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浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题
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这是一份浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题，共24页。试卷主要包含了我国传统文化中的“福禄寿喜”图，已知二次根式，则a的取值范围是，计算，结果为，十二边形的外角和是，有两个关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
绣湖学校八年级数学期中教学质量检测卷
一．选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次根式，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46，44，45，42，48，46，47，46．则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
4．计算，结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣11 D．11
5．十二边形的外角和是（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．2160°
6．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
8．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角 B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角 D．四边形中有三个角是钝角或直角
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝12，E、F分别为BO、CO上两点，且BE＝CF，连接AE、DF，则△ABE与△CDF的面积比为（ ）
A． B． C．1 D．
10．有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： 的结果为 ．
12．若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2022的值为 ．
13．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
14．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．
15．若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为 ．
16．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
三．解答题（本大题共8小题，第17~19题，每小题6分，第20~21题，每题8分，第22~23题，每题10分，第24题12分）
17．计算：
（1）； （2）|2﹣|﹣．
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0； （2）x2﹣4x﹣1＝0．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长．
20．2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 ；
（2）统计的这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？
21．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
22．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
（1）求证：∠ADO＝2∠OBE；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点；
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC＝10时，求线段BE的长度．
24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E．在线段QC上取点F，使得QF＝2，连接PF，记AP＝x（）．
（1）①CF＝ （用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出x的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．已知二次根式，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】解：由题意可知：﹣a+3≥0，
∴a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46，44，45，42，48，46，47，46．则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
【分析】先将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为42，44，45，46，46，46，47，48，
所以这组数据的中位数为＝46（次/分），
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．计算，结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣11 D．11
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣16
＝15﹣16
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
5．十二边形的外角和是（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．2160°
【分析】根据任何多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：十二边形的外角和是360°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和是360度是关键．
6．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为（x+a）2＝b，即可得解．
【解答】解：﹣3x2+12x﹣2＝0，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
7．某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
【分析】根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝12，E、F分别为BO、CO上两点，且BE＝CF，连接AE、DF，则△ABE与△CDF的面积比为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】过A作AM⊥BD于M，过D作DN⊥AC于N，由平行四边形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，则S△COD＝S△AOD＝S△AOB，再由三角形面积公式证出DN＝AM，即可解决问题．
【解答】解：如图，过A作AM⊥BD于M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝12，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，
∴S△COD＝S△AOD＝S△AOB，
∴OC•DN＝OB•AM，
∴OC•DN＝OB•AM，
即4DN＝6AM，
∴DN＝AM，
∵BE＝CF，S△ABE＝BE•AM，S△CDF＝CF•DN，
∴＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出DN＝AM是解题的关键．
