2022上海虹口区高三下学期第二次模拟考试数学试题含解析

高中数学

一、填空题（1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，本大题满分54分）

1. 不等式的解集是______________.

2. 函数的值域为_________.

3. 函数的最小正周期为___________．

4. 若为的二项展开式中项的系数，则_________.

5. 在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为_________.

6. 若实数、满足，则的取值范围是_________.

7. 已知向量，满足，，，则_________.

8. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.

9. 已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.

10. 已知，，是内角，若，其中为虚数单位，则等于_________.

11. 设，，三条直线，，，则与的交点M到的距离的最大值为 __．

12. 已知是定义域为奇函数，且图像关于直线对称，当时，.对于闭区间，用表示在上的最大值，若正实数满足，则的值是___________.

二、选择题（每小题5分，满分20分）

13. 已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 已知双曲线的参数方程为（为参数），则此双曲线的焦距等于（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

15. 函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 在数列中，，，.对于命题：

①存在，对于任意的正整数，都有.

②对于任意和任意的正整数，都有.

下列判断正确的是（    ）

A. ①真命题，②也是真命题 B. ①是真命题，②是假命题

C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②也是假命题

三、解答题（本大题满分76分）

17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

18. 已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值，并证明在上单调递增；

（2）已知且，若对于任意、，都有恒成立，求实数的取值范围.

19. 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

（1）若，，（长度单位：米），求种植花卉区域面积；

（2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

20. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．

（1）若，求的值；

（2）若M是线段AN的中点，求直线的方程；

（3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．

21. 对于项数为m的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜⋯＜am，且对任意1≤i≤j≤m，aiaj与中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．

（1）分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；

（2）如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2a3；

（3）如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．