中考数学总复习二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）难点解析与训练

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、          抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

      第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

共同点：

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．

（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．

设抛物线的解析式是

，

则

解得

所以所求抛物线的解析式是．

（2）由（1）可计算得点．

过点作，垂足为．

当运动到时刻时，，．

根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．

所以．

所以，四边形的面积．

因为运动至点与点重合为止，据题意可知．

所以，所求关系式是，的取值范围是．

（3），（）．

所以时，有最大值．

提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形能形成矩形．

由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．

所以．所以．

所以．解之得（舍）．

所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．

（1）确定的值：；

（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：

；

（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）　　

　 （2）　　

　　（3）存在的值，有以下三种情况

　　　　①当时

　　　　　，则

　　　　②当时

　　　　　得

　　　　③当时，如图

　　　　　解法一：过作，又

　　　　　　　　　则

　　　　　　　　　又

　　　　　　解法二：作斜边中线

　　　　　　　　　　则，

　　　　　　　　　　此时

　　　　　　解法三：在中有

　　　　　　　　　　（舍去）

　　　　　　　　　　又

　　　　　　　　　　当或或时，为等腰三角形．

解法四：  数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析

          Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去

3.如图1，已知直线与抛物线交于两点．

（1）求两点的坐标；

（2）求线段的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

[解] （1）解：依题意得解之得

（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）

    由（1）可知：

    过作轴，为垂足

    由，得：，

    同理：

    设的解析式为

    的垂直平分线的解析式为：．

（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．

    抛物线与直线只有一个交点，

    ，

    在直线中，

    设到的距离为，

到的距离等于到的距离．

另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。

      最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．

（1）求正方形的边长．

（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．

（3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．

（4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有　　　　　个．

（抛物线的顶点坐标是．

[解] （1）作轴于．

，

．

．

（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．

又．

两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作轴于，则．

，即．

．

．

，

．

即．

，且，

当时，有最大值．

此时，

点的坐标为． （8分）

方法二：当时，．

设所求函数关系式为．

抛物线过点，

．

，且，

当时，有最大值．

此时，

点的坐标为．

（4）．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

．

5. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．

（1）求的度数．

（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．

（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．

（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．

解: （1）．

（2）点的运动速度为2个单位/秒．

（3）（）

．

当时，有最大值为，

此时．

（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．

①当点与点重合时，，

当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，

作交轴于点，作轴于点，

由得：，

所以，从而．

所以当点在边上运动时，的点有1个．

②同理当点在边上运动时，可算得．

而构成直角时交轴于，，

所以，从而的点也有1个．

所以当点沿这两边运动时，的点有2个．

6. （本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；

（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .

①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

③设是②中函数S的最大值，那么 =                .

解：（1）令，则；

令则．∴．

∵二次函数的图象过点，

∴可设二次函数的关系式为

又∵该函数图象过点．

∴

解之，得，．

∴所求二次函数的关系式为 

（2）∵

=

∴顶点M的坐标为 

过点M作MF轴于F

∴

=

∴四边形AOCM的面积为10

（3）①不存在DE∥OC     

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．

设点E的坐标为∴，∴  ∵，

∴  ∴ 

∵>2，不满足．

∴不存在．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

（秒）

现分情况讨论如下：

ⅰ）当时，；

ⅱ）当时，设点E的坐标为

∴，∴

∴

ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得

设点D的坐标为

∴，

∴

∴

=

③

7.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；

（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．

解：（1）据题意得：，

．

当时，．

当时，．

又抛物线与轴的交点在轴上方，．

抛物线的解析式为：．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）

（2）解：令，得．

不时，，，

．

当时，，

．

．

关于的函数关系是：

当时，；

当时，．

（3）解法一：当时，令，

得．

解得（舍），或．

将代入，

得．

当时，令，得．

解得（舍），或．

将代入，得．

综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．

解法二：当时，同“解法一”可得．

正方形的周长．

当时，同“解法一”可得．

正方形的周长．

综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．

解法三：点在轴右侧的抛物线上，

，且点的坐标为．

令，则．

，①或②

由①解得（舍），或；

由②解得（舍），或．

又，

当时；

当时．

综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．

8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

　解得

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　

（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC

∴＝　　即＝

∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　

自变量m的取值范围是0＜m＜8　　

（4）存在．

理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．　　

9.（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.

  （1） 求抛物线的解析式.

  （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

 （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线的对称轴为）

（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

     因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3

     所以抛物线解析式为

解法二：设抛物线的解析式为，

依题意得：c=4且  解得

 所以  所求的抛物线的解析式为

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB

所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

  即

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，   

所以t的值是

（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小

理由：因为抛物线的对称轴为

所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称

连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小

过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900

    DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，  △DQE ∽△ABO

  即

所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

设直线AQ的解析式为

则  由此得

所以直线AQ的解析式为  联立

由此得  所以M

则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。

10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分

将A、B、C三点的坐标代入得            ……………………2分

解得：                                        ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：           ……………………3分

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）           ………………………1分

设该表达式为：                      ……………………2分

将C点的坐标代入得：                            ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为：           ……………………3分

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）             ……………………4分

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                              ……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）                          ……………………5分

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                              ………………………4分

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）                          ………………………5分

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得  …………6分

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得   ………7分

∴圆的半径为或．   ……………7分

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．……………8分

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

               ……………………9分

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．      ……………………10分

11．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得

　解得

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　

（3）∵AB＝8，OC＝8

∴S△ABC ＝×8×8=32

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，   ∴AC＝10

∵EF∥AC　  ∴△BEF∽△BAC

∴＝　　即＝    ∴EF＝

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　  ∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　

自变量m的取值范围是0＜m＜8　

（5）存在．  理由：

∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．

12.（12分）已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．

（1）写出直线的解析式．

（2）求的面积．

（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在中，令

，

，········································1分

又点在上

的解析式为·························································2分

（2）由，得  ·······················································4分

，

，································································5分

·································································6分

（3）过点作于点

·································································7分

·································································8分

由直线可得：

在中，，，则

，································································9分

································································10分

································································11分

此抛物线开口向下，当时，

当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．·······························12分