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浙江省金华市义乌市六校佛堂镇中、后宅中学、北苑中学联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题
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这是一份浙江省金华市义乌市六校佛堂镇中、后宅中学、北苑中学联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，二次根式中x的取值范围是，若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年第二学期期中检测八年级数学试题卷
六校联考——佛堂镇中，后宅中学，北苑中学，望道中学，雪峰中学，荷叶塘中学
（命题学校：佛堂镇中 审题人：陆绪荣 李政）
一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分。）
1．下列地铁标志图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+y＝0 C．x2﹣1＝0 D．
3．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（环）
8
9
9
8
S2（环2）
1
1.2
1
1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x≥﹣6
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
8．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（27﹣3x）＝75 B．x（3x﹣27）＝75 C．x（30﹣3x）＝75 D．x（3x﹣30）＝75
9．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．当a＝4时，的值为 ．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为 ．
13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ．
14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m．
15．在平面直角坐标系xOy中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是 ．
16．我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在▱ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．已知AB＝2，当BC的长为 ．时，△AB′D是直角三角形。
三．解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．计算下列各题：
（1）．（2）．
18．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）x（x+2）＝x+2．
19．如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）
（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．
20．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图①中的m的值为 ，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？
21．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
22．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（2）商场日盈利能否达到3300元？
（3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分。）
1．下列地铁标志图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+y＝0 C．x2﹣1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程）解决此题．
【解答】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意．
B．是二元一次方程，故B不符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，故C符合题意．
D．是分式方程，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（环）
8
9
9
8
S2（环2）
1
1.2
1
1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于S2乙＞S2丙，故乙的方差大，波动大．
故选：C．
【点评】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x≥﹣6
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围即可．
【解答】解：二次根式中，x+6≥0，
解得：x≥﹣6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据线段中点的性质、三角形中位线定理得到BD＝AB，BE＝BC，DE＝AC，计算即可．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴BD＝AB，BE＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2BD+2BE+2DE＝2（BD+BE+DE）＝2×△DBE的周长＝2×7＝14，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理和三角形周长的概念，熟练掌握三角形的中位线定理是解决问题的关键．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（27﹣3x）＝75 B．x（3x﹣27）＝75
C．x（30﹣3x）＝75 D．x（3x﹣30）＝75
【分析】设矩形宽为xm，根据可建墙体总长可得出矩形的长为（30﹣3x）m，再根据矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝75．
故选：C．
【点评】本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题；
【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由平行四边形的性质得S△ABC＝S△ACD，证出四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，得S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，进而通过三角形与四边形之间的面积转化得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABC＝S△ACD，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，AB∥CD∥GH，
∴四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，
∴S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，
∵S△ABC＝S△AEP+S平行四边形BHPE+S△PHC﹣S△APC①，S△ACD＝S△AGP+S平行四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，
∴②﹣①得：S平行四边形GPFD﹣S平行四边形BHPE+2S△APC＝0，
即2S△APC＝6﹣4＝2，
∴S△APC＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．当a＝4时，的值为 5 ．
【分析】把a＝4代入，求出的值为多少即可．
【解答】解：当a＝4时，
＝
＝
＝5
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为 10 ．
【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数＝360÷外角度数，代入数值计算即可．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数＝360÷36＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于360°．
13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 1+x+x（1+x）＝121 ．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝121．
故答案是：1+x+x（1+x）＝121．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 2 m．
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝2，x2＝33．
当x＝2时，30﹣2x＝30﹣2×2＝26，符合题意；
当x＝33时，30﹣2x＝30﹣2×33＝﹣36＜0，不符合题意，舍去．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是 （0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6） ．
【分析】如图，当AB为边，①当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB＝PQ，QA＝PB，当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1＝Q1B，AQ1＝BP1，结合图形分别得出即可．
【解答】解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，
∴Q2点的坐标是：（0，﹣6），
