上海市实验学校2022届高三冲刺模拟卷5数学试题

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上海市实验学校2022届高三冲刺模拟卷5数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（        ）．

A．如果，，则一定有．

B．如果，，则一定有．

C．如果，，则一定有．

D．如果，，则一定有．

2．已知函数，，且，，，则的值（）

A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能

3．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：

①；

②当时，有最小值，无最大值；

③；

④当且时，的取值范围是.

正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

5．设集合，，则__________.

6．在中， 则________.

7．已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.

8．若等比数列的公比满足且则________.

9．若函数存在反函数，则________.

10．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则________.

11．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．

12．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为_______（结果用最简分数表示）.

13．函数，如果方程有四个不同的实数解，，，，则______.

14．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．

15．在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______．

16．无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．

17．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点.已知球面上一点.

（1）求D，C两点在球O上的球面距离；

（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小.

18．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．

(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？

(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

19．对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：

①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”.

（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；

（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；

（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

20．（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；

（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；

（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.

21．对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：

（1）求：

（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求

（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．

【详解】

对于A，若，，则有或与相交或与异面，故错误；

对于B、C，如果⊥，⊥，则有或⊂，故B、C错误；

对于D，如果⊥，则垂直内的所有直线，又，则过与相交的平面交于，则，∴⊥，故D正确．

故选：D ．

2．B

【解析】

【分析】

由已知可得为奇函数，并且在上是增函数. 所以由,得，由得由得，

从而可得解.

【详解】

由已知,可得,所以为奇函数，

又因为 在上单调递增，所以在上是增函数.

所以,

由得

由得，

故，

所以，

故选B.

【点睛】

本题考查运用函数的奇偶性和单调性判断表达式的符号，关键在于利用单调性和奇偶性由,可得，属于中档题.

3．B

【解析】

【分析】

由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③.

【详解】

将代入有，

而与在的两侧，则，①错误；

由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，

所以，故无最值，②错误；

由上图知：在直线左上方，则，③正确；

由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，

而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.

故选：B

4．B

【解析】

【分析】

作出函数和的图象，要想使方程恰有5个实数解，则需直线处在函数在内的曲线切线和之间．

【详解】

解：作出函数和的图象如图：

若方程恰有5个实数解，

则直线处在函数在内的曲线切线和之间．

函数是周期为4的周期函数，

，此时．

，，

此时两个函数不相交．

当，时，，，

，，．

由，得，

则由，得，

整理得，解得，

当，时，，，

，，．

即，将代入整理得，

即，

由判别式得

要使方程恰有5个实数解，则，

即的取值范围为，

故选：B．

5．

【解析】

【分析】

首先求出集合，再根据交集定义求交集．

【详解】

由得，∴，∴，

又，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．本题考查了指数不等式的求解．

6．

【解析】

【分析】

由正弦二倍角公式得，再看作分母为1的分式，化为的齐次式，再化为计算．

【详解】

.

故答案为：．

7．1

【解析】

【分析】

先由复数除法求得，然后再计算．

【详解】

，

∴．

故答案为：1

【点睛】

本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础．本题还考查了共轭复数的概念．

8．

【解析】

【分析】

先根据已知求出，再求得解.

【详解】

由题得.

所以.

故答案为16

【点睛】

本题主要考查等比数列基本量的计算和等比数列的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

9．

【解析】

【分析】

函数在上存在反函数，则函数在上应是单调函数．由此可确定值，然后求，再计算．

【详解】

，

若，则函数在和上递增，在上递减，

若，则函数在和上递增，在上递减，

若，则函数在上递增，

∵函数存在反函数，∴．即，

由得时，，，即．

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查反函数．解题关键是确定函数存在反函数的条件，求出函数解析式．在求反函数值时，直接令，解得即可．

10．

【解析】

【分析】

将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值.

【详解】

由已知分子分母同时除以得，

.

又，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.

11．

【解析】

【详解】

∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，

∴，

所以必有，，利用累加法可得：，故，得，

故答案为.

点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.

12．

【解析】

【分析】

这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的方法数可以先考虑三个车位连在一起，剩下的5个车位停放5辆轿车．共有可方法．再求得8个车位任意停5辆车子方法数后可求得概率．

【详解】

5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的方法数有种，8个车位任意停5辆车子方法数为，所以概率为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，特别所求概率事件所含基本事件的个数．

13．

【解析】

【分析】

作出的图象，可得和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标，由，关于原点对称，，关于点对称，即可得到所求的和.

【详解】

作出的图象，

方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为，，，且，

由，关于原点对称，，关于点对称，

可得，，

则，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.

14．

【解析】

【分析】

由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积

【详解】

解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，

（如图：，，

且边长相等为，

其体积为

根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．

其面积为：．

设主视图的高，

则．

．

主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．

得面积．

故答案为

【点睛】

本题考查了三视图与空间几何体的体积和表面积的计算，考虑空间想象能力，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

15．

【解析】

【详解】

由已知可得 .

【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型. 将已知条件两边平方得

.

16．91

【解析】

【分析】

根据数列递推公式可得，而，，，，，，分类讨论即可求出答案．

【详解】

解：，而，，，，，，

若，则有种，

若，则有，

根据分类计数原理可得，共有种，

故答案为：91

【点睛】

本题考查了数列的递推公式和分类计数原理，考查了学生的转化能力，属于中档题

17．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；

（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小.

【详解】

解：（1）由题意，，

，

，

，

D，C两点在球O上的球面距离为；

（2），重心坐标为，

平面ABC的法向量为，

，

直线CD与平面ABC所成角的正弦，

直线CD与平面ABC所成角的大小为

.

【点睛】

本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

18．（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元

【解析】

【详解】

试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.

试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，

即，                                

=

当且仅当，即时等号成立，

所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米

（2）在(1)的条件下，因为．

由                                           

得

，                                   

 元

所以，建水上通道还需要万元．   

解法二：在中，

 在中，

在中，

=   

元

所以，建水上通道还需要万元．        

解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，

,即，设

由，求得， 所以   

所以，

元

所以，建水上通道还需要万元．

19．（1）证明见详解；（2）或；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.

【详解】

（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，

因此函数不是定义域上的“保值函数”.

（2）因为函数在内是单调增函数，

因此，，

因此是方程的两个不相等的实根，

等价于方程有两个不相等的实根.

由

解得或.

（3），

，

即为对恒成立.

令，易证在单调递增，

同理在单调递减.

因此，，

.

所以

解得.

又或，

所以的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.

20．（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.

【解析】

【分析】

（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程；

（2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值；

（3）由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围

【详解】

（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,,则椭圆的方程为

（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,

当时,,,

即；

当时,,,

即；

所以为定值.

（3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）；

当时,,此时,；

当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,,整理得,解得或（舍去）

当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是,

综上,或；

相应地,,

当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上,

；

当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上,

;

当时, 、在椭圆弧上,

；

综上, ，；，；

的取值范围是

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程,考查两点间距离公式,考查参数方程的应用,考查推理论证的能力,考查分类讨论思想,考查运算能力

21．（1）2；（2）；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）由内往外计算即可；

（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；

（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.

【详解】

（1）由表中数据可得.

（2），由于，则，，

，，所以，依次递推可得数列

的周期为4，又，所以.

（3）由题意得，由，得，即

，又，则，从而，而，所以

，故，消，得

所以，解得，又，

所以，所以，

此函数有最小正周期6，且，，

当时，

；

当时，

.

【点睛】

本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.