2022届上海市光明中学高三模拟（一）数学试题含解析

2022届上海市光明中学高三模拟（一）数学试题

一、单选题

1．下列函数定义域为的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.

【详解】解：对于A，函数的定义域为，

对于B，函数的定义域为，

对于C，函数的定义域为，

对于D，函数的定义域为.

故选：C.

2．复平面内存在复数，，对应的三点、、，若点可与、、共圆，则下列复数中可以表示为的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析可得，则需满足，计算出各选项中复数的模，即可得解.

【详解】由已知可得，则点、、均在以原点为圆心且半径为的单位圆上，

若点可与、、共圆，则，

，A不满足要求；

，B不满足要求；

，C不满足要求；

因为，

所以，，D满足要求.

故选：D.

3．已知定义在 的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出当时， 的值域，从而得出在餐胡的取值情况，根据条件参数满足的不等式，求出参数的范围，然后同理讨论的情况，从而得出答案.

【详解】当时，当时，，则

当时，，则

所以时，

由，则时，

则时，

所以则时，

由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，

解得

由上可知，当时，的值域为，显然满足题意.

当时，当时，，则

当时，，则

所以时，

同理可得，当时，

由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，

解得

所以满足条件的是范围：，由选项可知：选项C满足

故选：A

4．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.

【详解】当且 时，

的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.

当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.

故选：B

二、填空题

5．已知集合，，则_____________．

【答案】

【分析】首先确定集合，由交集定义可得结果.

【详解】，.

故答案为：.

6．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________．

【答案】

【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.

【详解】由，得，

所以.

故答案为：.

7．函数的反函数是_______．

【答案】

【分析】根据反函数的概念即可求出结果.

【详解】因为，设，所以，

因此函数的反函数是，

故答案为：.

8．已知二项式，则其展开式中的系数为____________．

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.

【详解】由题意可知，的展开式的通项公式为，

令，解得.

所以二项式展开式中的系数为.

故答案为：.

9．设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为____________．

【答案】

【分析】根据，可得轴，再根据即可求出，即可得解.

【详解】解：，

因为，

所以轴，

则为线段的中点，

令，则，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

故答案为：.

10．已知满足，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解.

【详解】作出可行域，如图所示

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

转化为，令，则，

作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，

，解得，所以.

此时取得最小值，即．

故答案为：.

11．设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】设，易得，再根据在直线上存在点满足，圆心到直线的距离不大于半径求解.

【详解】解：设，因为，

所以，

因为在直线上存在点满足，

所以圆心到直线的距离不大于半径，

即，

解得或，

又因为，

所以的取值范围是.

故答案为：

12．已知公差为的等差数列，其中，则____________．

【答案】-0.75

【分析】由题干条件得到，从而求出答案.

【详解】由题意得：，解得：，

因为，所以，

则，

故答案为：

13．如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.

【详解】设点到平面的距离为，

则，所以，

如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，

故点在四边形的边上，

则当点在点的位置时，最小，为，

当点在点的位置时，最大，为，

所以的取值范围是.

故答案为：.

14．2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：

现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有__________个．

【答案】

【分析】根据已知条件及组合的定义，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由题意可知，现有10名女生，10名男生报名，一共20人报名，完成这件事情要分三步进行：

第一步，先从10名女生中选5名去当采访者，有个；

第二步，再从10名男生中选5名去当采访者，有个；

第三步，最后从剩下的10人中选5名去当讲述者，有个；

所以符合要求的方案有个

故答案为：.

15．已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、．以为圆心，半径为的圆交线段、于、两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则__________．

【答案】

【分析】设点，则，计算得出、、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，令，利用函数单调性可求得当时，、的表达式，再利用常用数列的极限可求得结果.

【详解】在椭圆中，，，，则点、，

因为在椭圆上运动，设点，则，

，

同理可知，由已知可得，

，，

所以，，

，

令，，

当时，记，则，

任取、且，即，所以，，

则，

，故函数在上为增函数，

此时，，，

所以，，因此，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义．

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

16．设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________．

【答案】

【分析】由确定之间的关系，结合的范围求的最大值.

【详解】因为，不妨设，

所以或，

所以或，

所以或

因为，，所以，

所以，

因为，所以

所以，又，

所以

所以，又

若，为偶数时，

要使最大，则最小，又，所以，

所以当时取最大值，最大值为

若，为奇数时，

要使最大，则最小，又，所以，

所以当时取最大值，最大值为，

同理可得

若，为偶数时，则的最大值为

若，为奇数时，则的最大值为

又，

所以的最大值为，

故答案为：.