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB＝PQ，QA＝PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1＝Q1B，
AQ1＝BP1，
∴Q1点的坐标是：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．
16．我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在▱ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．已知AB＝2，当BC的长为 ．时，△AB′D是直角三角形。
【分析】【发现与证明】
通过三角形全等即可求得∠ACB′＝∠CAD，即可得到结论2；进而根据等腰三角形的性质证得∠ADB′＝∠DAC，根据平行线的判定即可证得结论1；
【应用与探究】
先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C＝∠CDA＝30°，∠B′AD＝∠DCB′＝90°，设∠ADB′＝∠CB′D＝y，则∠AB′D＝y﹣30°，根据∠AB′D+∠ADB′＝90°，得出y﹣30°+y＝90°，解得y＝60°，进而求得∠AB′D＝30°，通过解直角三角形即可求得BC．
【解答】解：
如图2，∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B＝30°，
∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，
设∠ADB′＝∠CB′D＝y，
∴∠AB′D＝y﹣30°，
∵∠AB′D+∠ADB′＝90°，
∴y﹣30°+y＝90°，解得y＝60°，
∴∠AB′D＝y﹣30°＝30°，
∵AB′＝AB＝2，
∴AD＝×＝2，
∴BC＝2，
当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图3，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′＝90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB＝×＝3；
当∠B′AD＝90°AB＜BC时，如图4，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，
∴∠B′GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB′C＝30°，
∴GC＝B′C＝BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG＝AB＝×2＝3，
∴BC＝6；
当∠AB′D＝90°时，如图5，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB÷＝2×＝4；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
三．解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．计算下列各题：
（1）．
（2）．
【分析】（1）先按照二次根式的性质进行化简，然后合并即可；
（2）分别化为最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝8﹣7﹣3
＝﹣2；
（2）
＝（4+﹣4）÷
＝
＝1．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练的掌握运算法则是解题关键．
18．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x+2）＝x+2．
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（x+2）＝x+2，
∴x（x+2）﹣（x+2）＝0
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
19．如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）
（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．
【分析】本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展开丰富的想象力，答案不唯一．
【解答】解：如图所示；
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．
20．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 人，图①中的m的值为 15 ，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为 36° ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 35 ，中位数是 36 ；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？
【分析】（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；用“38号”的百分比乘以360°，即可得圆心角的度数；
（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
360°×10%＝36°；
故答案为：40，15，36°．
（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为（36+36）÷2＝36；
故答案为：35，36．
（3）∵在40名学生中，鞋号为36的学生人数比例为25%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为36的人数比例约为25%，
则计划购买200双运动鞋，36号的双数为：200×25%＝50（双）．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（2）商场日盈利能否达到3300元？
（3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？
【分析】（1）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），整理后判断方程的根的情况即可；
（3）根据（1）得到的关系式判断出二次函数的对称轴，此时二次函数取到最值．
【解答】解：（1）设降价x元，由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，
化简得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
答：每件商品降价25元或15元，商场日盈利可达3150元；
（2）设降价x元，由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3300，
化简得：x2﹣40x+450＝0，
b2﹣4ac＝1600﹣4×450＝﹣200＜0，
故此方程无实数根，
故商场日盈利不能达到3300元；
（3）设利润为y元，根据题意可得：
y＝（60﹣x）（40+2x）
＝﹣2x2+80x+2400
＝﹣2（x2﹣40x）+2400
＝﹣2（x﹣20）2+3200
故当x＝20时，y最大．
答：每件商品降价20元时，商场日盈利的最多．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 （，） ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
【分析】（1）由＞0，根据题意可求得此题坐标；
（2）将7+2化为（）2，可求得此题的结果；
（3）先根据材料（1）对m的值进行化简，再根据材料（2）确定此题的结果．
【解答】解：（1）∵＞0，
∴点（，）的“横负纵变点”为（，），
故答案为：（，）；
（2）∵7+2＝5+2+2＝（）2+2×+（）2＝（）2，
∴＝＝+；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a﹣1≤1，
∴0≤≤1，
∴﹣1≤0，
∴
＝（+）
＝（||+||）
＝（+1+1﹣）
＝×2
＝，
∴点M为（，），
∵＜0，
∴点M'的坐标为（﹣，﹣）．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 （2t，t﹣4） ，点C的坐标 （2+2t，0） ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 12 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
【分析】（1）由题意可得点B的坐标为（2t，t﹣4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）根据S四边形QOBC＝S△OQC+S△OCB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可①当BQ为对角线时，OD1＝PC＝2，②当QC为对角线时，③当BC2对角线时，
【解答】解：（1）点B的坐标为（2t，t﹣4），点C的坐标为（2+2t，0）；
故答案为（2t，t﹣4），（2+2t，0）．
（2）①t＝1时，
S四边形QOBC＝S△OQC+S△OCB＝•（2+2）•3+（2+2）•3＝12，
故答案为12．
②以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则可得点D的坐标有三种情况，
当BQ为对角线时，OD1＝PC＝2，故点D1的坐标为（﹣2，0）；
当QC为对角线时，点B的坐标为（2，﹣3）， 可得点D2的坐标为（2，6）；
当BC2对角线时，点C的坐标为（4，0）， 可得点D3的坐标为（6，﹣6）；
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2022~2023学年第二学期期中检测八年级数学试题卷
六校联考——佛堂镇中，后宅中学，北苑中学，望道中学，雪峰中学，荷叶塘中学
（命题学校：佛堂镇中 审题人：陆绪荣 李政）
一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分。）
1．下列地铁标志图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+y＝0 C．x2﹣1＝0 D．
