中考数学总复习第7讲 变量与函数难点解析与训练

第7讲  变量与函数

考点·方法·破译

1．函数的概念及其表示方法

⑴函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于给定的每一个x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么,x是自变量，y是x的函数．

⑵函数的表示方法

①解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法；

②列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成表格来表示函数的方法；

③图象法：用图象表示函数关系的方法．

2．自变量取值范围的确定

自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求．

经典·考题·赏析

【例１】（兰州）函数中自变量x的取值范围是（   ）

A． x≤2   B． x＝3   C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3

【解法指导】 求x的取值范围，可根据题目要求列出下列式子： 解得x≤2且x≠3, 故选A

【变式题组】

01．（大兴安岭）函数中，自变量x 的取值范围是________

02．(芜湖)函数中自变量x的取值范围是_________

03．函数中自变量x的取值范围是_________

04．已知函数y＝－2x＋1中的自变量x的取值范围是0＜x＜10，则y的取值范围是______

【例２】汽车由北京驶往相距850km的沈阳，它的平均速度为80km/h，求汽车距沈阳的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式，写出自变量的取值范围

【解法指导】⑴此题属于行程问题，其基本数量关系是：速度时间＝路程．因此汽车行驶t(h)的路程是80t(km)与汽车距沈阳的路程s(km)及北京与沈阳的距离850km之间的等量关系是80t＋s＝850;(2)由于s与t都应是非负数可确定自变量的取值范围．

解：由题意得，s＝850－80t

又由于 即 解得 0≤t≤

因此汽车距沈阳的路程s与时间t的函数关系式为s＝850－80t,自变量的取值范围是0≤t≤

【变式题组】

01．已知三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm)，则底边上的高y(cm)关于x的函数关系式为______,自变量的取值范围是__________.

02．等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)关系的函数解析式正确的是（  ）

A． y＝－0.5x＋20(0＜x＜20)   B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)  

C． y＝－2x＋40(10＜x＜20)      D．y＝－2x＋40(0＜x＜20)

03． 某市为了鼓劲居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米 a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费．某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)（x＞12）之间的关系式为______,若该月交水费20a元，则这个月实际用水______米3．

【例３】下列曲线中，表示y不是x的函数的是（   ）

【解法指导】 要根据曲线判断所给变化中，y是否是x的函数，则需要根据曲线观察对于x的每一个确定的值，是否y都有惟一的一个确定的值与之对应，如果是，则y就是x的函数，观察所给的四个选项，可知B中所示的曲线，当x取一个值时，y有两个值与之对应，根据函数的定义可知y不是x的函数，应选B．

【变式题组】

01．图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（   ）

02．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（   ）

A．    B．  C．  D．

【例４】 如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（  ）

【解法指导】由题意知，此注水过程中分为三段：⑴由于圆柱形开口杯底部固定在长方体水池，也就是说水池被开口杯占据了一部分空间，因此注水时水池中水面上升的速度较快，其图象是一段自原点出发较陡的上升线段；⑵当水的与开口杯口等高时，水开始注入开口杯，也就是说水池中水面高度不变，则其图象是一段平行于t轴的水平线段；⑶当开口杯注满时，水位开始上升，由于水池的此部分空间比⑴段大，因此水池中水面上升的速度要比⑴段速度慢，则其图象是一段比⑴段中上升线段较缓的上升线段，由此可知答案应选B．

【变式题组】

01．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t的函数关系式，大致是下列图象中的（  ）

02．某蓄水池的横截面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（   ）

03．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图表示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中的（   ）

【例５】 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象，如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（  ）

1. 图1中的BC边长是8cm
2. 图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2

图中的CD长是4cm

3. 图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2

A． 1个  B． 2个  C． 3个  D． 4个

【解法指导】 若把点P由G→C→D→E→F→H对应的图象分别记为第I段、第II段、第III段、第IV段、第V段，则从图1和图2的对应情况可知：

（1）       由I的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GC＝4cm，即BC＝8cm；

∴a正确

（2）       M点的纵坐标等于S△ABD＝；∴b正确

（3）       ∵P在CD上的时间从图2知为2秒，∴CD＝＝24cm

  ABCDEFGH的周长为（AB＋BC＋DE）2＝40cm

∴ AH＝

∴ y＝  ∴d正确 故选D.

【变式题组】

01．（莆田）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到的位置是（   ）

A． N处  B． P处  C． Q处  D．M处

02．（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路径为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（  ）

A． 3  B． 4 C． 5 

演练巩固·反馈提高

01．（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法错误的是（   ）

A． 修车时间为15分钟        B． 学校离家的距离为2000米

C． 到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米

02．（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（  ）

A． 干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3  

B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3  

C．干旱开始时，蓄水量为200万米3

D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3

03．（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，现时打开丙，直到水池中的水排空，水池中的水量V（m3）与时间t(h)之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是

A． 乙＞甲  B． 丙＞甲 C．甲＞乙  D．丙＞乙

04．(杭州)已知点P（x,y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（    ）

A． 第一象限 B．第二象限  C． 第三象限 D．第四象限

05．（大连）函数的自变量x的取值范围是（   ）

A．x≥－2  B． x＞－2且x≠2   C．x≥0且x≠2  D．x≥－2且x≠2 

06．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．

⑴确定自变量的取值范围；

⑵求当x＝－4，－2时y的值是多少？

⑶求当y＝0,4时，x的值是多少？

⑷当x取何值时y的值最大？当x何值时y的值最小？

（5）当x在什么范围内取值时y随x的增大而增大？当x在什么范围内取值时y随x的增大而减小？

07．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：

⑴这是一次_________米的赛跑；

⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______

 (3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