中考数学总复习第17讲 反比例函数的图象与性质难点解析与训练

 第17讲  反比例函数的图象与性质

考点·方法·破译

1．反比例函数的定义：形如（或，k≠0）,y叫做x的反比例函数.

2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y＝x或y＝－x轴对称，关于原点O成中心对称，当k＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，

3．反比例函数的性质：当k＞0时，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x增大而增大.

经典·考题·赏析

【例１】（西宁）已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（     ）

【解法指导】因为中，x＞0时y随x增大而增大，则－k＜0，k＞0，而一 次函数y＝kx－k中，k＞0，－k＜0，因而直线向右上方倾斜,与y轴交点在负半轴上，所以选A．

【变式题组】

01．已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（     ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限    

02．（龙岩）函数y＝x＋m与（m≠0）在同一象限内的图象可以是（    

03．（凉山州）若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（     ）

04．函数y1＝x(x≥0),(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点为（2，2）；②当x＝1时，BC＝3；③当0＜x＜2时，y2＞y1;④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是         .

【例2】如图，A、B分别是反比例函数，图象上的点，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，△BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2－S1＝         .

【解法指导】在反比例函数中，k的几何意义为：

，或.

题中

【变式题组】

01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数过点A，则k的值是（     ）

A．2     B．－2     C．4     D．－4    

02．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（     ）

A．逐渐增大     B．不变     C．逐渐减小     D．先增大后减小    

03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若＝1，则S1＋S2＝        .

04．（河池）如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（     ）

A．S＝2     B．S＝4     C．2＜S＜4     D．S＞4  

05．（泰安）如图，双曲线（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（    ）

A．     B．     C．     D．  

【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点

⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

⑵求△AOB的面积.

【解法指导】利用割补法求图形面积.

解：⑴∵点A（－2，1）在反比例函数的图象上，

∴m＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为.

∵点 B（1，n）也在反比例函数图象上，∴n＝－2，即B（1，－2）

把点A（－2，1）点B（1，－2）代入一次函数y＝kx＋b中，得

  解得   ∴一次函数的表达式为y＝－x－1．

⑵在y＝－x－1中，当y＝0时，得x＝－1，∴直线y＝－x－1与x轴的交点为C（－1，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

∴.

【变式题组】

01．（徐州）如图，已知A(n,－2),B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

⑴求反比例函数和一次函数的关系式；

⑵求△AOC的面积；

⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）

02．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，A(1，n)，B(，－2).

⑴求两函数的解析式；

⑵在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由.

⑶求；

⑷若y1＞y2，求x的取值范围.

03．如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.

⑴求两函数的解析式；

⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.

04．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，.

⑴求这两个函数的解析式；

⑵求A、C两点的坐标；

⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.

【例4】（咸宁）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是           （把你认为正确的序号都填上）

【解法指导】∵A、B两点在的图象上，根  据反比例函数中k的几何意义可知，因而①正确；∵，当k不变时，若P变动，而四边形PAOB的面积不变．因而是②正确；若设P（t,），则A（t,），B（），∴PA＝，PB＝.若PA＝PB，则有.∵k≠1,∴,∵t＞0,,∴当P()时，有PA＝PB，并不是PA与PB始终相等，因而③不正确；当A为PC的中点时，，，∴，∴DB＝PB，因而④正确；故填①，②．④.

【变式题组】

01．（武汉）如图，已知双曲线（k＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝        .

02．如图，矩形ABCD对角线BD中点E与A都在反比例函数的图象上，且，则k＝        .

03．如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数（x＞0）的图象于点A，交函数（x＞0）的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交（x＞0）于点C，连接AC，当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t的变化而变化？

04．函数（x＞0）与（x＞0）的图象如图所示，直线x＝ t（t＞0）分别与两个函数图象交于A、C两点，经过A、C分别作x轴的平行线，交两个函数图象于B、D两点，探索线段AB与CD的比值是否与t有关，请说明理由.

05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.

演练巩固·反馈提高

01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数的图象点A（2，1）、B（－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（     ）

A．x＞2              B． x＞2或－1＜x＜0   

C． －1＜x＜2          D． x＞2或x＜－1

02．（常州）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（     ）

A．－1     B．3     C．0    D．－3

03．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数的图象上，那么k的值是（     ）

A．3     B．6     C．12    D．

04．（丽水）点P在反比例函数（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P/，则在第一象限内，经过点P/的反比例函数图象的解析式是（     ）

A． （x＞0）  B． （x＞0）  C． （x＞0）  D． （x＞0）

05．（铁岭）如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（     ）

06．（泰安）函数图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（    ）

A．该函数的图象是中心对称图形           B．当x＞0时，该函数在x＝1时取得上值2

C．在每个象限内，y随x的增大而减小      D． y的值不可能为1

07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向上平移一个单位长度得到直线l, 直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a,2）则k的值等于      .

08．（广安）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3，则S1＋S2＋S3＝        .

09．（十堰）已知函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线交于点A、D，若AB＋CD＝BC，则k的值为      .

10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m,n）,(m＞1),过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，则点B的坐标为        .

11．如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，

⑴求k的值；⑵求△APM的面积.

12．如图，反比例函数的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，

⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.

13．如图，已知双曲线（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.

14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线（x＞0）的图象经过点A，若＝8，求k的值.

15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为，AC＝3，若AB的D在双曲线（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，求三角形平移的距离.

16．（荆州）如图，D为反比例函数（k＜0）图象上一点，过D作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，一次函数与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，若梯形DCAE有面积为4，求k的值.

17．（四川广安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，2）、点B（－4，n）

⑴求一次函数和反比例函数的解析式；

⑵求△AOB的面积.

18．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N，

⑴求直线DE的解析式和点M的坐标；

⑵若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上？

⑶若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围.

培优升级·奥赛检测

01．如图，直线l与反比例函数与（m＞n＞0）的图象分别交于点A、B，且直线l∥x轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对△PAB面积的讨论，有以下两种意见：

小芳：点P在x轴上移动时，△PAB的面积总保持不变；

小丽：当直线l上下平移时，△PAB的面积总保持不变；

那么，你认为她们的说法中（     ）

A．只有小芳正确      B．只有小丽正确

C．两人都正确        D．两人都不正确

02．（南昌市八年级竞赛题）在函数（a为常数）的图象上有三点：（－1，y1）,(),( )则函数值y1、y2、y3的大小关系是（     ）

A． y1＜y2＜y3      B． y3＜y2＜y1      C． y3＜y1＜y2      D． y2＜y1＜y3

03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（     ）

A．1＜k＜2     B．1≤k≤3     C． 1≤k≤4     D． 1≤k＜4

04．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为             

05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是      .（用含m的代数式表示）

06．如图，已知直线与双曲线（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.

07．（北京）如图，A、B两点在函数（x＞0）的图象上，

⑴求m的值及直线AB的解析式；

⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.

08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，

⑴求m、n的值；

⑵求直线AB的函数解析式；

⑶求证：△AEC≌△DFB．

09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF中和正方形OABC不重合的部分面积为S.

⑴求点B的坐标和k的值；

⑵当时，求点P的坐标；

⑶写出S关于m的函数关系式.

10．如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵求不等式＜0的解集（请直接写出答案）；

⑶求证：AC＝BD；

⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.