中考数学总复习第19讲 勾股定理难点解析与训练

第19讲  勾股定理

考点·方法·破译

1．会用勾股定理解决简单问题.

2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.

经典·考题·赏析

【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(    )

A．13             B．26                C．47                 D．94

【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C．

【变式题组】

01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.

03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是(   )

A．  B．  C．   D．7 

 【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.

【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，.

【变式题组】

01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(    )

A．  B．25   C．   D．35

02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，参考数据:＝1．4，＝1．7:＝2．2)

03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计)

【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是(    )

A．3cm    B．4cm    C．5cm    D．6cm

【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故选C

【变式题组】

01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．

02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC．

03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC．

【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C坐标.

【解法指导】求C点坐标需分类讨论.

(1)若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.

(2)若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心， AO的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.

(3)若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处.

【解】⑴若以O为顶点，OA为腰，如图设C(t，－2t)，则在Rt△COD中，

OC2＝OD2＋CD2   4＝t2＋(－2t)2  5t2＝4  t＝

∴C1(，），C2(，）

⑵若以A为顶点，AO为腰，如图，设C(t，－2t)，在Rt△ACE中

AC2＝CE2＋AE2  22＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝ ∴ C3(，)   ⑶若C为顶点，C在OA的中垂线上.∴C4(，1)

【变式题组】

01．若A（3，2），B为x轴上一点，O为坐标原点.若△AOB是等腰三角形.求B点坐标.

02．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B为y＝2x上一点，若△AOB为等腰三角形.求B点坐标.

03．如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为y＝2x上一点，若△AOB为直角三角形.求B点坐标.

【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.

问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).

模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；

(2)如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

【解】

(1)

(2)如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，

连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则△PRQ的周长最小，且此时△PRQ的周长为PR＋RQ＋QP＝P1P2．

连接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°

∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，

在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OP22，

∴P1P2＝

【变式题组】

01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.

⑴求该函数的解析式；

⑵O为坐标原点，设OA 、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.

03．(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.

【例6】求＋的最小值.

【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以，为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.

【解】如图，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一动点.设AE＝x.则BE＝8－x.∴CE＝，DE＝.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E，使CE＋DE值最小.根据线段公理，连接CD交AB于H，则CD为所求.作CF⊥DB交DB延长线于F.在Rt△CDF中，CD＝＝10.∴所求最小值为10.

【变式题组】

01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.

⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；

⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式＋的最小值

02．(咸宁)问题背景:

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；

思维拓展:

⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、a、a(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；

探索创新:

⑶若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积.

【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.

⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2 ＝ AM2＋BN2；

【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.

请你完成证明过程:

⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2＝AM2＋BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.

【解】(l)证明:将△ABM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.

∵△ACM≌△DCM ∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC

∵AC＝BC∴CD＝BC

∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4

在△DCN和△BCN中，

CD＝CB

∠3＝∠4    ∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DN

CN＝CN

∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2

⑵将△ACM沿直线CM对折，得△GCM，连接GN.

∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM

∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2

∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2

∴∠BCN＝∠CGN

在△BCN和△GCN中

CN＝CN

∠BCN＝∠CGN  ∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°，           GN＝BN

CB＝CG

∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2

【变式题组】

01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF2

02．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；

⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.

03．(台州)如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K.

⑴观察:①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK______MK(填“＞”、“＜”或“＝”).②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK______MK（只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK______MK，证明你所得到的结论.

⑶如果MK2＋CK2＝AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值.

演练巩固·反馈提高

01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为（     ）

A．  B．  C．  D．

02．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，则AD的长为(   )

A．4cm  B．5cm  C．6cm  D．7cm

03．(滨州)已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD为8，则边BC的长为(   )

A．21    B．15   C．6   D．21或9

04．在同一平面内把边BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC'，则CC'的长等于(    )

A．   B．  C．    D．

05．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为(    )

A．3:4:5   B．5:4:3    C．20:15:12  D．9:16:25

06．(山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为(     )

A．   B．    C．   D．2

07．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.

08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.

09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.

10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.

11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.

12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝，则该四边形的面积是_______.

13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.

14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.

15．如图，点A在反比例函数的图象上，OA＝4，AC⊥x轴，OA的中垂线交x轴于B．求△ABC的周长.

16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?

17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

18．如图A(3，4)，B(a，1)，AB＝5，C、D分别为x轴、y轴上的两动点.求四边形ABCD周长的最小值.

19．如图，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为三角形内一点，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．

培优升级•奥赛检测

01．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是(      )

A．②④   B．①④   C．②③  D．①③

02．(四川联赛试题)BD是△ABC的中线，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝(   )

A．   B．   C．   D．6

03．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为(x，y，z)，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为(    )

A．1个   B．2个    C．3个    D．4个

04．(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2

A．105.6   B．110.4    C．115.2   D．124.8

05．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(     )

A．CD、EF、GH  B．AB、CD、EF  C．AB、CD、GH  D．AB、EF、GH

06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于(     )

A．  B．  C．  D．

07．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____秒时，PA与腰垂直.

08．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.

09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求.S△DEF

11．如图①，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

⑴求点A、C的坐标；

⑵将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；

⑶在坐标平面内，是否存在点P(除点B外)，使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.

12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与B不重合)，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F.

⑴如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝_____°，猜想∠QFC＝_______°；

⑵如图l，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

⑶已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式.

13．一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为60km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h.在草地上行驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?

14．是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.