10．有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】当x＝1时，M：ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，N：cx2+bx+a＝0得出a+b+c＝0即可判断①；根据根与系数的关系，由a+c＝0即可判断②；将x＝2代入方程M中可得出4a+2b+c＝0，方程两边同时除以4可得出a+b+c＝0，由此可得出是方程N的一个根，即可判断③；设相同的根为m，将其代入两方程中作差后可得出m²＝1，解之可得出m＝±1，进而可得出两方程有相同的根±1，即可判断④．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴方程M的一个根为1，方程N有一个根为1，
∴如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1，结论①正确；
∵a+c＝0，
∴a＝﹣c，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴方程M和方程N的两根之积必相等，结论②正确；
∵2是方程M的一个根，
∴4a+2b+c＝0，即a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，结论③正确；
设相同的根为m，则，
①﹣②得：（a﹣c）m2+c﹣a＝0，
∴（a﹣c）m2＝a﹣c．
∵a≠0，c≠0，a+c＝0，
∴a﹣c≠0，
∴m2＝1，
∴m＝±1．
即有相同的根±1，结论④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．计算： 的结果为 2 ．
【分析】利用二次根式乘除法的法则计算．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2022的值为 2019 ．
【分析】根据a是方程x2+x﹣1＝0一个根，可以得到a2+a﹣1＝0，然后即可得到a2+a＝1，再整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0一个根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴﹣3a2﹣3a+2022
＝﹣3（a2+a）+2022
＝﹣3×1+2022
＝﹣3+2022
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．
13．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 甲 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而判断即可．
【解答】解：∵甲、乙方差分别是3.9、15.8，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲秧苗出苗更整齐；
故答案为：甲．
【点评】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．
14．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 7 ．
【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题．
【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB，
∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC＝15，
∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，
即FC+15＝22，
∴FC＝7，
故答案为7．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键．
15．若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为 7或2 ．
【分析】根据题目所给的条件，知道a，b是一元二次方程的两个不等实数根，得到a+b和ab的值，把代数式变形为含有a+b和ab的形式，求出代数式的值．
【解答】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，
当a＝b时，代数式的值为2，
当a≠b时，
根据题意a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
故a+b＝3，ab＝1．
则＝＝＝＝7．
故代数式的值为7或2，
故答案为：7或2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题目的条件得到两根的和与两根的积，代入代数式求出代数式的值．
16．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 或2 ．
【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝2，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'B＝4，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝2．
【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠MAN＝90°，
∴∠BDE＝∠A'EF，
∴AB∥A'E，
∴∠ABC＝∠A'EB，
∴∠A'BC＝∠A'EB，
∴A'B＝A'E，
∴△A'BE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2；
综上所述，AB的长为或2；
故答案为：或2．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）|2﹣|﹣．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据绝对值的意义、二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+
＝2+3；
（2）原式＝2﹣﹣+
＝2﹣﹣+
＝2﹣﹣+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形性质得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，再由垂线性质得∠AEB＝∠CFD＝90°，然后由AAS即可证得△ABE≌△CDF；
（2）由平行四边形的性质得AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD，再由勾股定理得BO＝2，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝×2＝，BO＝DO＝BD，
∵∠BAC＝90°，
∴△BAO是直角三角形，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝2×2＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 28 ；
（2）统计的这组数据的平均数为 1.52元 ，众数为 1.8元 ，中位数为 1.5元 ；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0元的约多少枚．
【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；
（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52元，
∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，
中位数是：1.5元，众数是1.8元；
故答案为：1.52元，1.8元，1.5元；
（3）2500×8%＝200（枚），
答：价格为2.0元的约200枚．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
【分析】（1）本题应分以BC、AC和AB为对角线三种情况进行讨论，即可得出第四个点的坐标．
（2）先利用间接的方法求出△ABC的面积，再利用勾股定理求出AB的长，又S△ABC＝×AB×h，继而即可求出AB边上的高h．
（3）根据平行四边形的面积等于两个三角形的面积解答即可．
【解答】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）∵S△ABC＝×BC×h＝3×3﹣（1×3+1×3+2×2）＝4，
BC＝2，
∴h＝2．
