2022-2023学年上海市闵行区高二年级下册学期开学摸底数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市闵行区高二下学期开学摸底数学试题

一、填空题

1．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.

【答案】##

【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可.

【详解】直线的斜率为

所以直线的倾斜角为，

直线与直线平行

所以直线的倾斜角为.

故答案为：

2．设等差数列的前项和为，若，则___________.

【答案】6

【分析】利用等差数列前n项和的公式即可.

【详解】

.

故答案为：6.

3．等比数列中，，则___________.

【答案】##

【分析】根据等比数列通项公式得，，进而根据对数运算求解即可.

【详解】解：因为等比数列中，，

所以，，解得，

所以，，

所以，.

故答案为：

4．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为____________个.

【答案】1

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案.

【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，，，

因为，

则对任意，，

均有，

所以集合，只有一个元素.

故答案为：1

5．数列的前项和，则___________.

【答案】8

【分析】利用和的关系即可.

【详解】，

，

.

故答案为：8.

6．已知抛物线上一点到此抛物线焦点的距离为，那么点的纵坐标为___________.

【答案】##0.25

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】解：抛物线的标准方程为，

则焦点为 ，准线方程为 ，

设，

因为抛物线上点到此抛物线焦点的距离为，

所以，

解得 ，

故答案为：

7．已知数列中，，（是正整数），则数列的通项公式______.

【答案】

【分析】等式两边同时除以，可得，后由累加法可得数列的通项公式.

【详解】等式两边同时除以，可得，

则.得

，

则，.

故答案为：，.

8．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条．

【答案】3

【分析】根据题意设直线的方程为，进而联立方程，结合弦长公式得，进而解方程即可得或且均满足条件，进而得答案.

【详解】解：由题知双曲线的标准方程为，

所以，双曲线的右焦点为，

所以，设直线的方程为，

联立方程得

所以，，，

设，则，

所以，由弦长公式得，

所以，，即或，解得或，此时直线的方程为或.

综上，满足条件的直线的方程为或，共3条.

故答案为：3

9．已知是椭圆上的三个点，为坐标原点，点关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是_________.

【答案】

【分析】利用对称性和几何关系，建立两个和的方程，然后解方程即可.

【详解】设椭圆的左焦点，连接.

点关于原点对称,

设

由对称性可知:

且

①

在中，

联立①式，

解得椭圆的离心率.

故答案为：

10．已知数列满足，，数列的奇数项单调递减，数列的偶数项单调递增，若，则数列的通项公式为__．

【答案】

【分析】法一：用列举法得，，，，，，找规律得，再利用累加法及等比数列前n项和公式可求其通项；

法二：由已知有，，从而有，再结合数列的奇、偶项的单调性得，再利用累加法及等比数列前n项和公式可求其通项．

【详解】法一：先采用列举法得，，，，，，

，然后从数字的变化上找规律，得，

所以

．

法二：因为，，

所以，

而递减，所以，故；

同理，由递增，得；

又，所以，

所以

．

11．设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______．

【答案】

【分析】设，将转化成探求线段长最值问题求解作答.

【详解】依题意，设，显然圆C与直线l相离，

，当且仅当时取“=”，

当时，，，，

，其中锐角由确定，

此时，当且仅当时取“=”，

当时，，，，

，其中锐角由确定，

此时，当且仅当时取“=”，

显然，因此，当时，，则，

所以的最小值是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.

12．对于数列，令，给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则；

③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；

④若对任意的，都有，则有.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①②④

【分析】逐项代入分析求解即可.

【详解】对于①：

因为，

且因为，

所以，

所以，

故选项①正确；

对于②：若，则

所以，

所以两式相减得，

所以，

所以，

所以，

故选项②正确；

对于③：，

，

所以若对任意的都成立，

则有，

所以

，

因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；

对于④：

若对任意的，都有，

则有.

.

故选项④正确；

故答案为：①②④.

二、单选题

13．若动点满足，则点M的轨迹是（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由题意，动点满足，

即，

即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，

又由点不在直线上，

根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.

故选：D.

14．若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（    ）

A．点在圆上 B．点在圆外

C．点在圆内 D．以上都有可能

【答案】C

【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于、的不等式，即可判断出点与圆的位置关系.

【详解】圆的圆心为，半径为，

因为直线与圆无公共点，则，所以，，

因此，点在圆内.

故选：C.

15．已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ）

A．点是唯一的，且一定与共面

B．点不唯一，但一定与共面

C．点是唯一的，但不一定与共面

D．点不唯一，也不一定与共面

【答案】B

【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.

【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，

因为，

所以，

所以共面，

所以四点共面，

又因为不共线，

所以满足此关系的点有无数个，

所以点不唯一，共面.

