2021-2022学年上海市闵行区高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市闵行区高一下学期5月月考数学试题

一、填空题

1．设复数满足，其中是虚数单位，则___________．

【答案】－3

【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可求解.

【详解】由可得：，

所以，

故答案为：.

2．已知向量，，若，则实数m=___________.

【答案】-1

【分析】根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示可得答案．

【详解】因为向量，，

所以，又，所以，解得.

故答案为：-1.

3．命题“如果，，，，且与不重合，那么”是______命题．（填“真”或“假”）

【答案】真

【分析】由，，，可得两平面不平行，又题干中与不重合，故可得与相交，交线为AB.

【详解】因为与不重合，又，，，，故与不平行，

则与相交，交线为AB，从而，

所以此命题是真命题.

故答案为：真

4．已知直线，和平面满足，，则与的位置关系为______．

【答案】异面或平行

【分析】，，则与没有公共点，所以与异面或平行

【详解】如图所示，，

则则与没有公共点，所以与异面或平行

故答案为：异面或平行

5．已知，，则满足条件的x=______(结果用反三角记号表示)

【答案】

【分析】由反余弦函数直接求解.

【详解】依题意可得.

故答案为：.

6．已知复数满足，则______．

【答案】2

【分析】由题得，两边取模可得结果.

【详解】由得，两边取模得，即，所以.

故答案为：2.

7．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．

【答案】8

【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果．

【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；

三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；

三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；

三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；

三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，

所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．

故答案为：8．

8．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是____.

【答案】

【分析】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得，从而求出结果.

【详解】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，

z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得，即，

则由根与系数的关系，，则，

所以的取值范围是：.

故答案为.

【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.

9．函数满足，则______

【答案】5

【分析】依题意可得，代入，利用诱导公式求出．

【详解】解：函数满足，

，

，

则．

故答案为：5．

10．如图，在三角形中，点是边的中点，是的中点，若，则______．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设，，根据得出和的关系，再利用坐标运算计算．

【详解】解：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

设，，则，，，，

，，

，，整理得：，

．

故答案为：．

11．若对于任意实数，函数．在区间上至少存在两个不相等的实数，满足，则的最小正整数值为______．

【答案】10

【分析】先对函数化简得，然后由可得，同时为函数的最小或同时为函数的最大值，再由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案

【详解】解：，

因为，

则，同时为函数的最小或同时为函数的最大值，

因为在区间上至少存在两个不相等的实数，满足，

所以，

故，

所以，

则的最小正整整数为10．

故答案为：10．

12．向量集合，对于任意、，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：

①集合是“凸集”；

②集合是“凸集；

③若、都是“凸集”，则也一定是“凸集”；

④若、都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”；

⑤若集合是“凸集”，则一定不是“凸集”．

其中，所有正确的命题的序号是__．

【答案】①④⑤．

【分析】根据题目中“凸集”的定义，结合集合的运算，证明命题的正确性；利用举反例的方法，证明命题的错误，可得答案.

【详解】由题意得，若对于任意、，线段上任意一点，都有，

则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析：

对于①，，

若对于任意，满足，，则、，

由函数的图象得对线段上任意一点，都有，

即，故为“凸集”，①正确；

对于②，取，则线段上的点，不满足，②错误；

对于③，可举反例，若，，

易得、都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误；

对于④，若、都是“凸集”，则对于任意、，任意，

则，且，

故，故也是“凸集”，故④正确．

对于⑤，根据补集的概念知，显然正确；

故答案为：①④⑤．

二、单选题

13．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．直线及直线外一点确定一个平面

【答案】A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

14．函数是（    ）

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

【答案】C

【分析】首先利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用周期公式和奇偶函数的定义判断即可求解.

【详解】由余弦的二倍角公式可得：

，

所以周期为：，

且，所以是奇函数，

所以函数是最小正周期为的奇函数，

故选：C.

15．动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（    ）

A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心

【答案】C

【分析】取中点，做出简图，由化简得，根据得、、三点共线，所以点一定会通过重心.

【详解】取中点，做出示意图如下图所示：

由图可知，

故，

因为，所以、、三点共线，即点在的中线所在直线上，

所以点一定会过的重心。

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题.

16．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.

【详解】由，得，

即，故，0，1，2，4，5，

因此集合.

当时，同理得，

此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，

同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；

当时，得：

，

当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.

故选B.

三、解答题

17．如图所示，在正方体中，分别是和的中点，求证：四边形为平面图形．

【答案】见解析

【分析】证明线线平行，从而得到四点共面，则四边形为平面图形.

【详解】证明：连接EF，，．

由E，F分别是AB，的中点，可得．

由正方体的性质知，，所以四边形是平行四边形，

所以，则，故E，C，，F四点共面．

则四边形为平面图形.

18．已知复数，（，是虚数单位）．

（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；

（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．

【答案】（1）；（2）13.

【分析】（1）由复数的减法求，根据其所在的象限可得，即可求的范围；

（2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求.

【详解】（1）．

∵在复平面内对应的点落在第一象限，

∴，解得：．

∴实数的取值范围是；

（2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，．

∴也是实系数一元二次方程的根，

∴，可得.

∴的值为13.

19．如图所示，甲船在距离港口24海里，并在南偏西20°方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东40°方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．

（1）求的大小；

（2）当乙船行驶20海里到达处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？

【答案】（1）；（2）21海里．

【分析】（1）由正弦定理可得结果；

（2）由余弦定理可得结果.

【详解】（1）根据题意知，，，，

在中，由正弦定理得，，解得，

由，知为锐角，所以．

（2）由（1）得，

在中，由余弦定理得，（海里），

所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里．

20．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．

(1)若，求．

(2)若，求在上的投影向量斜坐标．

(3)若，，，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得；

（2）由题可知，进而可得，，然后利用投影向量为的概念即得；

（3）由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，即；

（2）∵，

∴，

∴，

，

，

∴在上的投影向量为，

即在上的投影向量斜坐标为；

（3）∵，

∴，，

∴，

又，，

∴，，，

∴，

令，则，，

又，在上单调递增，

∴，即的最小值为.

21．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量.

(1)已知，求；

(2)设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)；

(3)若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

(3)2

【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析运算；

（2）根据（1）中的结论求的坐标，结合题意分析运算；

（3）由（1）可得，根据面积公式和向量的相关运算整理得，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算.

【详解】（1）∵，则，

∴，

故.

（2）由（1）可得：，即，

故，

∵，则，

∴.

（3）设，

由（1）可得：，同理可得：，

则，

设与的夹角为，则，

由题意可得：，则，

故，

当时，则，不合题意；

当时，则，当且仅当，即时等号成立，

即，

又∵，则，当且仅当时等号成立，

即，当且仅当，且时等号成立，

由题意可得：，即.

综上所述：实数的值为2.

【点睛】关键点点睛：在使用基本不等式要注意基本不等式成立的条件，本题分和两种情况分析运算.