（3）平行四边形的面积＝2S△ABC＝8．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
22．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据总利润＝两批樱桃利润之和列出方程，解方程即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，根据两天樱桃获得的利润之和＝850列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设樱桃的进价是每千克x元，
依题意得：16×80+18×60﹣（80+60）x＝960，
解得：x＝10，
答：樱桃的进价是每千克10元；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，
依题意得：20×40+y[40+（20﹣y）×10]﹣10[80+（20﹣y）×10]＝850，
整理得：y2﹣34y+285＝0，
解得：y1＝15，y2＝19，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元．
【点评】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
（1）求证：∠ADO＝2∠OBE；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点；
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC＝10时，求线段BE的长度．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知，AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，则∠ADO＝∠CBO，AD＝BO＝BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO，进而结论得证；
（2）①由等腰三角形的性质可知∠BEA＝90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG＝AB，由中位线的性质可知EF＝CD，由平行四边形的性质可知AB＝CD，可得EG＝EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG＝∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE＝∠ABE＝45°，设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2＝BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵BD＝2AD，
∴AD＝BO＝BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵OE＝CE，
∴∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO，
∴∠ADO＝2∠OBE．
（2）①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EG＝AB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形．
②解：由题意知，EF∥CD∥BG，
∴EF＝CD＝AB＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GBE，
∵∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴EG⊥AB，
设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2，即，
解得x＝3或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BE＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E．在线段QC上取点F，使得QF＝2，连接PF，记AP＝x（）．
（1）①CF＝ 3x﹣2 （用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出x的值．
【分析】（1）①由已知可得点P与点Q的速度比为1：3，则得CQ＝3AP，由于CF＝CQ﹣QF，结论可得；
②过点A作AM⊥BC于点M，由已知可得△APG和△FCG和△ABM为等腰直角三角形，则AP＝PG＝x，FC＝FG＝3x﹣2，AM＝BM＝BC＝5；由四边形AMFP为矩形得到AM＝PF，列出方程求出x，则CQ可求；
（2）分两种情形解答：①当点Q，F在线段BC上时；②当点Q，F在线段CB的延长线上时，利用AP＝BF，列出方程即可求解；
（3）分两种情形解答：点P的对称点在线段AB上或在线段BA的延长线上，利用AB＝BF，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）①∵BE＝2BC＝20，
∴BC＝10，EC＝30．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝10．
∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴点P与点Q的速度比为1：3，
∵AP＝x，
∴CQ＝3x，
∴CF＝CQ﹣QF＝3x﹣2．
故答案为：3x﹣2．
②过点A作AM⊥BC于点M，设PF交AC于点G，如下图，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴△ABC，△AMB，△AMC为等腰直角三角形，
∴AM＝BC＝5，∠ACB＝45°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°．
∵PF⊥BC，
∴FP⊥AD．
∴△APG和△FGC为等腰直角三角形．
∴PG＝AP＝x，FG＝FC＝3x﹣2．
∴PF＝PG+GF＝4x﹣2．
∵AD∥BC，AM⊥BC，PF⊥BC，
∴AM＝PF，
∴4x﹣2＝5．
解得：x＝．
∴BQ＝BC﹣CQ＝10﹣3x＝10﹣×3＝．
（2）①当点Q，F在线段BC上时，如下图，
若四边形ABFP为平行四边形，则AP＝BF，
∵BF＝BC﹣CF，
∴x＝10﹣（3x﹣2）．
解得：x＝3．
②当点Q，F在线段CB的延长线上时，如下图，
若四边形ABFP为平行四边形，则AP＝BF，
∵BF＝CF﹣BC，
∴x＝3x﹣2﹣10．
解得：x＝6．
综上，当x＝3或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，
①点P关于AF的对称点Q在线段AB上，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠BAF＝∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB．
∴∠BAF＝∠AFB．
∴AB＝BF．
在Rt△ABC中，AB＝BC×sin45°＝5，
∴5＝10﹣（3x﹣2）．
解得：x＝4﹣．
②：点P关于AF的对称点Q在线段BA的延长线上时，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠QAH＝∠DAH＝．
∵∠ABC＝45°，∠ABC＝∠AFB+∠FAB，∠FAB＝∠QAH＝，
∴∠AFB＝＝∠FAB，
∴AB＝BF．
∵BF＝CF﹣BC，
∴5＝3x﹣2﹣10．
解得：x＝4+．
综上，当x＝4﹣或4+时，当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/12 10:23:23；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.com；学号：22376883
绣湖学校八年级数学期中教学质量检测卷
一．选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次根式，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46，44，45，42，48，46，47，46．则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
4．计算，结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣11 D．11
