上海市徐汇区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份上海市徐汇区2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共13页。

2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息．
3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有12题，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1. 已知全集，集合，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解不等式，再求集合A的补集.
【详解】由题可得
所以.
故答案为：.
2. 陈述句：“且”的否定形式是________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用陈述句的否定可得出结论.
【详解】由已知条件可知，陈述句且的否定形式为“或”.
故答案为：或.
3. 设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m的取值范围.
【详解】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子
集，所以.
故答案为：
4. 已知方程的两个根为、，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理就可求解.
【详解】由于，故方程有两个不相等的实数根、，
由韦达定理可得，所以，
故答案：
5. 当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
6. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】由于，故将化为，解一元二次不等式即得答案.
【详解】由于，
所以不等式即不等式，
即，解得或，
故不等式的解集为，
故答案为：
7. 已知（a为常数，且，），则________．（用a表示）
【答案】
【解析】
【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，
故答案为：
8. 若函数是偶函数，则正数a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数为偶函数可得，化简整理即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，所以，所以.
故答案为：.
9. 若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
分析】根据绝对值三角不等关系可得，即可根据有解转化成最值问题即可求解.
【详解】由于，当时，即时等号成立，
故要使不等式在R上有解，只需要，即，
故答案为：
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论当直线在左侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的右侧时，利用间接法即可求解.
【详解】由题意可知为等腰直角三角形，,
当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，
即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在上时，
即，直线的左侧为五边形，
则，
所以S表示为t的函数解析式为，
故答案为：.
11. 已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数图像结合已知得出、的范围，在根据，得出、的关系，即得出，再根据二次函数在区间上的值域得出答案.
【详解】作出函数的图像如下：
若且，
则当，得，
则，，
且，即，
则，
令，，
则且，
即，
故答案为：.
12. 已知函数（，）至多有一个零点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意可得到满足的不等式关系，将变形并结合，推出，再利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.
【详解】由题意知,
故
，
设，则
，
当且仅当，即时取等号，
此时，，符合题意，
故的最小值为3，
故答案：3
【点睛】关键点点睛：根据题意可得到满足的不等式关系，要求的最小值，关键是将变形并结合，推出，从而利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
13. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，D；举反例，可判断B，C.
【详解】对于A，因为，则，A正确；
对于B，不妨取，满足，但是，B不成立；
对于C，不妨取，满足，但是，C不成立；
对于D，因为，则，故不成立，
故选：A
14. 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义结合对数运算求解即可
【详解】由题意可知，
故选：C.
15. 已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.
【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故
当和时，，当和时，，
故等价于和，解得，
故选：B
16. 若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.
【详解】对于①，因为，而，
所以集合不是好集，故①错误；
对于②，因为集合为“好集”，
所以，
所以，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论，考查集合端点间的大小关系，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由，解得，
所以，
若，则，
所以；
【小问2详解】
当时，，则满足题意，
当时，，
因为，所以，解得，
综上实数的取值范围是.
18. 已知函数的表达式为．
（1）若关于x的不等式的解集为，求实数k的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据关于x的不等式的解集为列出方程，解之即可求解；
（2）关于的一次函数大于零恒成立，只需两端点的值大于零即可，解不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为关于x的不等式的解集为，
所以，解得：，
所以实数的值为.
【小问2详解】
因为当时，不等式恒成立，
则，即，解得：或，
所以实数的取值范围为或.
19. 高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元．
（1）写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式，并指出函数的定义域；
（2）当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小．
【答案】（1）详见解析；
（2）225
【解析】
【分析】（1）由题意得到高铁行驶的时间和每小时的运输成本即可得到结果；
（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为 元，
所以全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式为：
，函数的定义域；
【小问2详解】
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当高铁列车时速大约225（）时，全程运输成本（元）最小.
20. 已知函数的表达式为．
（1）当，，时，证明：函数在区间上是严格增函数；
（2）当，时，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）时，函数最大值为；时，函数最大值为0.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论；
（2）讨论二次函数图象的对称轴和所给区间中点处值的大小关系，即可确定函数的最大值.
【小问1详解】
证明：当，，时，，
设，且，
则，
因为，故，
即，所以函数在区间上是严格增函数；
【小问2详解】
当，时，函数，该函数图象的对称轴为，
因为，当时，；
当时，；
即时，函数在区间上的最大值为；
时，函数在区间上的最大值为0.
21. 已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”
（1）判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
（3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．
【答案】（1）是，不是
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断；
（2）分离参数，将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值；
（3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案.
【小问1详解】
对于函数，
不妨设，则，符合题意，
所以函数是“1-利普希兹条件函数”，
对于函数，
因为，
所以函数不是“1-利普希兹条件函数”；
【小问2详解】
若函数（）是“利普希兹条件函数”，
则对定义域内任意（），均有，
即，
设，
则，即，
因为，
所以，所以
所以的最小值为；
【小问3详解】
设，
当时，
因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，
所以，
当时，由，得，
故
恒成立，综上所述，，
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”.