2021-2022学年上海市徐汇区高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市徐汇区高一上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，则_________.

【答案】

【解析】直接根据并集定义得到答案.

【详解】集合，则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题.

2．函数的定义域为_______________.

【答案】

【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】因为，

所以，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．

【答案】

【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果.

【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则，

所以.

故答案为：.

4．函数，的值域为__________．

【答案】

【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.

【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，

所以，

又，且，，

所以，

所以的值域为，

故答案为：.

5．若函数是偶函数，则______.

【答案】5

【解析】先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求的值.

【详解】因为函数是偶函数，

所以，即，

解得，

所以5

故答案为：5

6．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．

【答案】

【分析】令求解即可.

【详解】令，得，

故函数图象过定点，

故答案为：

7．已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得成立的实数的取值范围是_________

【答案】

【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．

【详解】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．

∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），

即2≤|a|，

∴a≤﹣2或a≥2，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）＝f（|a|）是解决偶函数问题的关键．

8．设，，则__________．（用a、b表示）

【答案】

【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．

【详解】由，，

则即

又

则

，

则 ，

故答案为：.

9．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.

【答案】

【解析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.

【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，

所以，解得 ，

所以，

则 ，

，

 ，

 ，

所以的最小值为，

故答案为：

10．已知函数的最小值为2，则的最小值为__．

【答案】2

【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可

【详解】因为，

所以，仅当时取等号，

又的最小值为2，所以，

所以，当且仅当时取等号．

故答案为：2

11．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；

（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为________

【答案】3

【分析】根据新定义逐一判断即可求解

【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，

（2）若数域有非零元素，则，

从而，故（2）正确；

（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，

（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，

故真命题的个数是3.

故答案为：3

12．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.

【详解】解：因为函数在上是增函数，

所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，

对于函数在上是增函数，

则；①

对于函数，

（1）当时，，

外函数为定义域内的减函数，

内函数在上是增函数，

根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，

（2）当时，

外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，

则内函数在上也是增函数，

且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，

所以，

又，所以，②

又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：

，

化简得，③

由①②③得，，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：

（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

二、单选题

13．若实数，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据特殊值判断ACD，由不等式性质判断B.

【详解】当时，，故A错误；

因为，所以，故B成立；

当时，不成立，故C错误；

当当时，，故D错误.

故选：B

14．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.

【详解】函数的定义域为，且，

则函数为偶函数，故排除选项；

又因为当时，，故排除选项，

故选：.

15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：，，现小明以加速度做匀加速直线运动，在地处的速度为，在地处的速度为，则它在地和地的中点处的速度满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可

【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为，

所以由题意得，，

所以，故A、B、C均错.

故选：D.

16．命题：存在且，对于任意的，使得；

命题：单调递减且恒成立；

命题：单调递增，存在使得，

则下列说法正确的是（    ）

A．只有是的充分条件

B．只有是的充分条件

C．，都是的充分条件

D．，都不是的充分条件

【答案】C

【分析】对于命题：当时，结合单调递减可得出，对于命题：当时，，结合单调递增可得出

，进而可得，由充分条件的定义可判断，，进而可得正确选项.

【详解】对于命题：当时，，因为单调递减，所以，因为恒成立，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；

对于命题：当时，，，因为单调递增，所以，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；

所以，都是的充分条件，

故选：C.

三、解答题

17．已知全集，集合.

(1)当时，求；

(2)当“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合，再根据集合的交运算即可求解.

（2）求出，根据题意可得，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】（1）当时，，

或或，

所以或.

（2）由（1）可得，

，

当时，，

当时，，

当时，，

“”是“”的必要不充分条件，

则，

显然，不成立；

当时，，解不等式可得，此时；

当时，，解不等式可得，此时，

所以实数的取值范围为或.

实数的取值范围是.

18．已知.

(1)判断函数的奇偶性并说明理由；

(2)判断函数在区间上的单调性并证明.

【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；

（2）利用函数单调性的定义即可求解.

【详解】（1）函数是非奇非偶函数，理由如下：

由题意可知，的定义域为，

所以，，

所以，，

所以函数是非奇非偶函数；

（2）函数在区间上的单调递增，证明如下：

任取，且，

所以，

因为，所以，

所以，即.

所以函数在区间上是增函数.

19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．

(1)求出函数的解析式；

(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）

【答案】(1)

(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．

【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；

（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.

【详解】（1）令，则，

由图象可知，图象经过，两点，

则，解得，

所以；

（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，

所以浓度为15时为最迟停止注射时间，

故，解得，

浓度从15降到4为最长间隔时间，

故，即，

两边同时取以2为底的对数，则，

即

，

所以，

所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，

最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．

20．已知幂函数是奇函数，且在为严格增函数．

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）求，的最值，并求出取得最值时的取值．

【答案】（1），；（2）时取到最小值为；时，取得最大值13．

【解析】（1）由单调递增得出，又，得或，再根据函数奇偶性即可得出结果；

（2）化简函数为，令可得，根据二次函数单调性，即可求出结果.

【详解】（1）因为幂函数 ，在为增函数，

所以，即，

解得，又，所以或，

当时，，满足，因此是奇函数；

当时， ，显然是偶函数，不符合题意；

所以，；

（2）因为，所以，

令，因为，所以，

所以，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当即，时；

因为，

当时，即，时.

【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.

21．已知函数，其中为常数．

(1)当时，解不等式的解集；

(2)当时，写出函数的单调区间；

(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)增区间为和，减区间为

(3)

【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；

（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；

（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.

【详解】（1）当时，，

当时，，解得，所以，

当时，成立，

当时，，解得，

综上，不等式的解集为；

（2）当时，，

所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为；

（3）①当时，在上严格增，

所以

，所以，解得；

②当时，在上严格增，

，所以，解得，

③当时，在上严格增，在上严格减，

，不满足条件，

④当时，不单调，，

，不满足条件，

所以实数的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求

的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对需结合单调性分类讨论.