3．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（环）
8
9
9
8
S2（环2）
1
1.2
1
1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x≥﹣6
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
8．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（27﹣3x）＝75 B．x（3x﹣27）＝75 C．x（30﹣3x）＝75 D．x（3x﹣30）＝75
9．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．当a＝4时，的值为 ．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为 ．
13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ．
14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m．
15．在平面直角坐标系xOy中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是 ．
16．我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在▱ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．已知AB＝2，当BC的长为 ．时，△AB′D是直角三角形。
三．解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．计算下列各题：
（1）．（2）．
18．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）x（x+2）＝x+2．
19．如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）
（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．
20．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图①中的m的值为 ，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？
21．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
22．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（2）商场日盈利能否达到3300元？
（3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 ，点C的坐标 ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分。）
1．下列地铁标志图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+y＝0 C．x2﹣1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程）解决此题．
【解答】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意．
B．是二元一次方程，故B不符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，故C符合题意．
D．是分式方程，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
甲
乙
丙
丁
（环）
8
9
9
8
S2（环2）
1
1.2
1
1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数，乙、丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于S2乙＞S2丙，故乙的方差大，波动大．
故选：C．
【点评】本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x≥﹣6
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围即可．
【解答】解：二次根式中，x+6≥0，
解得：x≥﹣6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据线段中点的性质、三角形中位线定理得到BD＝AB，BE＝BC，DE＝AC，计算即可．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴BD＝AB，BE＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2BD+2BE+2DE＝2（BD+BE+DE）＝2×△DBE的周长＝2×7＝14，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理和三角形周长的概念，熟练掌握三角形的中位线定理是解决问题的关键．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（27﹣3x）＝75 B．x（3x﹣27）＝75
C．x（30﹣3x）＝75 D．x（3x﹣30）＝75
【分析】设矩形宽为xm，根据可建墙体总长可得出矩形的长为（30﹣3x）m，再根据矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设矩形宽为xm，则矩形的长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝75．
故选：C．
【点评】本题考查了由时间问题抽象出一元二次方程，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题；
【解答】解：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H四点，若平行四边形BHPE面积为6，平行四边形GPFD面积为4，则△APC的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由平行四边形的性质得S△ABC＝S△ACD，证出四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，得S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，进而通过三角形与四边形之间的面积转化得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABC＝S△ACD，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，AB∥CD∥GH，
∴四边形EPGA、四边形GPFD、四边形EPHB、四边形PHCF均为平行四边形，
∴S△AEP＝S△AGP＝S平行四边形AEPG，S△PHC＝S△PCF＝S平行四边形PHCF，
∵S△ABC＝S△AEP+S平行四边形BHPE+S△PHC﹣S△APC①，S△ACD＝S△AGP+S平行四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，
∴②﹣①得：S平行四边形GPFD﹣S平行四边形BHPE+2S△APC＝0，
即2S△APC＝6﹣4＝2，
∴S△APC＝1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11．当a＝4时，的值为 5 ．
【分析】把a＝4代入，求出的值为多少即可．
【解答】解：当a＝4时，
＝
＝
＝5
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为 10 ．
【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数＝360÷外角度数，代入数值计算即可．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数＝360÷36＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于360°．
13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 1+x+x（1+x）＝121 ．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝121．
故答案是：1+x+x（1+x）＝121．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 2 m．
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝2，x2＝33．
当x＝2时，30﹣2x＝30﹣2×2＝26，符合题意；
当x＝33时，30﹣2x＝30﹣2×33＝﹣36＜0，不符合题意，舍去．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，有A（3，2），B（﹣1，﹣4），P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是 （0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6） ．
【分析】如图，当AB为边，①当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB＝PQ，QA＝PB，当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1＝Q1B，AQ1＝BP1，结合图形分别得出即可．
【解答】解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，
∴Q2点的坐标是：（0，﹣6），
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB＝PQ，QA＝PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1＝Q1B，
AQ1＝BP1，
∴Q1点的坐标是：（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．
