（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。
3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。
►说明：使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。
二．互斥事件的概率
1.相关概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；
（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。
2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。
从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）。
对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。
►说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。
三．独立事件的概率
1.相关概念
（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。
（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。
2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：
（1）相互独立也是研究两个事件的关系；
（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；
（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。
►注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3.事件A与B的积记作A·B，A·B表示A与B同时发生。
当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别。·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=。
离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（）的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。
数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为
则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。
二项分布：
（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（其中）
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中
为参数，并记.
（2）二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：“”表示在第次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把次试验时事件发生记为，事不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.
我们称服从几何分布，并记，其中
5.几何概型
（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
（2）在几何概型中，事件的概率的计算公式为：
．
（3）古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个．
（4）几何概型的两个特征：
①试验结果有无限多； ②每个结果的出现是等可能的．
事件可以理解为区域的某一子区域，事件的概率只与区域的度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关．
（5）解决几何概型的求概率问题
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
三、典例精讲
例1．（复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为。现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
例2．（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）。
（B） （C） （D）
例3．体育彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
例4．（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（B） （C） （D）
例5．（清华）系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为，，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。
例6．（清华）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次正面向上的概率为，
求；
写出的递推公式，并指出单调性；
是否存在？有何统计意义。
例7．（复旦）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
例8．（北大）已知基因型为AA、Aa、aa的比例为，且。
求子一代AA、Aa、aa的比例；
子二代与子一代比例是否相同？
四、真题训练
1.（复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1.将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为（ ）。
（A）0.271 （B）0.243 （C）0.1 （D）0.081
2.（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（B） （C） （D）
3.（复旦）复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是（ ）
（B） （C） （D）
4.（武大）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
则样本在上的频率为（ ）。
（B） （C） （D）
5.（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分到同一车间的概率是（ ）
（B） （C） （D）
6.（华南理工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三制胜赛，那么甲胜出的概率为 。
7.（同济）从1-100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是 。
8.（上海交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
9.（同济）从0,1,2，。。。9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是 （用分数给出答案）。
10.（南大）设是随机事件，且。则 。
11.（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：（1）任意一局甲胜的概率；（2）第局甲胜的概率。

12.（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中。
求箱子中两球都是红球的概率；
记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
13.（复旦），求：（1）有交点的概率；（2）求交点个数的数学期望。

五、强化训练
A组
1、（交大）6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。
2、（交大）甲乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的，乙厂生产的占；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%，若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 。
3、（科大）已知正方体各个面的中心，甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个，则构成两个三角形全等的概率是 。
4、（武大）某工厂新招了8名工人，其中有2名车工和3名钳工，现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为（ ）
5、（复旦）设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1：3。已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为。则从乙袋中摸到红球的概率为（ ）
（A）（B）（C）（D）
6、（复旦）随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是（ ）
（A）（B）（C）（D）
7、（复旦）在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）
（A）（B）（C）（D）
8、（武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中，
（1）求箱子中两球都是红球的概率；
（2）记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。
B组
1、（清华）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机、B影碟机、C线路、D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示。能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果。
求：（1）能听到立体声效果的概率；
（2）听不到声音的概率。
2、（浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：
第一局甲胜的概率；
第局甲胜的概率。
3、（清华）随机挑选一个三位数I。
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率。
4、（卓越）一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为。
求的数学期望；
设，求；
证明：的数学期望。
5、（清华特色考试）在蒲丰投针试验中，平行线间距为，针长为，试求针与线相交概率与的关系，并求什么情况下概率是。

1
2
3
…
…


…
…
组距
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
2
3
4
5
4
2