2022年高考数学强基计划讲义 专题2：均值、柯西、排序不等式【原卷及解析版】

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考查思维
【2021北大强基】设正整数，均不大于2021，且．则这样的数组个数为________．
答案：3449
考查技巧
【2020清华强基】使得成立的最小正整数等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
知识要点拓展：
1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：
①，当且仅当时等号成立。
②，当且仅当时等号成立。
2.最值定理：若，则：
①如果P是定值, 那么当时，S的值最小；
②如果S是定值, 那么当时，P的值最大。
注意：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
均值不等式：设是个正实数，记，，
，，则，其中等号成立的条件是。分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2.柯西不等式：
柯西不等式的二维形式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式：设，是实数，则
，当且仅当
或存在一个数，使得时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论：
当时，柯西不等式即为，若（），则，此即上面提到的平方平均算术平均。
当（）时，有。
当（），则。
4.排序不等式（又称排序定理）：
给定两组实数；．如果；．那么

（反序和） （乱序和） （同序和）
其中是的一个排列．
该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值．
三、竞赛题目精练
【江苏竞赛】 设实数，满足. 证明：．
证明：设f (x)  2x+csx，欲证不等式转化为f (b) ≤ f (a).
由于f ′(x)  2sinx，f ″(x)   2csx.
当x∈(0,)时，f ″(x)   2csx＜0，当x∈(,1)时，f ″(x)   2csx＞0，
所以f ′(x)在区间[0,]上单调减，在区间[,1]上单调增.
因为f ′(0)  f ′(1)  2和f ′()  2＜0，所以存在和，0＜＜＜＜1，使得f ′()  f ′()  0，f ′(x)＜0当且仅当x∈(,). 分
于是函数f (x)在区间[0,]和[,1]上单调增，在区间[,]上单调减.
因为f (0)  f ()  f (1)  1，故对于x∈[0,]有f (x)≥1，对于x∈[,1]有f (x)≤1. 特别地，f (b) ≤ 1 ≤ f (a). 分
四、典例精讲
例1.证明柯西不等式
►证法一：若，则柯西不等式
显然成立。
若不全为零，（），
令。
一方面，因
（*）
另一方面，由，恒成立
，此即柯西不等式。由(*)知等号成立的条件为（）。
►证法二：
将平面向量、空间向量推广到维向量。令，，
。，由于，
故

等号成立的条件是共线，即（）
►注：柯西不等式的证明方法很多，有十几种，以上两种方法是中学生比较容易接受的。
例2.证明：对任意实数a>1,b>1， 有 .
►分析：由对称性，容易算出当时等号成立，此时
►证明：
即
同理
两同向不等式相加得，时等号成立．
►说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性．
►链接：本题可以稍作引申：
当、、时，证明：
例3.设，那么的最小值是_____
►分析：本题取自人教社版课本的一个习题（第二册（上）），题中有两个变量a，b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和之和为，因式
►解：
，因此的最小值是4．
当时取得最小值．
►说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．
►链接：如果题目变为，求的最小值，你会做吗？
例4. 为正的常数，，，求的最小值.
►分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，可看作，如再能出现，则可用，注意到.
►解法一：用柯西不等式
，
因此，当且仅当，即时，取得最小值。
►解法二：用平均值不等式
，同时可以算得，当且仅当时，即时取得最小值。
►说明：解法一和解法二都作了凑配，凑配之后，才能用上相应的不等式。
例5. （2011复旦千分考）设是一个正整数，则函数在正实半轴上的最小值是（ ）。
（B） （C） （D）
►分析与解：
由个正实数的算术平均根≥几何平均数，即知：
，等号成立当且仅当时，
故选。
例6. （交大）若满足关系：，则 。
►分析与解：
由柯西不等式，，当时取等号，化简得。
例7. （2009南大）为内一点，它到三边的距离分别为，为的面积。求证：（这里分别表示的长）。
►分析与解：
如图2-1，易见。
由柯西不等式，
2-1
。
例8. （浙大）有小于1的正数，且。求证：
。
►分析与解：
解法一：由柯西不等式，，
注意到：
，而，（），
故。
从而，显然，故。
解法二：先证明一个局部不等式：（）（*）
事实上，（*），显然成立。
所以，当且仅当时等号成立。
例9. 设的三内角所对的边分别为，其周长为1.
求证：.
►分析：由问题的对称性，不妨设，三角形中大边对大角，于是有
（这种形式是题目所需要的）。这样既不改变问题的实质，又增加了已知条件：两组有序实数，及。这就为应用排序原理创设了很好的情境。
证法一：用排序原理。不妨设，于是有。由排序不等式（同序和大于或等于反序和），也就是，同理， ，相加得，不等式两边同加，并注意到，就得
证法二：比较法
，
因此。
►说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组
五、真题训练
（复旦）设满足，则的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（复旦）设实数，成等差数列，则下列一定成立的是（ ）
（B） （C） （D）
（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能取到的最小值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（复旦）给定正整数和正常数，对于满足不等式的所有等差数列和式的最大值为（ ）。
（B） （C） （D）
（交大）方程的两根满足，则 （）
（交大）已知，，则的最小值是 。
（交大）若且，则的最小值为 。
（交大），求的最小值。
（清华）已知，是的一个排列。求证。
（复旦）比较与的大小。
【参考答案】
A，故，
当时取等号。
D 显然同号，不妨设。取，知A错误。取，知BC不对。下证。
由题意，，而，故有，得证。
3.B 由柯西不等式，（均值不等式）
，当
时取等号。
4.A ，由柯西不等式
，故（当时取等号），从而的最大值是。
5.。由韦达定理知，故，
而，故，等号在时取到，即。
6. 由柯西不等式，，当且仅当时取等号。
7.9 由柯西不等式，当时取等号。
8.6 设，则，
故，即的最小值是6，当且仅当时取最小值。
9.由均值不等式，，得证。
10.分析与解：
解法一：先作差并化为同底，
，下面比较与的大小，
由均值不等式，
，
故。从而。
解法二：，而，所以，
所以。
注：此题的结论可推广为。