16．我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论
【发现与证明】
在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．
…
请利用图1证明结论1或结论2．
【应用与探究】
在▱ABCD中，∠B＝30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．已知AB＝2，当BC的长为 ．时，△AB′D是直角三角形。
【分析】【发现与证明】
通过三角形全等即可求得∠ACB′＝∠CAD，即可得到结论2；进而根据等腰三角形的性质证得∠ADB′＝∠DAC，根据平行线的判定即可证得结论1；
【应用与探究】
先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C＝∠CDA＝30°，∠B′AD＝∠DCB′＝90°，设∠ADB′＝∠CB′D＝y，则∠AB′D＝y﹣30°，根据∠AB′D+∠ADB′＝90°，得出y﹣30°+y＝90°，解得y＝60°，进而求得∠AB′D＝30°，通过解直角三角形即可求得BC．
【解答】解：
如图2，∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B＝30°，
∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，
设∠ADB′＝∠CB′D＝y，
∴∠AB′D＝y﹣30°，
∵∠AB′D+∠ADB′＝90°，
∴y﹣30°+y＝90°，解得y＝60°，
∴∠AB′D＝y﹣30°＝30°，
∵AB′＝AB＝2，
∴AD＝×＝2，
∴BC＝2，
当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图3，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′＝90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB＝×＝3；
当∠B′AD＝90°AB＜BC时，如图4，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，
∴∠B′GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB′C＝30°，
∴GC＝B′C＝BC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BG＝AB＝×2＝3，
∴BC＝6；
当∠AB′D＝90°时，如图5，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB÷＝2×＝4；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
三．解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．计算下列各题：
（1）．
（2）．
【分析】（1）先按照二次根式的性质进行化简，然后合并即可；
（2）分别化为最简二次根式，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝8﹣7﹣3
＝﹣2；
（2）
＝（4+﹣4）÷
＝
＝1．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练的掌握运算法则是解题关键．
18．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（x+2）＝x+2．
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（x+2）＝x+2，
∴x（x+2）﹣（x+2）＝0
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
19．如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）
（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．
【分析】本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展开丰富的想象力，答案不唯一．
【解答】解：如图所示；
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．
20．为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 人，图①中的m的值为 15 ，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为 36° ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 35 ，中位数是 36 ；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？
【分析】（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；用“38号”的百分比乘以360°，即可得圆心角的度数；
（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
360°×10%＝36°；
故答案为：40，15，36°．
（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为（36+36）÷2＝36；
故答案为：35，36．
（3）∵在40名学生中，鞋号为36的学生人数比例为25%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为36的人数比例约为25%，
则计划购买200双运动鞋，36号的双数为：200×25%＝50（双）．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（2）商场日盈利能否达到3300元？
（3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？
【分析】（1）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40+2×降价的钱数），整理后判断方程的根的情况即可；
（3）根据（1）得到的关系式判断出二次函数的对称轴，此时二次函数取到最值．
【解答】解：（1）设降价x元，由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3150，
化简得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25，
答：每件商品降价25元或15元，商场日盈利可达3150元；
（2）设降价x元，由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3300，
化简得：x2﹣40x+450＝0，
b2﹣4ac＝1600﹣4×450＝﹣200＜0，
故此方程无实数根，
故商场日盈利不能达到3300元；
（3）设利润为y元，根据题意可得：
y＝（60﹣x）（40+2x）
＝﹣2x2+80x+2400
＝﹣2（x2﹣40x）+2400
＝﹣2（x﹣20）2+3200
故当x＝20时，y最大．
答：每件商品降价20元时，商场日盈利的最多．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mn＝（m±n）2，开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：∵，
∴．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（，）的“横负纵变点”为 （，） ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标．
【分析】（1）由＞0，根据题意可求得此题坐标；
（2）将7+2化为（）2，可求得此题的结果；
（3）先根据材料（1）对m的值进行化简，再根据材料（2）确定此题的结果．
【解答】解：（1）∵＞0，
∴点（，）的“横负纵变点”为（，），
故答案为：（，）；
（2）∵7+2＝5+2+2＝（）2+2×+（）2＝（）2，
∴＝＝+；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a﹣1≤1，
∴0≤≤1，
∴﹣1≤0，
∴
＝（+）
＝（||+||）
＝（+1+1﹣）
＝×2
＝，
∴点M为（，），
∵＜0，
∴点M'的坐标为（﹣，﹣）．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC＝2，连接BC、CQ．设点P、Q运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）用含t的代数式表示：
点B的坐标 （2t，t﹣4） ，点C的坐标 （2+2t，0） ；
（2）当t＝1时：①四边形QOBC的面积为 12 ；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
【分析】（1）由题意可得点B的坐标为（2t，t﹣4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）根据S四边形QOBC＝S△OQC+S△OCB计算即可；
（3）分三种情形讨论即可①当BQ为对角线时，OD1＝PC＝2，②当QC为对角线时，③当BC2对角线时，
【解答】解：（1）点B的坐标为（2t，t﹣4），点C的坐标为（2+2t，0）；
故答案为（2t，t﹣4），（2+2t，0）．
（2）①t＝1时，
S四边形QOBC＝S△OQC+S△OCB＝•（2+2）•3+（2+2）•3＝12，
故答案为12．
②以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则可得点D的坐标有三种情况，
当BQ为对角线时，OD1＝PC＝2，故点D1的坐标为（﹣2，0）；
当QC为对角线时，点B的坐标为（2，﹣3）， 可得点D2的坐标为（2，6）；
当BC2对角线时，点C的坐标为（4，0）， 可得点D3的坐标为（6，﹣6）；
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/12 9:44:06；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.com；学号：22376883
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