5．十二边形的外角和是（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．2160°
6．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
8．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角 B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角 D．四边形中有三个角是钝角或直角
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝12，E、F分别为BO、CO上两点，且BE＝CF，连接AE、DF，则△ABE与△CDF的面积比为（ ）
A． B． C．1 D．
10．有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： 的结果为 ．
12．若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2022的值为 ．
13．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
14．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．
15．若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为 ．
16．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 ．
三．解答题（本大题共8小题，第17~19题，每小题6分，第20~21题，每题8分，第22~23题，每题10分，第24题12分）
17．计算：
（1）； （2）|2﹣|﹣．
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0； （2）x2﹣4x﹣1＝0．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长．
20．2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 ；
（2）统计的这组数据的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？
21．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
22．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
（1）求证：∠ADO＝2∠OBE；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点；
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC＝10时，求线段BE的长度．
24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E．在线段QC上取点F，使得QF＝2，连接PF，记AP＝x（）．
（1）①CF＝ （用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出x的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．已知二次根式，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】解：由题意可知：﹣a+3≥0，
∴a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46，44，45，42，48，46，47，46．则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
【分析】先将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为42，44，45，46，46，46，47，48，
所以这组数据的中位数为＝46（次/分），
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．计算，结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣11 D．11
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣16
＝15﹣16
＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
5．十二边形的外角和是（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．2160°
【分析】根据任何多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：十二边形的外角和是360°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和是360度是关键．
6．用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】利用系数化1，移项，配方将一元二次方程转化为（x+a）2＝b，即可得解．
【解答】解：﹣3x2+12x﹣2＝0，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
7．某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98% B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%
C．1.98%（1+x）＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%
【分析】根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．用反证法证明“四边形至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设（ ）
A．四边形中每个角都是锐角
B．四边形中每个角都是钝角或直角
C．四边形中有三个角是锐角
D．四边形中有三个角是钝角或直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角．
故选：A．
【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝12，E、F分别为BO、CO上两点，且BE＝CF，连接AE、DF，则△ABE与△CDF的面积比为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】过A作AM⊥BD于M，过D作DN⊥AC于N，由平行四边形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，则S△COD＝S△AOD＝S△AOB，再由三角形面积公式证出DN＝AM，即可解决问题．
【解答】解：如图，过A作AM⊥BD于M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝12，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，
∴S△COD＝S△AOD＝S△AOB，
∴OC•DN＝OB•AM，
∴OC•DN＝OB•AM，
即4DN＝6AM，
∴DN＝AM，
∵BE＝CF，S△ABE＝BE•AM，S△CDF＝CF•DN，
∴＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出DN＝AM是解题的关键．
10．有两个关于x的一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下列四个结论中，
①如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是x＝1．其中错误的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】当x＝1时，M：ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，N：cx2+bx+a＝0得出a+b+c＝0即可判断①；根据根与系数的关系，由a+c＝0即可判断②；将x＝2代入方程M中可得出4a+2b+c＝0，方程两边同时除以4可得出a+b+c＝0，由此可得出是方程N的一个根，即可判断③；设相同的根为m，将其代入两方程中作差后可得出m²＝1，解之可得出m＝±1，进而可得出两方程有相同的根±1，即可判断④．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴方程M的一个根为1，方程N有一个根为1，