三、解答题

17．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．

(1)求圆锥的体积；

(2)求异面直线与所成角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；

（2）解法一：取边上中点，由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质得，由此可得结果；

解法二：取圆弧中点，连结，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知，由此可得结果.

【详解】(1)设圆锥母线长为，

，，即，

圆锥的高，

.

(2)解法一：取边上中点，连结，，，

是的中位线，；

垂直于底面，垂直于底面，；

，为中点，，即；

，平面，平面，

又平面，，即异面直线与所成角为.

解法二：取圆弧中点，连结，则；

以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，即，异面直线与所成角为.

18．已知在三角形中，，三角形的面积．

(1)若，求；

(2)若，求．

【答案】(1)或

(2)，或，

【分析】（1）根据面积公式及，得到，分C为锐角和C为钝角时，求出，进而求出，求出；（2）由面积公式求出，分C为锐角和C为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.

【详解】(1)∵

而

分情况讨论，当C为锐角时，，

∴

当C为钝角时，，

(2),

因为，所以，

分情况讨论，当C为锐角时，

由余弦定理，

由正弦定理，，

当C为钝角时，，

由余弦定理，

由正弦定理，，

19．自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地是一段圆弧（以为圆心，与相切于），其中为两条人行步道，为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．

(1)当时，求人行步道的长度之和；

(2)如何设计圆弧的长度，才能使人行步道的总造价最低，并求出总造价．（长度精确到米，造价精确到元）

【答案】(1)米

(2)当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.75元

【分析】（1）根据已知条件及圆的定义，再利用锐角三角函数及勾股定理即可求解；

（2）根据已知条件及（1）的思路，求出的关系式，再利用辅助角公式及三角函数的性质，求出的最小值，进而得出的最小值，结合题意即可求解.

【详解】(1)作，垂足分别为，如图所示

由题意可知，米，

在中，，

所以，

在中，，

同时，，

在中，由勾股定理得 ，，即

解得

米

∴米

(2)设（米）

则与第（1）问相同，设，由于为定值，只需考虑的变化情况

则

由勾股定理，

解得

，

，

所以当即时，取得最小值．

则米

则总造价元

此时圆弧米

故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.75元．

20．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．

(1)若的坐标为，求的值；

(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；

(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．

【答案】(1)

(2)在双曲线上；理由见解析

(3)；

【分析】（1）根据双曲线方程求出的坐标，由及向量的坐标运算，求出点的坐标，再利用点在双曲线上即可求解；

（2）根据及向量的线性运算，得出及点在双曲线上，求出点的坐标，根据，求出点的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；

（3）根据及向量的坐标运算，得出点的坐标，利用点在双曲线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.

【详解】(1)∵，

设，则，

因为，

所以，解得，所以，

将代入双曲线方程中，化简得，

解得或（舍去）.

所以的值为.

(2)由（1）知，，

，

设，则，

因为点在双曲线上，所以①，

②，

联立①②，得，所以，

设,所以，

因为，所以，解得，所以，

将点代入双曲线方程中，即，

所以Q在双曲线上

(3)由（1）知，，

设，，则

因为，

所以，解得，所以,

因为点Q在双曲线上，所以即，

化简得，，

∴，解得，

代入，解得.

所以的值为.

21．已知数列满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“级关联”．记与的前项和分别为．

(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；

(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，求的值；

(3)若数列与成“级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．

【答案】(1)不成“4级关联”，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据 “4级关联”的定义判断；(2)根据“4级关联”的可得，根据累加法即数列的周期性可求；(3)根据定义可得，再分别证明结论的充分性和必要性即可.

【详解】(1)由，可得

显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．

(2)由可得：

利用累加法：

整理得：

由可知：且第一周期内有

所以

而又因为，故

(3)由已知可得

所以，

所以

（a）先说明必要性．

由为递增数列可知：

当时，，

所以 ，

当时， ，

由（）式可知：，故，（必要性得证）

（b）再说明充分性．

考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到

由于结合，能够得到：

可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立

（充分性得证）

由（a）、（b），命题得证．

【点睛】本题解决的关键在于准确理解新定义，并结合定义对条件进行转化，从而解决问题.