2021-2022学年上海市高一年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市高一上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜3}和B＝{x|x＝2k，k∈N}关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．

【答案】3

【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A∩B，然后求出元素个数即可．

【详解】∵集合A＝{x|﹣3≤x＜3}和B＝{x|x＝2k，k∈N}，

∴阴影部分表示的集合A∩B＝{﹣2，0，2}．

∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．

故答案为：3．

2．已知，全集，则___（用区间表示）

【答案】

【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.

【详解】，，

所以，.

故答案为：.

3．设A＝，B＝{x|x≤10，x∈Q}，则A∩B＝_____．

【答案】

【分析】先求出的的取值范围，从而可求得.

【详解】因为

考虑得

由题：

所以

故答案为：

4．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为___个．

【答案】

【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求.

【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分，

又中有个元素，故中有个元素；

法二：因为有个元素，又全集中有个元素，

故的元素个数个．

故答案为：.

5．“若，则”的否定形式为____．

【答案】若，则或

【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.

【详解】“若，则”的否定形式：

若，则或.

故答案为：若，则或.

6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为 _____元．

【答案】340

【分析】设空闲的房间为x，则房价为元，定价增加了10x元，表示出利润的函数关系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．

【详解】解：设空闲的房间为x，则房价为元，定价增加了10x元，

由题意可得，利润，当且仅当，即时取等号，此时房价为元，所以为使宾馆利润最大，每天的房价定为340元．

故答案为：340．

7．二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．

（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.

【答案】3

【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.

【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为

，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确；

因为对称轴为，故当和时，函数值相等，

当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.

故答案为：3.

8．若的图像x=1对称，则c=_______．

【答案】2

【详解】本题考查函数的对称性

又的对称轴为

则，得；

由的图象对称知其定义域关于直线对称，则有；

所以

9．不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax2+（a+b）x+c﹣a＜0的解集为 ______．

【答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．

【详解】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式ax2+（a+b）x+c﹣a＜0中化简求解集即可．

【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax2+bx+c＝0的实数根，且a＜0；

所以，可得b＝a，c＝﹣2a，

所以不等式ax2+（a+b）x+c﹣a＜0可化为ax2+2ax﹣3a＜0，即x2+2x﹣3＞0，整理可得，解得x＜﹣3或x＞1，

所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．

故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．

10．已知命题“若，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 ______．

【答案】

【分析】由“”是假命题可知区间上有解，构造函数，结合二次函数的图象可求的范围.

【详解】∵，，

又∵“”是假命题，

∴，即在区间上有解

令，

①当，即或时，或，

在区间上无解，不合题意；

②当，即且时，

是二次函数，其图象是对称轴为轴的抛物线，

若要使在区间上有解，则需满足：

或

解得，即的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用.

11．对于任意两个数x，y（x，y∈N*），定义某种运算“◎”如下：

①当或时，x◎y＝x+y；

②当时，x◎y＝xy．

则集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集个数是 _____．

【答案】2048

【分析】由新定义化简集合，从而确定子集的个数．

【详解】由新定义知，A＝{（x，y）|x◎y＝10}

共11个元素，

故其子集的个数为，

故答案为：2048．

12．若关于的不等式的解集为，且存在实数，使得，则实数的所有取值是____．

【答案】或.

【分析】的图像是一条折线，所以的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求解即可.

【详解】令，当时，，不合题意，故.

由的解析式易得，的图像是一条折线，且折点满足或，即或，

又的最小值为，∴的最小值只能在折点处取得.

当时，则，解得或，

所以或，

因为的最小值为，所以；

当时，则，解得或，

所以或，所以.

综上所述，或．

故答案为：或.

二、单选题

13．设不等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的补集的含义求解即可.

【详解】因为不等式的解集为，不等式的解集为，

所以不等式的解集为，不等式的解集为

所以不等式的解集为.

故选：B．

三、多选题

14．已知为正常数，则不等式（    ）

A．当时成立 B．当时成立

C．是否成立与无关 D．一定成立

【答案】AC

【分析】化简不等式即可判断.

【详解】因为为正常数，则，且不等式是否成立与无关.

故选：AC.

四、单选题

15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.

【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即，

则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.

故选：B．

16．已知，为方程的两根，，为方程的两根，则常数p，q分别等于（    ）

A．， B．3， C．1，3 D．，1

【答案】A

【分析】根据已知条件由韦达定理得出，关于p，q的式子，消去，求解即可得出答案.

【详解】，为方程的两根，

①，

，为方程的两根，

②，

由①②式消去，可得：，解得，

故选：A.

17．已知条件实数满足，条件实数满足，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.

【详解】，因为是的必要而不充分条件，

所以，所以且等号不同时成立，所以，

故选：B.

五、解答题

18．解下列不等式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.

【详解】（1），由数轴标根法得，解集为；

（2）或，

易得解集为.

19．解下列不等式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论解分式不等式；

（2）结合因式分解解不等式.

【详解】（1）时，解得；时，解得.

故解集为；

（2），故解集为.

20．已知集合，求：

(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围；

（2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根

所以，故；

（2）由题意得或只有负根，

当时，，故，

当只有负根时，，无解，

综上，实数的取值范围为.

21．关于的不等式，其中.

(1)解集为空集时，求实数的取值范围；

(2)解集为时，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；

(2) 由题意可得恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；

【详解】（1）解：因为恒为正，

所以解集为空集时，恒成立，

当时，不恒成立，舍去；

当时，，解得，

所以实数的取值范围是；

（2）解：因为恒正，所以解集为时，恒成立，

当时，不恒成立，舍去；

当时，，解得，

所以实数的取值范围是.

22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．

(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．

【答案】(1)8天

(2)4

【分析】（1）对进行分类讨论，由求得净化的天数.

（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围，进而求得的最小值.

【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，

故浓度，

则当时，由，得；

当时，由，解得，所以．

综上所述，，

故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．

（2）设从第一次喷洒起，经过天，

浓度，

当时，，

因为在上单调递减，

所以当时，取得最小值，

则的最大值为4，所以；

当时，恒成立．

综上所述，a的最小值为4．

23．已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为．

(1)若，求与的关系式；

(2)若均为负整数，且，求的解析式；

(3)若，求证：．

【答案】(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解；

（2）由（1）得，结合均为负整数可求解；

（3）由韦达定理可得，结合即可证明.

【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，，

所以．

由得，即，

所以，即．

（2）由（1）得，因为均为负整数，

所以或或，

显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，．

故所求函数解析式为．

（3）由题意得，

又由，得，故，

所以．