∴如果a+b+c＝0，那么方程M和方程N有一个公共根为1，结论①正确；
∵a+c＝0，
∴a＝﹣c，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴方程M和方程N的两根之积必相等，结论②正确；
∵2是方程M的一个根，
∴4a+2b+c＝0，即a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，结论③正确；
设相同的根为m，则，
①﹣②得：（a﹣c）m2+c﹣a＝0，
∴（a﹣c）m2＝a﹣c．
∵a≠0，c≠0，a+c＝0，
∴a﹣c≠0，
∴m2＝1，
∴m＝±1．
即有相同的根±1，结论④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．计算： 的结果为 2 ．
【分析】利用二次根式乘除法的法则计算．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2022的值为 2019 ．
【分析】根据a是方程x2+x﹣1＝0一个根，可以得到a2+a﹣1＝0，然后即可得到a2+a＝1，再整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0一个根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴﹣3a2﹣3a+2022
＝﹣3（a2+a）+2022
＝﹣3×1+2022
＝﹣3+2022
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．
13．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则 甲 （填“甲”或“乙”）秧苗出苗更整齐．
【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而判断即可．
【解答】解：∵甲、乙方差分别是3.9、15.8，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲秧苗出苗更整齐；
故答案为：甲．
【点评】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．
14．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 7 ．
【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题．
【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB，
∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC＝15，
∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，
即FC+15＝22，
∴FC＝7，
故答案为7．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键．
15．若a2+1＝3a，b2+1＝3b，则代数式的值为 7或2 ．
【分析】根据题目所给的条件，知道a，b是一元二次方程的两个不等实数根，得到a+b和ab的值，把代数式变形为含有a+b和ab的形式，求出代数式的值．
【解答】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，
当a＝b时，代数式的值为2，
当a≠b时，
根据题意a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
故a+b＝3，ab＝1．
则＝＝＝＝7．
故代数式的值为7或2，
故答案为：7或2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题目的条件得到两根的和与两根的积，代入代数式求出代数式的值．
16．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为 或2 ．
【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝2，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'B＝4，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝2．
【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠MAN＝90°，
∴∠BDE＝∠A'EF，
∴AB∥A'E，
∴∠ABC＝∠A'EB，
∴∠A'BC＝∠A'EB，
∴A'B＝A'E，
∴△A'BE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2；
综上所述，AB的长为或2；
故答案为：或2．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）；
（2）|2﹣|﹣．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据绝对值的意义、二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+
＝2+3；
（2）原式＝2﹣﹣+
＝2﹣﹣+
＝2﹣﹣+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形性质得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，再由垂线性质得∠AEB＝∠CFD＝90°，然后由AAS即可证得△ABE≌△CDF；
（2）由平行四边形的性质得AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD，再由勾股定理得BO＝2，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝×2＝，BO＝DO＝BD，
∵∠BAC＝90°，
∴△BAO是直角三角形，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝2×2＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中m的值为 28 ；
（2）统计的这组数据的平均数为 1.52元 ，众数为 1.8元 ，中位数为 1.5元 ；
（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；
（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0元的约多少枚．
【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，
即m的值是28，
故答案为：28；
（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52元，
∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，
中位数是：1.5元，众数是1.8元；
故答案为：1.52元，1.8元，1.5元；
（3）2500×8%＝200（枚），
答：价格为2.0元的约200枚．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
【分析】（1）本题应分以BC、AC和AB为对角线三种情况进行讨论，即可得出第四个点的坐标．
（2）先利用间接的方法求出△ABC的面积，再利用勾股定理求出AB的长，又S△ABC＝×AB×h，继而即可求出AB边上的高h．
（3）根据平行四边形的面积等于两个三角形的面积解答即可．
【解答】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
（2）∵S△ABC＝×BC×h＝3×3﹣（1×3+1×3+2×2）＝4，
BC＝2，
∴h＝2．
