专题10：数列与极限【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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【2020武大6】 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
二、知识要点拓展
一．数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，那么就说数列以为极限.
注：不一定是中的项.
二．几个常用的极限：（1）（为常数）;
（2）
（3）（）.
（4）（，且）
（5）
三．数列极限的四则运算法则：设数列、，当,时：

（）
四．无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：．
五．常见的数列极限可以归纳为两大类:
第一类是两个关于自然数的多项式的商的极限:

当时,上述极限不存在.
第二类是关于的指数式的极限:

当或时,上述极限不存在.
特殊数列的极限：，
是常数）； （2） ；
（3）（，为常数）； （4） ．
下面证明第四个公式
证明：令，取自然对数得到，令，得，
由洛比达法则得，即
所以：，则，即．
另外，数列是单调递增的，理由如下：由个正实数的几何平均数它们的算术平均数）有，所以
。
夹逼定理：如果数列、以及满足下列条件：
从某项起，即当（其中），有（）；
且；
那么数列的极限也存在，且
三．分期付款问题：
分为两种类型：等额本金、等额本息。
等额本金是这样一种还款方式：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数额越来越少。
等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金还款月数）+（本金-已归还本金累计额）×每月利率。
等额本息是这样一种还款方式：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。
设贷款本金为，月利率为，还款月数为，则每月还款额计算公式为：。
三、例题精讲
例1．（复旦）设是的展开式中项的系数（），则极限（ ）
（A）15 （B）6 （C）17 （D）8
例2．（清华）的整数部分为，小数部分为。
求；
求；
求。
例3．（上海交大）如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，
直角顶点在曲线上。试求的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在。
例4．（上海交大）两人轮流掷一个骰子，第一次由先掷，若掷到一点，下次仍由掷；若掷不到一点，下次换掷。对同学同样适用该规则。如此依次投掷，记第次由掷的概率为。
求与的关系；
求。
例5．（北京理）已知数集具有性质；对任意
的，与两数中至少有一个属于.
（1）证明：，且；
（2）证明：当时，成等比数列.
例6．对于数列若存在常数，对任意的，恒有
则称数列为．
首项为1，公比为的等比数列是否为？请说明理由；
设是数列的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是 ②数列不是
B组：③数列是 ④数列不是
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3） 若数列、都是，证明：数列也是．
例7．（上海交大）求极限．
例8．（武大）设二次函数过点，且满足。数列满足。
确定的表达式；
证明：；
证明：。
五、真题训练
1.（复旦）设，则（ ）。
（A）2 （B） （C） （D）64
（同济）设、都是公差为2的等差数列，其首项满足：。设，则数列的通项 。
（复旦） 。
（复旦）设，则 。
5.（上海交大）数列中，
，此数列的通项公式为 。
（复旦）设，其中为整数，求时，的极限。
7.（复旦）一圆锥的地面半径为12，高为16，球内切于圆锥，球内切于圆锥侧面，与球外切，，依次类推。
求所有这些球的半径的通项公式；
所有这些球的体积分别为，求。
（同济）设数列中，，求。
（清华）设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下的三个三角形内切圆面积之和，求。
10.（上海交大）已知月利率为，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额关于的函数关系（贷款时间为2年）。