故选：B.

16．将数列中的所有项排成如下数阵：

……

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数……，成等差数列，且．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则下列结论错误的为（   ）

A． B．

C．位于第85列 D．

【答案】C

【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A正确；分析计算的表达式，比较可得B正确；通过计算可知位于数阵第行第86列，故C错误；位于数阵第行第个数，代入等比数列通项公式可得D正确.

【详解】将等差数列，，，，…，记为，则公差，

所以，，故A正确；

因为，，故B正确；

第行的项数，第行的项数，，第行的项数，构成以为首项，为公差的等差数列，即第行有项，前行有项，

因为，而，则位于第行从左边数第项，即位于第列，故C错误；

，故D正确.

故选：C.

三、解答题

17．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明平面.（2）分别取中点，连接，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求出结果.

【详解】（1）证明：

取中点，连接，

因为正三棱柱，

所以，且，

因为为线段的中点，

所以且.

所以且，

因为为中点，所以.

所以且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）解：

分别取中点，连接，

因为是正三棱柱，

所以，平面，.

所以平面.

所以，.

以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

则.

所以.

设平面的法向量为，

所以，即，

令，解得，所以.

设直线与平面所成角为，，

则，

所以.

即直线与平面所成角为.

18．记为公比不为1的等比数列的前项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，由求出，再由等比数列求和公式求出，即可得解；

（2）由（1）可得，即可得到数列的特征，令，求出的取值，即可得到为以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.

【详解】（1）解：设等比数列的公比为，

因为，即，即，所以，

又，即，解得，

所以.

（2）解：由（1）可得，

则数列为、、、、，偶数组成的数列，

又，令，则为正偶数，

所以，，，，，

所以为以为首项，为公比的等比数列，

所以.

19．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；

(2)从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.

【答案】(1)，

(2)206万张

【分析】（1）利用等差数列通项公式可得，结合题意可得，根据等比数列通项公式可得，结合题意利用前项和公式判断可得；（2）根据（1）分别求数列、的前17项和，再相加．

【详解】（1）设当时，数列为等差数列，则

根据题意令，则

∴，则

设当时，数列为等比数列，则

其前项和为递增数列，且

∴，，则

（2）根据题意可得到2029年（包含2029年），即为第17年

对于数列的前项和

对于数列的前项和

到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数为（万张）

20．已知二次曲线．

(1)求二次曲线的焦距和离心率；

(2)若直线与二次曲线及圆都恰好只有一个公共点，求直线的方程；

(3)任取平面上一点，证明：中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点．

【答案】(1)焦距为，离心率为

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）根据椭圆的焦距与离心率即可得解；

（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，根据直线与圆只有一个交点求出的关系时，再联立直线与曲线方程，结合根的判别式即可得出答案；

（3）分别求出曲线表示椭圆和双曲线时的范围，再将点代入，结合二次函数的性质及零点的存在性定理即可得出结论.

【详解】（1）解：二次曲线为焦点在轴上的椭圆，

，

所以焦距为，离心率为；

（2）解：二次曲线为焦点在轴上的双曲线，

圆的圆心，半径，

当直线的斜率不存在时，圆的切线方程为或，

在方程中，当时，，

所以直线和与曲线只有一个公共点，

当直线的斜率存在时，设方程为，即，

圆心到直线的距离，

联立，消得，

当，即时，直线与曲线只有一个公共点，

此时，

所以直线的方程为或或或，

当，即时，

则，整理得，

结合，解得或，

所以直线的方程为或，

综上所述直线的方程为或或或或或或或；

（3）证明：当曲线表示椭圆时，，则，

当曲线表示双曲线时，则，

把点代入得，

即，

设，它是关于的二次函数，且图象开口向上，

因为，

，

所以函数在内穿过一次轴，在内穿过一次轴，

即方程一个根在上，一个根在上，

所以中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点．

【点睛】第三问转化为函数的零点存在定理是关键

21．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2），；（3）．

【分析】（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1时，4a1，解得a1，n≥2时，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根据数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an．

（2）数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn．进而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λ•cn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，对n分类讨论即可得出．

【详解】（1）由，即，所以，

两式相减得，，

故，      

因为，所以．      

又由得．

所以，数列是首项为，公差为的等差数列．

所以，数列的通项公式为．  

（2）由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．

所以，    

数列的前项和，数列的前项和．

所以，．  

（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，

由，得，  

即，  

设，则，

所以，当时，单调递增，当时，单调递减．

因为，当时，，所以，．

所以，．  

当为奇数时，设（），则，

，  

由，得，即，

设，则

，故单调递增，，故．

综上，的取值范围是．

【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．