（3）平行四边形的面积＝2S△ABC＝8．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
22．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？
（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克x元，根据总利润＝两批樱桃利润之和列出方程，解方程即可；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，根据两天樱桃获得的利润之和＝850列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设樱桃的进价是每千克x元，
依题意得：16×80+18×60﹣（80+60）x＝960，
解得：x＝10，
答：樱桃的进价是每千克10元；
（2）设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+（20﹣y）×10]千克，
依题意得：20×40+y[40+（20﹣y）×10]﹣10[80+（20﹣y）×10]＝850，
整理得：y2﹣34y+285＝0，
解得：y1＝15，y2＝19，
答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元．
【点评】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点．
（1）求证：∠ADO＝2∠OBE；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点；
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG，BC＝10时，求线段BE的长度．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知，AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，则∠ADO＝∠CBO，AD＝BO＝BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO，进而结论得证；
（2）①由等腰三角形的性质可知∠BEA＝90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG＝AB，由中位线的性质可知EF＝CD，由平行四边形的性质可知AB＝CD，可得EG＝EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG＝∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE＝∠ABE＝45°，设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2＝BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵BD＝2AD，
∴AD＝BO＝BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵OE＝CE，
∴∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO，
∴∠ADO＝2∠OBE．
（2）①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EG＝AB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形．
②解：由题意知，EF∥CD∥BG，
∴EF＝CD＝AB＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GBE，
∵∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴△EFG∽△EBA，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴EG⊥AB，
设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2，即，
解得x＝3或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BE＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20．当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E．在线段QC上取点F，使得QF＝2，连接PF，记AP＝x（）．
（1）①CF＝ 3x﹣2 （用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出x的值．
【分析】（1）①由已知可得点P与点Q的速度比为1：3，则得CQ＝3AP，由于CF＝CQ﹣QF，结论可得；
②过点A作AM⊥BC于点M，由已知可得△APG和△FCG和△ABM为等腰直角三角形，则AP＝PG＝x，FC＝FG＝3x﹣2，AM＝BM＝BC＝5；由四边形AMFP为矩形得到AM＝PF，列出方程求出x，则CQ可求；
（2）分两种情形解答：①当点Q，F在线段BC上时；②当点Q，F在线段CB的延长线上时，利用AP＝BF，列出方程即可求解；
（3）分两种情形解答：点P的对称点在线段AB上或在线段BA的延长线上，利用AB＝BF，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）①∵BE＝2BC＝20，
∴BC＝10，EC＝30．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝10．
∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴点P与点Q的速度比为1：3，
∵AP＝x，
∴CQ＝3x，
∴CF＝CQ﹣QF＝3x﹣2．
故答案为：3x﹣2．
②过点A作AM⊥BC于点M，设PF交AC于点G，如下图，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AM⊥BC，
∴△ABC，△AMB，△AMC为等腰直角三角形，
∴AM＝BC＝5，∠ACB＝45°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°．
∵PF⊥BC，
∴FP⊥AD．
∴△APG和△FGC为等腰直角三角形．
∴PG＝AP＝x，FG＝FC＝3x﹣2．
∴PF＝PG+GF＝4x﹣2．
∵AD∥BC，AM⊥BC，PF⊥BC，
∴AM＝PF，
∴4x﹣2＝5．
解得：x＝．
∴BQ＝BC﹣CQ＝10﹣3x＝10﹣×3＝．
（2）①当点Q，F在线段BC上时，如下图，
若四边形ABFP为平行四边形，则AP＝BF，
∵BF＝BC﹣CF，
∴x＝10﹣（3x﹣2）．
解得：x＝3．
②当点Q，F在线段CB的延长线上时，如下图，
若四边形ABFP为平行四边形，则AP＝BF，
∵BF＝CF﹣BC，
∴x＝3x﹣2﹣10．
解得：x＝6．
综上，当x＝3或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，
①点P关于AF的对称点Q在线段AB上，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠BAF＝∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB．
∴∠BAF＝∠AFB．
∴AB＝BF．
在Rt△ABC中，AB＝BC×sin45°＝5，
∴5＝10﹣（3x﹣2）．
解得：x＝4﹣．
②：点P关于AF的对称点Q在线段BA的延长线上时，如下图，
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠QAH＝∠DAH＝．
∵∠ABC＝45°，∠ABC＝∠AFB+∠FAB，∠FAB＝∠QAH＝，
∴∠AFB＝＝∠FAB，
∴AB＝BF．
∵BF＝CF﹣BC，
∴5＝3x﹣2﹣10．
解得：x＝4+．
综上，当x＝4﹣或4+时，当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/12 10:23:23；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.com；学号：22376883
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