2022年上海市金山区高考二模数学试题（含答案）

2021-2022学年上海市金山区第二学期质量监控

高三数学试卷

(满分：150分，完卷时间：120分钟) 

（答题请写在答题纸上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，，若，则实数的值为       ．

2．已知(为虚数单位)，则       ．

3．已知等比数列各项均为正数，其中，，则的公比为       ．

4．的二项展开式中项的系数为       ．(结果用数字作答)

5．若正方体的棱长为 2，则顶点到平面的距离为       ．

6．不等式组表示的平面区域的面积等于       ．

7．已知向量，，则函数，的单调递增区间为       ．  

8．将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为       ．(结果用最简分数表示)

9.  过抛物线()的焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若，则的值为       ．

10. 已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则△ 面积的最大值为       ．

11．已知数列的前项和为，满足()，函数定义域为，对任意都有. 若，则的值为       ．

12．设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是_______．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．设，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的 (    )．

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件   

(C) 充要条件                        (D) 既不充分也不必要条件

14．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为(    )．

(A) 若∥，∥，则∥           (B) 若，，则∥     

(C) 若∥，∥，则∥          (D) 若，，则∥

15．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图. 根据此频率直方图，下列结论中不正确的是 (    )．

(A) 所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业     

(B) 该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%     

(C) 估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时        

(D) 估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间    

16．对于定义在上的函数，若同时满足：

(1) 对任意的，均有；

(2) 对任意的，存在，且，使得成立，

则称函数为“等均”函数. 下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，“等均”函数的个数是 (    )．

(A) 1             (B) 2             (C) 3            (D) 4

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，已知四棱锥的底面是梯形，∥，，平面，，，．

(1) 求四棱锥的体积；

(2) 求直线与平面所成角的大小.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在△中，角、、所对的边分别为、、. 已知，且为锐角.

(1) 求角的大小；

(2) 若，证明△是直角三角形.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月(30天)内的日销售量(百件)与时间第天的关系如下表所示：

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润(元)与时间第天的函数关系式为(，且为整数)，而后15天此商品每天每件的利润(元)与时间第天的函数关系式为(，且为整数).

(1) 现给出以下两类函数模型：① (为常数)；② (为常数，且).分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；

(2) 若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点.

(1) 求△的周长；

(2) 当垂直于轴时，求直线的方程；

(3) 记△与△的面积分别为、，求的最大值.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于集合，且，定义. 集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质.

(1) 判断集合，是否具有性质，并说明理由；

(2) 设集合(，且)具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求、的值；

(3) 若集合具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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高三数学试卷评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1． 0 ；   2．  ；   3． 3 ；   4． 24 ；   

5．  ；   6． 25 ；   7．  ；  8．  ；

9． 2 ；   10． ；   11． ；  12． ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13． C ；   14． B ；   15． D ；   16．B．    

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：(1) .                                              ………2分

又平面，

所以.                                          ………5分    

即四棱锥的体积为.                                              ………6分

(2) 以为原点，射线、、分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，.                          ………8分

设是平面的一个法向量，则由,，

得取，得.                                ………11分

设直线与平面所成的角为，向量与所成的角为，

则，                                     ………13分

.

故直线与平面所成角的大小为.                               ………14分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由正弦定理可知， ，

    ,，                                 ………2分

    又在△中，，，即，                      ………5分

    为锐角， ．                                                       ………6分

（2），由正弦定理得：，          ………8分

又，，

即，，                             ………11分，，故可得，                     ………13分

即，△为直角三角形．                                         ………14分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：(1)若选择模型（1），将以及代入可得，

        解得，即，经验证，符合题意；                           ………2分

       若选择模型（2）， 将以及代入可得，

       解得，即，                                    ………4分

     当时，，故此函数模型不符题意，                             ………5分

     因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）          ………6分

(2)记日销售利润为，

     当且为整数时，，

    对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）          ………9分

    当且为整数时，，

    当时，利润单调递减，

    故当时取得最大值，且最大值为375.25（百元）                             ………12分

    所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型．                  ………14分

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：(1) 由椭圆的定义知，，，                     ………2分

故△的周长为.                                            ………4分

(2) 因、，故、，

直线的方程为.                                                 ………6分

联立解得或即.                     ………8分

从而，直线的方程为，即.                ………10分                                    

(3) 设(，)、、.

设直线的方程为，其中.

联立消去，得.                            ………11分

则.

又，即，

故.

同理，.                

于是 

.                   ………13分

又，

故,                           ………15分

当且仅当，即，时等号成立.

故的最大值为.                                                    ………16分

另解：令，，，

则.

.                                        ………15分

当且仅当，即.

故的最大值为.                                                    ………16分

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解：(1) ，，故集合具有性质.                        ………2分

        ,，故集合不具有性质.           ………4分

(2) 因集合具有性质，故，.  

(i) 若，

则 解得                                    ………6分

经检验，符合题意. 故，的值分别为4，5.                                   ………7分

(ii) 若，

则 解得                                    ………9分

经检验，符合题意. 故，的值分别为5，9.                                  ………10分

(3) 不妨设，

则在集合中，.

又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，

则，

即，故.

当时，，，，是集合中互不相同的4项，

从而，与集合具有性质矛盾.                               ………13分

当时，，即，，成等差数列，且公差也为，

故中的元素从小到大的前三项为，，，                 ………14分

且第四项只能是或.                                              

(i) 若第四项为，则，从而，

于是，故，与集合具有性质矛盾.            ………15分

(ii) 若第四项为，则，故.

另一方面，，即.

于是，

故，与集合具有性质矛盾.                                 ………16分

因此，.

由(2)知，时，存在集合具有性质，                                     ………17分

故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4.                                  ………18分

另解：

当时，.

若此时集合具有性质，对集合的所有元素求和，

则有，

化简，得，

故，与集合具有性质矛盾.                                ………16分